多边形的外角和教学目标

13.4课题学习 最短路径问题

阜阳市颍州中学 范姗姗

一、教材分析：

本节课是以数学史中一个经典问题----“将军饮马”问题为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

二、学情分析：

教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题和轴对称知识。八年级学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，而最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级的学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

三、教学目标：

1 能利用轴对称解决简单的最短路径问题

2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想

3通过自主学习，合作探究解决实际问题，体会数学在实际生活中的应用

四、重点与难点：

1、重点：

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题

2、难点：

利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题

五、教学过程：

1创设情境，引出问题

视频播放“将军饮马”问题，引出本课课题

从图中的A 地出发，到一条笔直的河边MN 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

2回顾思考

提出问题

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？

将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，

并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A、B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和

A

. B

l ·

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．

B

A

C

l

3回顾思考，解决问题 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

·

A

·

B

l

追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称

点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．

·

A

C

·

B

l

B4 证明“最短”

问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC =B′C，BC′=B′C′．

∴

AC +BC = AC +B′C = AB′，

AC′+BC′= AC′+B′C′．

证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴

AC +BC＜AC′+BC′．

即

AC +BC 最短．

5应用新知

解决问题

·

A

C

B

·

l

C′

B1．要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？

6课堂小结，总结提炼

8布置作业

1、必做题：教科书复习题13第15题． 2、选做题：已知：点 A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

六、板书设计：

七、教学反思：