习题训练优质课一等奖教案

《分式方程的增根与无解问题》教学设计

瑷珲镇中学

关宇

教学目标：1.掌握分式方程增根与无解的两个概念.

2.掌握增根和无解有关题型的解题方法. 学习重点难点:增根与无解的关系

教学过程：

一、复习回顾

2、解方程

(1)x13x2x22x

二、新课讲解

（一）、引入：

例1、解关于x的方程

24x32x2x4x2

分析:复习解分式方程步骤,引出增根与无解的情况

（二）、新知

1、关于分式方程有增根问题

（1）、分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值；从而使分式方程无解。

（2）、例2、解关于x的方程

2ax3x2x24x2

此方程产生增根，求a的值

解：两边乘

（x+2）（x-2）化简得（a-1）x=-10 ∵有增根

∴

（x+2）（x-2）=0 ∴

x=2或x=-2是（a-1）x=-10的根.

当x=2时2（a-1）

=-10，解得a= -4.

当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.

∴

a=-4或a=6时原方程产生增根. 总结方法：

化为整式方程

有增根为最简公分母为0时，求增根

把增根带入整式方程求出字母的值

（3）、随堂练习（一）1、2题

（4）、提出问题：

因增根产生无解。那么无解是否都是由增根造成的？无解和增根

一样吗？

解析：分式方程无解不一定是因为产生增根．当分式方程化为整式方程，整式方程如果本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．

2、关于分式方程无解问题：

（1）、分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等．它包含两种情形：

原方程化去分母后的整式方程无解；

原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．

（2）、例3、解关于x的方程

2ax32x2x4x2

此方程无解，求a的值

解：两边乘

（x+2）（x-2）化简得（a-1）x=-10 原分式方程无解分两种情况讨论：

整式方程无解：当a-1=0时a=1原分式方程无解

整式方程的解是分式方程的增根时：（x+2）（x-2）=0 ∴

x=2或x=-2

∴

x=2或x=-2是整式方程的根.

当x=2时2（a-1）

=-10，解得a= -4.

当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.

∴

a=-4或a=6时原方程产生增根.从而原分式方程无解

综上所述：当a=1或-4或6是原分式方程无解

方法总结：

化为整式方程.

把整式方程分两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根而无解. （3）、随堂练习（二）

3、关于分式方程的解的其他情况

（1）、例4、若分式方程

2xa1x2

的解为正数，求a的取值范围. 解：两边乘（x-2）得: 2x+a=-(x-2)（且x-2 ≠0 ∴ x≠2）

解得：

由题意得不等式组：

解得a<2且a≠-4 方法总结：

化整式方程求根，且不能是增根. 根据题意列不等式组. 三、知识拓展

1、若方程

2、a为何值时，关于x的方程 a12的解为非负数. x1a1的解是负数,求a的取值范围. x1

四、归纳总结

1.分式方程需要通过转化成整式方程求解的过程可能产生增根,所以最后一步必须验根.

2.若分式中出现字母,增根的产生不仅与分母无意义有关,还与字母有关,需要仔细讨论.

3.增根的存在有可能会让分式方程无解,但不是无解的唯一原因. 4.分式方程无解的时候要从无解的根本意义出发,即等式左右矛盾.但是不能忘了讨论增根情况.

五、中考习题训练

六、布置作业

七、课后反思