多边形的外角和主要内容及教案内容

11.3.2 多边形的内角和（第二课时）

《多边形的外角和》教学设计

黑龙江海伦市

第四中学

周书茵

一、学情分析

在前面的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识，因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，由于上节课学生掌握得不错，所以我考虑把这节课设计成一节探索活动课。

二、教材分析

本节内容是八年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，多边形外角和是平面图形认知中的重要内容，在学习多边形内角和基础上，教师应当引导学生深层次的理解多边形的外角和，由于学生在上节知识点中学习了多边形的内角和，能够初步认知内角和的相关问题，但是却对多边形的外角概念却感到陌生。所以在教学过程中，教师应当以外角和概念为突破口有效的渗透数学，转换思想，通过类比等多种方式，提高学生的学习能动性。在教学中要强调使学生经历观察、实验、归纳、猜想、论证的过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。

三、教学目标

知识与技能：理解并掌握多边形外角和公式的推导方法，并学会应用公式解决数学问题。

过程与方法：通过类比、推理等数学活动，探索多边形的外角和公式，感受数学思考过程的条理性，培养推理能力和语言表达能力，并会利用所学知识解决实际问题。通过把多边形外角和转化圆周角，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

情感态度价值观：在探究多边形外角和公式过程中，进一步体会通过合理推理探索数学结论，并会用演绎推理加以证明，在多种形式的小组活动中，着重培

1

养学生体会到转化化归、分类讨论、合情推理等数学思想的作用，以及体会一定的数学思维方式。

四、教学重难点

教学重点：多边形的外角和定理的探索、深入理解与应用。

教学难点：灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透。

五、教法、学法

教法：引导学生体会由特殊到一般，用不同方法探索多边形的外角和定理。引导学生体验探索、归纳图形性质的基本方法。体会类比和转化方法的使用、

把复杂问题化为简单问题、

化未知为已知的思想方法等，教学时应注意使学生领会这些方法，

培养学生解决问题的能力。

学法：采取小组合作、交流的形式。

六、教学过程设计

第一环节

了解多边形外角、多边形外角和的概念

（一）多边形的外角

教师引入本节课内容：前面我们已经研究了多边形的内角以及内角和，多边形还有其他的角吗？如果有，它的概念是什么？又有哪些性质呢？让我们一起探讨吧。

1.欣赏下列图片，你能从中找到哪些基本图形？

图1 设计意图：从生活中感受数学图形美，体会数学源于生活服务于生活，渗透

2

德育教育，并未多边形外角的提出埋下伏笔。

2.观看视频思考：从第二圈开始，每折一个纸条，所转过的角是哪个角？

图2 视频截图

3.这些角有什么特点？

师生活动：学生观看视频，思考纸条折叠形成的角，学生观察到所折的角在五边形外部，结合角两边的位置指出角的特点。教师指出这样的角叫外角。板书：多边形的外角。

设计意图：让学生从动图中体会外角，为多边形外角和打下基础。

4.你能给多边形外角下个定义吗？

（定义1：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。）

师生活动：学生根据观察尝试下定义，教师强调从多边形内角的角度限制外角两边的位置。

5.如图3：∠2是什么角？它与∠1是什么关系？

6.根据内角与外角的关系给外角下个定义？

2 （定义2：多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角）

图

3 设计意图：从外角两条边的位置，及外角与内角的关系上多角度感知多边形外角。

（二）多边形外角和定义

1.

作图：任画一个五边形，画出它所有的外角

师生活动：学生动手画图，加深对多边形外角的理解。教师巡视，指导。

2.一个内角有几个外角？它们有什么关系？

3 1

师生活动：学生通过画图得知一个内角有2个外角，它们是对顶角，教师给出多边形外角和定义。

（对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和。）

第二环节

探索多边形外角和

（一）观察、猜想五边形外角和

1

1.如图4：纸条折叠一周转过的角度是多少？

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 2.

