习题训练教案和课堂实录

课 题

授课教师

几何图形中的动点问题

张蕾

学 校

授课班级

北京市陈经纶中学团结湖分校

初一3班

指导思想与理著名数学家波利亚曾说：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理论依据

理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系”．《数学课程标准》中也指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式．学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”．本课是一节运用所学知识，探究动点问题的探究学习课程. 在学习过程中，教师通过问题的方式引导学生思考，启发学生思维，学生根据教师提出的问题逐步获得解决问题的思路，利用实践操作的形式获得实际体验，在探究的过程中逐步体会探究动点问题的思想方法．

“最近发展区”理论指出：“教学必须考虑到儿童已达到的水平并走在儿童发展的前面”．在本节课的探究过程中，教师始终根据学生的实际情况进行问题设置，让问题难度落在学生的“最近发展区”内，以提问——思考的形式引导学生分析解决问题，让学生通过动手实践操作、观察、探究、得到结论的形式获得实际体验，从而完成知识的建构.

教材分析

本节内容与人教版数学七年级上册第一章和第四章学习内容相关，把数轴上的动点问题用几何知识进行解决，是在数轴上用点表示数，以及线段和差运算和线段中点等知识的综合运用和延续.

探究学习解决问题的过程和方法是数学课程中的重要内容，学生在目前阶段对于探究问题接触的并不多，缺少认知基础和活动经验.

动点问题是初中数学学习中的一个难点，“化动为静”是解决这一问题的思想方法. 而在解决问题过程当中所运用到的分类思想，无论是在解决代数问题还是几何问题中都是十分重要的思想方法.

本节课将图形计算器引入课堂课堂，突破了以往的纸笔作图只能画静态图形的限制.借助图形计算器，让图形真正的运动起来，打开学生思路，在点的运动过程中进行线段数量关系的验证，从学数学到做数学，帮助学生突破难点．

学生已经学习了在数轴上用点表示数，线段的和差运算和线段中点，角平分线等知识.

七年级学生正处于从具象思维向抽象思维转变的过程当中，对于动点问题的解决存在较大困难. 学生对问题进行分类讨论的意识弱. 学生刚刚开始接触初中几何知识，欠缺探究几何问题的方法和经验．

本班学生动手能力强，乐于提问和思考，对于图形计算器学生兴趣高．

1．运用在数轴上用点表示数、线段中点、线段的和差运算解决动点问题. 2．经历运用知识进行动点问题探究的过程，体会“化动为静”是解决这一问题的思想方法；在探索活动中，体会合情推理的作用.

3．在探究动点问题的过程中，体会分类讨论的思想，学习分类方法. 4. 通过对探究问题的一般步骤的梳理，初步体会研究和证明几何问题的方法和步骤，体会数学的严谨性，发展逻辑推理能力．

体会探究动点问题的一般过程；学习探究动点问题中分类讨论的思想方法.

对问题中的情况进行正确分类；说明理由.

探究学习、合作交流

图形计算器，多媒体

学情分析

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

教 具

环节

问

题

情

境

教师活动

探究：数轴上点A,B表示的有理数分别为-4，2，点C为直线AB上一个动点（不与点A,B重合），点M，N分别是线段AC，BC的中点. （1）若点C表示的有理数是0，那么MN的长为．

（2）点C在直线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？

学生活动

读题，了解问题情境. 设计意图

了解问题情境，引发思考. 【活动1】

动手操作，初步认识

任务1：独立完成题目第（1）问.

学生独立画图并班级内进行交流. 通过对具体定问题情景有一个基本初步的了解和体验，为后续的问题解决打下基础. 计算，完成第（1）问，点的计算，让学生对【活动2】

大胆猜想，深入探究

任务2：探究点C在直线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？

（1）画图并作出猜想：

-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1-5-4-3-2-10000111122223333学生自主画图探究，教师巡视，了解学生情况.

明确任务，引发思考.

让学生从直观感受上作出猜想.

教师巡视，了解学生的情况，关注学生对问题的分类意识.

画图过程中加深学生对题目中图形关系的理解，培养学生的画图能力.

经过观察、猜想之后，学生实践，验证猜想，完成直观上的探究过程. 学生利用图形计算器实际操作，拖动

MN的长是否发生改变？猜想：______.

若MN的长不改变，你认为MN的长

是多少？

MN=_________________________.

若MN的长改变，请思考理由．

（2）操作并验证猜想：

教师根据学生操作情况带领学生将图形补充完整，并进行探究：

请你根据题目在图形计算器上把图形补充完整. 拖动点C，利用相关功能，进行观察

学生利用图形计算器画图实践，发现动点C的位置有三类情况，无论在直线AB的任意位置上，MN长度不变. 学生在班级

验证.

观察点C在运动变化中的位置，你认为你刚才画出的图全面吗？是否有需要完善的地方？如果有，请进行完善.

你刚才的猜想是否正确？如果正确，请你思考理由.如果不正确，请修改你的猜想.

（3）思考并说明理由：

请你在刚才完善后的图形下用符号语言简单写一写求MN的过程.

教师根据学生情况引导学生关注线段的和差.

（4）即时反馈：

内展示自己的操作. 班级内共同得到三种情况，完善图形，总结整理猜想.

教师利用中控平台展示学生活动情况.

用数学语言简单描述求MN的过程.

学生快速回答问

点C在直线AB上移动，发现动点C的位置有三类情况，增强学生的分类意识. 学生在真实观察到无论点C在直线AB的任意位置上，线段MN长度不变后，加强对问题的直观认识.

循序渐进的培养学生的说理能力. 了解学生对MN与AB数量关系的掌握情况. 向学生强化“数量关系”不变.

通过小结环节，使学生从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识．

从线段中点拓展知识间的关联，实现方法的迁移，提高学生类比学习的能力.

强化探究动点问题的一般思路和方法.

如果点A，B表示的有理数变为-5，3，题.

其余条件不变，MN的长是多少？

【活动3】探究小结，方法归纳

回顾并梳理归纳：

第(1)问的解决对你思考第(2)问有什么帮助吗？

解决第(2)问的动点问题我们的操作过程是什么？

学生交流感受，明确研究方法．

学生类比线段进 学生展示解题思路.

【活动4】

类比学习，拓展延伸

请你类比刚才线段的探究过程和方法，进行探究验证.

练习：如图，∠AOB=80°，射线OC在平面内绕点O旋转，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．在射线OC旋转的过程中，∠MON的度数是否发生变化？请你画出对应的图形，并说明理由.

行思考，小组交流. 到角的平分线，建立AMCNOB

思考提示：这个问题和刚才的问题有什么异同？

刚才你解决问题的方法对解决这个问题有什么帮助吗？

【活动5】归纳总结，提升认识

回顾并梳理归纳：

今天课上运用了哪些学过的知识？

解决角的运动问题和线段的运动问题思想方法是否一致？你认为如何解决动点问题？

通过本节课你的感受是什么？

布

置

作

业

如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为-6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A,B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为．

（2）点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．

这个问题是本节课的类比延伸问题，可以供学生课下探究.

从线段中点拓展到三等分点，建立知识间的关联，实现知识的迁移，提高学生类比学习的能力.

学生交流感受，明确研究方法．

通过小结环节，使学生从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识．

板书设计