2.因数与倍数（通用）优质课教案内容

有趣而稀少的完美数

仙桃市第三实验小学刘芬

教学内容:人教版五年级下册第14页中"你知道吗?"

教学目标

(1)创设情境,让学生了解完美数,认识完美数的相关知识,在认知过程中感受猜想与探究的重要性,获得“乐学”的体验,树立“能学”的信心,促进学生思维品质的提升。

(2)使学生在学习完美数的过程中,进一步学会探索数学规律的方法,感受数学文化的熏陶和洗礼,使学生发自内心的去欣赏数学、理解数学、热爱数学。

(3)在探究过程中培养学生勇于探索、善于发现、不断超越自我的创新品质。

教学重难点:

重点:认识完美数,对完美数概念的理解。

难点:对完美数性质的探索。

教学过程:

一、发现探索目标

师:在现阶段,我们认识了多少个整数?分数、小数呢?

生:到现在为止,我们已经认识了无数个整数,无数个分数和无数个小数。

师:你对数的个数有什么感受?

生:数的个数无穷无尽。

师:但今天我们要认识的数是有趣而稀少的完美数。(板书课题)

师:同学们,请仔细看看这个课题,你想知道什么?

生1:什么是完美数?

生2:完美数如何有趣?

生3:为什么说完美数非常稀少?

生4:完美数究竟是哪些数?

师:你们允许老师提一个问题好吗?

生:同意。

师:是谁最早发现了完美数?

师:同学们,这些问题太有价值了。下面,我们该按什么顺序解决这些问题呢?(小组讨论)生:我认为,可以按这样的顺序解决这些问题:完美数是谁最早发现的?什么是完美数?完

美数究竟是哪些数?为什么说完美数非常稀少?完美数如何有趣?(学生说解决问题的顺序,老师在问题前标序号)

二、经历探索过程

师:我们已经知道了这节课要解决的问题,也知道了解决问题的的顺序。现在就看看第一个问题:是谁最早发现了完美数?课前,老师为了弄清这个问题,在网上找到了这样一段话(课件出示):"古希腊数学家毕达哥拉斯,2500多年前的人类数学学科的创始人之一,他将数字与艺术结合在一起,在数学史上有着举足轻重的推动作用,人们熟知的完美数和勾股定理便是他的重要发现。"同学们说说看,是谁最早发现了完美数?

生:是古希腊数学家毕达哥拉斯在2500多年前最早发现了完美数。

师:看了上面这段话,你想对这位2500多年前的人类数学学科的创始人之一的数学家说些什么?

生1:我想对毕达哥拉斯说:毕大爷,您太了不起了,居然在2500多年前就能发现有趣而稀少的完美数。

生2:我想对毕达哥拉斯说:毕老师,我们对不起您,现在才开始认识您发现的有趣而稀少的完美数,我们一定要学好这一内容。

……

师:下面我们一起来解决第二个问题:什么是完美数?。(课件出示下文,学生认真阅读)任何一个自然数的因数中都有1和它本身,我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真因数。

一个数所有真因数的和正好等于这个数,我们把这个数叫做完美数或者完全数。

师:"真因数"中的"真"与"真分数"中的"真"有什么关系?

生:"真因数"中的"真"与"真分数"中的"真"表示的意思差不多。

师:如果一个数的真因数和它本身相等呢?

生:这就和假分数差不多了,这样的因数就是这个数的假因数了。

师:6的因数有哪些?哪些是它的真因数?哪些是它的假因数?

生:6的因数有1、2、3、6,其中,1、2、3是它的真因数,6是它的假因数。而且我发现6=1+2+3,根据上面的那段话,6应该就是完美数。

师:了不起的发现。如果说毕达哥拉斯是出生在2500多年前的大数学家,那你就是出生在2500多年之后的小数学家了。请同学们再想想,8也是完美数吗?

生:1+2+4≠8,所以8不是完美数。

师:我们还能找出一个除6以外的完美数吗?(小组合作)

生1:(一会后)刘老师,完美数还很难找的。

生2:我们小组终于找到了一个完美数是28,因为1+2+4+7+14=28。

师:那么,完美数究竟是哪些数?(课件出示前三个完美数:6,28,496)猜一猜,下一个完美数是几位数,个位数是几?