猜想五边形的外角和是多少？

B

2

C

A

5

4

E

3

图4 D

师生活动：教师用动画展示折叠一周边的变化，引导学生发现纸条折叠一周又回到起始位置，猜想五边形的外角和是360°。教师指出把这种方法取名为圆周法。

设计意图：纸条转动一周回到起始位置，从圆周角的角度体会五边形外角和。

（二）实验五边形外角和

1.你能否利用手中的工具验证我们的猜想呢？

师生活动：教师鼓励学生用手中的工具大胆尝试。学生思考后提出用量角器测量，用剪刀剪下外角拼接的方法。教师指出可以叫作度量法和剪拼法。选一种喜欢的方法开始实验。

2.选用度量法的同学把你的实验结果说一说。

师生活动：学生汇报测量结果，教师提出测量误差问题，引导学生排除测量错误情况下用平均数作为实验结果，巩固前知。

3.选用剪拼法的同学把你的作品展示给大家。

师生活动：学生展示拼接图案，学生互评，教师引导学生找出两种方法的优缺点。

设计意图：两种方法分别从“数”和“形”的思想对五边形外角和加以验证，渗透数形结合的思想。又因其各有缺点，引出更为精确的方法。

（三）论证五边形外角和

4

1.如果把剪拼法的图形看成是平移后拼接起来的，你能通过作辅助线证明五边形的外角和吗？

在平面上任取一点O，过点O分别作五边形每条边的平行线。即AB∥OB',BC∥OC',CD∥OD',DE∥OE',EA∥OA'。

∵ DE∥OE' ∴

∠1=∠_____ ∵EA∥OA' ∴

∠∴

∠∠∠∵

∠∠∠_____ ∠_____(等量代换) ，∠，∠∠∠，

∠B' C' AE' '

B 3 β

2 A

6 1 E α

O γ

θ

δ

D5 '

同理可证：

C 4 D

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°

师生活动：教师指导辅助线的做法，以及平移后角度位置的变化。学生独立完成填空。教师指出这种方法可以叫拖动法。

设计意图：从度量法引导出推理法，从剪拼法引导出拖动法，从“数”和“形”两个大方面深度探究多边形外角和，渗透转化数学思想。

2.看图4回答问题：

（1）五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？

（2）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么关系？

（3）联系这些问题，考虑五边形外角和的求法。

师生活动：学生通过问题得出5×180o -(5-2)×180°=360o

设计意图：将有难度的推导问题梯度化，完成教学难点的学习。

（四）探究多边形外角和

1.

运用求五边形外角和的方法，完成下表。

表1 多边形外角和

多边形

三角形

四边形

五边形

多边形外角和

5

六边形

师生活动：教师将三角形、四边形、六边形外角和的推导分别分给不同的学习小组，学生自行完成，并组内互评。派代表展示组内结果。

2.

根据我们刚才的四个结论，当边数为

n时你有何猜想？

师生活动：学生猜想n边形的外角和是360o

设计意图：通过五边形的外角和，延伸到多边形，体现从特殊到一般的推导思想。

3.要证明了才能把猜想变成真理，请思考如何证明？

分析:n边形有n个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为

180°，有n个180°，这些角的总和为：180°n，n边形的内角和为（n-2）·180°，所以n边形的外角和为：180°n-（n-2）·180°＝360°。则有：

外角和=180°·n—内角和

=180°·n—180°·(n-2)

=360°

说明:当n≥3时，上面的式子对任何n都成立，也就是说，多边形的外角和与多边形的边数无关，多边形的外角和恒等于360°。

4.现在我们证明了我们的猜想。得到结论，谁来总结一下？

师生活动：学生总结

n（n≥3）边形的外角和为

360°。教师指出这个定理很美，不管其边数怎样变化，其外角和是不变的。我们把给这种验证方法叫推理法。得到的结论叫多边形外角和定理。

5.

结论

（1）多边形的外角和等于_____ （2）多边形的内角和随着边数的增加而_____ （3）多边形的外角和为一个定值，与边数_____ 设计意图：以填空的形式将多边形的内角和与外角和做总结，加深理解。

第三环节

巩固多边形外角和

1.例题

一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

师生活动：学生独立完成，并请同学板演。

6

设计意图：让学生运用多边形内角和与外角和知识解答，解决多边形内外角和的简单问题。

2.中考链接

如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（

）

A4

B5

C6 设计意图：从多边形内角与外角的关系考察学生知识掌握准确性。

3.

