添括号法则教学设计思路

14．2

乘法公式

14．2.1

平方差公式(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．

【过程与方法】

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．

【情感态度与价值观】

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．

二、重难点目标

【教学重点】

平方差公式．

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．根据条件列代数式：

(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；

(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2. 2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2. 观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差. (2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80. 4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】运用平方差公式计算：

(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；

(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．

【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？

【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25. (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

14【例2】计算：100×99. 551100＋【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为5100－1，用平方差公式计算．

511124100＋100－＝10 000－＝9999. 【解答】原式＝552525【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列运算中，可用平方差公式计算的是(

C

) A．(x＋y)(x＋y)

C．(－x－y)(y－x)

B．(－x＋y)(x－y) D．(x＋y)(－x－y) 2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

3．长方形的长为(2a＋3b)，宽为(2a－3b)，则长方形的面积为4a2－9b2. 4．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，则mn的值为±36. 5．计算：

3113y＋2x2x－y；

(1)224455－x－0.7a2bx－0.7a2b；

(2)66(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．

25925解：(1)x2－y2.

(2)0.49a4b2－x2.

(3)256a8－6561b8. 416366．运用平方差公式简算：

12(1)20×19；

(2)13.2×12.8. 33111820＋×20－＝400－＝399. 解：(1)原式＝3399(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？

【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．

【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)．

∵n为正整数，

∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．

【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

请完成本课时对应练习！

14．2.2

完全平方公式

第2课时

完全平方公式

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握完全平方公式及其结构特征．

2．会用完全平方公式进行简单计算．

【过程与方法】

利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．

【情感态度与价值观】

培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．

二、重难点目标

【教学重点】

完全平方公式及其结构特征．

【教学难点】

灵活应用完全平方公式进行计算．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．按要求列代数式：

(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；

(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2. 2．计算下列各式：

(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；

(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；

(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9. 3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】运用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；

(2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2;

(4)(a＋b＋c)2. 【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用完全平方公式进行计算？

【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2. (2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2. (4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．

【例2】计算：(1)9982；

(2)(2)20182－2018×4034＋20172. 【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．

【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004. (2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用完全平方公式可简便运算．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(

C

) A．(－1＋x2y2)2

C．(－1＋x2y)2

B．(1＋x2y2)2

D．(－1－x2y)2

2．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为(

A

) A．1

C．±1

B．－1 D．无法确定

3．下列关于962的计算方法正确的是(

D

) A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984 B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024 C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136

D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216 4．运用完全平方公式计算：

(1)(－3a＋2b)2；

(2)(a＋2b－1)2；

(3)50.012;

(4)49.92. 解：(1)4b2－12ab＋9a2.

(2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.

(3)2501.0001.

(4)2490.01. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．

【互动探索】根据完全平方公式的结构特点→确定(m＋1)xy的值→建立方程→确定m的值．

【解答】∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，

∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，

∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61. 【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

【例4】已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．

(1)a2＋b2；

(2)(a－b)2. 【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？

【解答】(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab. 把a＋b＝4，ab＝－5代入，得a2＋b2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab. 把a＋b＝4，ab＝－5代入，得(a－b)2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形：

(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2－2ab；

1(2)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；

2(3)(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)；

(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝4ab；

(5)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；

(6)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；

(7)ab＝a＋b2a－b22－2；

1(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]；

2

(9)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 完全平方公式

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

请完成本课时对应练习！

第3课时

添括号法则

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握添括号法则，综合运用乘法公式进行计算．

【过程与方法】

经历类比去括号法则，推出添括号法则的过程，发展学生的知识迁移能力，使学生逐渐掌握添括号法则．

【情感态度与价值观】

通过类比学习，掌握添括号法则，培养学生的归纳概括能力和发散思维．

二、重难点目标

【教学重点】

添括号法则的推导和运用．

【教学难点】

添括号法则的运用．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P111的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．去括号法则：

a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c. 2．反过来，就得到添括号法则：

a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．

3．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 4．在括号内填入适当的项：

(1)x2－2x＋y＝x2－(2x－y)；

(2)a－2b＋3c＝－(－a＋2b－3c)．

5．根据添括号法则完成变形：(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】按下列要求，给多项式3x3－5x2－3x＋4添括号：

(1)把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；

(2)把多项式的前两项括起来，括号前面带“－”号；

(3)把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；

(4)把多项式中间的两项括起来，括号前面“－”号．

【互动探索】(引发学生思考)根据添括号法则，联系题目要求多项式的各项的符号变化进行添加．

【解答】(1)3x3＋(－5x2－3x＋4)．

(2)－(－3x3＋5x2)－3x＋4. (3)3x3－(5x2＋3x－4)．

(4)3x3－(5x2＋3x)＋4. 【互动总结】(学生总结，老师点评)添括号时，明确括号前的符号以及括到的项．无论怎样添括号，原式的值都不能改变，可以用去括号法则检验是否正确．

【例2】计算：(1)(a－m＋2n)2；

(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；

(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；

(4)(x－2y－z)2. 【互动探索】(引发学生思考)利用添括号法则对原式添加括号→变为乘法公示结构→利用乘法计算公式进行计算．

【解答】(1)原式＝[(a－m)＋2n]2

＝(a－m)2＋4n(a－m)＋4n2

＝a2－2am＋m2＋4an－4mn＋4n2. (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]

＝(x－y)2－(m－n)2

＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)

＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2. (3)原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]

＝(2x－y)2－9 ＝4x2－4xy＋y2－9；

(4)原式＝[(x－2y)－z]2

＝(x－2y)2－2z(x－2y)＋z2

＝x2－4xy＋4y2－2xz＋4yz＋z2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)此式需添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列去(添)括号做法正确的有(

C

) A．x－(y－z)＝x－y－z

B．－(x－y＋z)＝－x－y－z

C．x＋2y－2z＝x－2(z－y) D．－a＋c＋d＋b＝－(a＋b)＋(c＋d) 2．在横线上填入“＋”或“－”号，使等式成立．

(1)a－b＝－(b－a)；(2)a＋b＝＋(b＋a)；

(3)(a－b)2＝＋(b－a)2

(4)(a－b)3＝－(b－a)3. 3．在括号内填上恰当的项：ax－bx－ay＋by＝(ax－bx)－(ay－by)．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

简记：遇“加”不变，遇“减”都变．

字母表示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．

请完成本课时对应练习！