生:下一个完美数一定是一个四位数,个位数是8。因为前面的数分别是一位数、二位数、三位数,个位数分别是6,8,6。

(课件揭晓答案:8128,学生为自己猜对而欢呼。生继续猜:接下来的是五位数,个位数为6。

师:同学们请想想,如果照这样猜下去,一位数、两位数、三位数……中都各有一个完美数,那完美数还会稀少吗?

生:看来,完美数的位数还真不是我们所想象的这样。

师:接下来的完美数有(课件依次出示以下完美数):130816(六位数)、2096128(七位数)、33550336(八位数)、8589869056(十位数)、137438691328(十二位数)、2305843008139952128(十九位数)。

生:看了这组完美数,我有这样一个发现:把完美数按从小到大的顺序排列后,它们的位数并没有什么规律,但它们的个位数不是6就是8,而且个位数是8时,末两位一定是28。师:又一个了不起的发现,你们的想法和数学家的想法完全一样。同学们,完美数的位数变化没有普遍的规律,所以稀少、难找。在1到40000000里,只有七个完美数:6,28,496, 8128,130816,2096128,33550336,到2004年无数的数学家和数学爱好者才发现了40个完美数,可见完美数是非常稀少的,但这些完美数的尾数也的确有上面的规律。

师:同学们,到此你们对第三个问题"完美数究竟是哪些数?"和第四个问题"为什么说完美数非常稀少?"应该明白了吧?

生:都明白了。

师:通过刚才的学习,我们初步掌握了完美数的有关知识。你们还能找出理由,来说明完美数有趣吗?比如,6=1+2+3,1、2、3这3个数有什么特点?

生:它们是6的真因数,也是3个连续的自然数。

师:我们是否可以提出这样的猜想"任何一个完美数都可以写成几个连续自然数的和"?

学生分组尝试探究:

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+……+29+30+31

8128=1+2+3+……+125+126+127

……

师:看了上面这些与完美数相关的算式后,你们有什么神奇的发现吗?

生:每个完美数都可以写成几个连续自然数之和。

师:完美数很神奇吧!传说上帝创造世界用了6天时间,6就是一个完美数。在西方,完美数也被称为上帝之数。你还能对完美数作出其他方面的探讨吗?请看:

完美数6的因数有:1、2、3、6,而1/2+1/3+1/6=1;

完美数28的因数有1、2、4、7、14、28,而1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1;

完美数496的因数有1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,而1/2+1/4+1/8+……+1/248+1/496=1;

……

师:你们从中又能发现完美数的什么神奇之处呢?

生:从中我发现:每个完美数的因数(除1以外)的倒数之和等于1。这点也很神奇的。师:看来,同学们都可以做数学家的,做数学家容易吧?(学生个个挺起胸膛,得意极了。)课件出示:

28=13+33

496=13+33+53+73

8128=13+33+53+……+133+153

……

师:观察上面的算式,你们还能发现完美数的新的神奇之处吗?

生1:完美数可以写成若干个连续奇数的立方的和。

生2:不对,6不能。

生3:我补充一下,除6以外,完美数都可写成连续奇数的立方和。完美数还有哪些特征呢?我们接着往下看。

特征四:每个完美数(除6外) 的各位数字相加直到变成个位数则一定是1。

28→2+8=10→1+0=1

496→4+9+6=19→1+9=10→1+0=1

8128→19→10→1

三、交流探索感受

师:同学们,通过这节课的学习,你们有什么感受?

生1:完美数太稀少了!

生2:完美数太神奇和有趣的!

生3:完美数真的太完美了!

生4:这样的数学课太好玩了!

……

师:是啊,数学真有趣,完美数真好玩,这节课同学们总算过足了一把数学家的隐。但是,完美数究竟还有哪些有趣的特征?迄今为止,数学家们还只找到了48个完美数,还会有第49、50个……完美数吗?第49、50个……完美数的尾数还是6或8吗?关于完美数还有好多神奇的问题期待我们这些小数学家去探索,小数学家们,你们有兴趣、有信心吗?生:(信心百倍的)有!

师:太棒了!能够发现第49、50个……完美数的人很可能就在我们中间。