练习

（1）若一个多边形的边数增加1,则他的外角和将如何变化？

（2）如果有一个多边形糖果盒，他的内角和与外角和相等，你能判断出这个糖果盒是几边形的吗？

（3）雷炎公园有一个正多边形花坛，它的一个内角为120°，那么这个花坛边数是____

（4）n边形的内角和与外角和的比是7:2，则n的值是____

A.7

B.8

C.9

D.10 （5）如图5, △ABC中, ∠A=50 °,则∠1 +∠2的大小为____

A

1

2

C

设计意图：巩固多边形外角和定理。

第四环节

小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题。

1.

什么叫多边形外角？

2.

什么是多边形外角和？

3.

多边形外角和定理。

4.

多边形外角和证明方法。

师生活动：教师归纳本节课学到的数学方法。

图5 B

设计意图：引导学生从知识内容和学习方法两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显从五边形外角和演变到多边形外角和证明中的类比、转化思想，从特殊到一般的归纳方法。

第五环节

课后作业

（一）A等题

7

1.十七边形的外角和是（ ）

A

180° B 360°

C 540° D 720°

2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的

边数是

_____

3、若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？

（二）B等题

如图6 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

AFHGB图6 EMCD（三）C等题

是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角

的五分之一？为什么？

设计意图：将课后作业按等级划分，检测学生知识掌握情况。

第六环节

板书

多边形的外角和

一、多边形的外角

①位置

②与内角的关系

二、多边形的外角和

五边形外角和

特

殊

度量法

推理法

圆周法

360°

剪拼法

拖动法

一

般

三、多边形外角和定理

第七环节

课后反思

《多边形的外角和》这节课，我基本上完成了教学任务，教学目标基本达成。学生明确了转化的思想是数学最基本的思想方法，知道研究一个新的问题要从简单的已知入手，能够用多种方法探究出多边形的外角和，并且能够运用多边形的外角和定理解决相关问题。同时也有几个地方引起了我深深的思考。

首先，在这节课的设计中，采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在"活动"中学习，在"主动"中发展，在"合作"中增知，在"探究"中创新。要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决。课前我很担心，但事实说明，这种探究才是真正的让学生去尝试，去挑战。因此，在课堂教学中选用探

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究式，可以让学生在自主学习中探究，在质疑问题中探究，在观察比较中探究，在矛盾冲突中探究，在问题解决中探究，在实践活动中探究。总之我对探究课有了更深刻的理解。

这节课的第一个环节：引入，我认为比较精彩。利用五幅图片作为情景引入，通过介绍纸条编制五边形，一下子吸引学生的注意力。这样这节课的开头就像一块无形的"磁铁"，虽然只有短短的一两分钟，却有效的调动了学生的情绪，打动学生的心灵，形成良好的课堂气氛切人口。第二个环节：引导学生从观察、猜想、实验、论证，层层推进，深入理解五边形外角和的论证方法，为推广到一般情况奠定基础。

其次，在探究这个环节中，有一个关键的地方处理的很不到位。整节课受时间限制，将原本应该学生探究的拖动法，设计成由老师指导学生完成填空证明，没能完全放手。同时，由于前面环节占用时间过多，练习环节不到位。因此没有让更多的学生去体验定理的运用，我认为这节课最大的败笔就在于此。课下我反复的思考出现问题的原因，是因为对学生估计的不足造成的。我总认为，让学生在课堂上得到更多的知识，但效果却不理想，课堂要学会适当留白，要相信学生的学习能力。因此，在备课时一定要更为细致的研究学生可能出现的情况，在上课时才能应对自如。

总之，这节课我不是很满意，细分析，偶然当中也包含着必然。新课标要求数学教学过程中要注重学生学习的过程，而知识的学习是一个建构过程，教师通过以组织者、合作者、和引导者的身份，根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造地设计教学过程，在教学设计中要求新求变。用“新”和“变”来激发学生学习数学的欲望和兴趣。根据不同的教学内容选择不同的教学模式。因为只有这样，课堂教学才能焕发出生机和活力。教师在这个过程中要为学生营造一个积极的、宽松的教学氛围。所以，要做一个新时代的教师，除具备一定的专业知识外，还要具备领导才能，能够驾御整个课堂。发现了自己的不足就意味着自己的进步。在今后的教学中，我会更加努力，让我的每一位学生在我的每一节课上都能够有新的收获。

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