数学活动课堂实录【2】

题：15.3分式方程（1）

教学目标：

理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．21世纪教育网版权所有

重点：

解分式方程的基本思路和解法．

难点：

理解解分式方程时可能无解的原因．

教学流程：

一、复习引入

问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

题目中相等的数量关系是：t顺＝t逆

解：设江水的流速为v km/h. 依题意得：9060.

30v30v追问：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？

归纳：分母中含未知数的方程叫做分式方程. 二、探究

想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么? 答案：去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1 思考:如何解分式方程9060呢? 30v30v答案：先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程. 即：利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v) 追问：怎样去分母呢？

答案：乘各分母的最简公分母

解：方程两边都乘

(30+v)(30－v)得，

解得，v=6 90(30－v)=60(30+v) 检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边

因此v＝6是原方程的解

即，江水的流速为6km/h. 解分式方程的一般思路：

分式方程－去分母（两边乘最简公分母）－整式方程

尝试练习：解分式方程：1102

x5x5解：方程两边乘最简公分母

(x+5)(x－5)得，

解得，

x=5 x+5=10 检验:把x = 5 代入原方程中，发现x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5虽是方程x+5=10的解，但不是原分式方程解．21教育网

思考：上面两个分式方程中，为什么1102的解．实际上，这个分式方程无x5x59060去分母后得到的整式方程的解就是它30v30v的解，而1102

去分母后得到的整式方程的解，却不是原分式方程的解呢？

x5x25归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.21cnjy.com

追问：怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．21·cn·jy·com

（）1例：解方程23x3； （2）1．

x3xx1（x1）（x2）解：（1）方程两边乘

x(x－3)得，

2x=3x－9 解得，x=9 检验：当x=9时，

x(x－3)≠0.

所以，原分式方程的解为x=9. （2）方程两边同乘以

(x－1) (x＋2) , 得

x(x+2)－(x－1)(x+2)=3 解得, x = 1 检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解．

三、归纳

解分式方程的一般步骤

去分母

分式方程

整式方程

目标

x＝a

检验

a不是分式

方程的解

解整式方程

a是分式

方程的解

最简公分

母不为0

最简公分母为0

练习：

1．下列方程不是分式方程的是(

) 1x212126A.－x＝0

B.－x＝

C.＋＝1

D.＝

x235xx－31－x1＋x答案：B 212．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(

) x＋4xA．x

B．2x

C．x＋4

D．x(x＋4) 答案：D 1－xm3．若关于x的方程＝有增根，则增根是(

) x－44－xA．－4

答案：C

4.解方程：

B．1

C．4

D．－1 x23=1

x3x3解：方程两边乘

(x+3)(x－3)得，

(x－2)(x－3)－3 (x+3)＝(x+3) (x－3) 解得，x3

43时，

(x+3) (x－3)≠0.

43. 4检验：当x所以，原分式方程的解为x四、应用提高

x＋1x＋ax已知关于x的方程－＝的解是负数，求a的取值范围．

x－2x＋3（x－2）（x＋3）

解：去分母，得5x＝a－3，

a－3∴x＝，

5依题意得x＜0且x≠－3，

a－3a－3∴＜0且≠－3，

55解得a＜3且a≠－12 五、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1.什么是分式方程？

2.解分式方程的一般步骤是什么？

3.分式方程为什么是检验？

六、达标测评

1．下列方程：

x－11x（x－1）4－xxx－2212①＝；②x－＝3；③＝1；④＝；⑤3x＋＝10；⑥＋＝7，

26xxπ35xy其中是整式方程的有__________，

是分式方程的有_______________.(填序号) 答案：①④⑤；②③⑥

2x32．将分式程1－＝去分母，得到正确的整式方程是(

) x－1x－1A．1－2x＝3

B．x－1－2x＝3

C．1＋2x＝3

D．x－1＋2x＝3 答案：B xa3．若方程＝2＋有增根，则a＝____．

x－4x－4答案：4 m－14．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是(

) x－1A．m>－1

B．m≥1

C．m>－1且m≠1

D．m≥－1且m≠1

答案：D

（）5.解方程.1x13232；(2）222．

3x113xx1xx2x2x1；（2）x＝－1是增根，原方程无解

5答案：（1）x七、布置作业

教材152页练习题．