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求解平衡力的几种方法

【学习目标】

1.知道什么叫力的平衡，什么叫共点力作用下物体的平衡状态．

2.知道共点力作用下物体的平衡条件，并能用它处理简单的平衡问题．

【要点梳理】

要点一、共点力的平衡

1．共点力是作用于一点，或作用线相交于一点的几个力。

2、物体的平衡状态

（1）所谓平衡状态，就是物体的运动状态不变，具体表现为两种情况：静止状态和匀速直线运动状态

（2）对平衡状态的理解

①对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态。因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止。

②不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止。因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于平衡状态。

总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态。

3．共点力作用下物体的平衡条件是物体所受外力的合力为零。

A．最简单的是物体受两个共点力作用的情况。只要这两个力大小相等、方向相反，合力就为零，这就是所谓的二力平衡问题。

B．很多情况是物体在三个共点力作用下处于平衡状态。这时，三个力中的任意一个力总跟另外两个力的合力平衡。

C．不难想象如果一个物体在几个共点力作用下处于平衡状态，当撤消其中的一个力时，则其它几个力的合力一定与该力大小相等、方向相反，这时物体将在合力作用下改变原来的平衡状态。

要点二、研究共点力的平衡的方法

1．研究共点力作用下物体平衡问题的基本方法，是平行四边形法则及相关的三角形计算。

2．用正交分解法研究共点力的平衡问题，其平衡条件是合外力的正交分量均为零。

即

A．正交分解法把矢量运算转化为代数运算

B．应用正交分解法的重要环节是坐标系的建立。应使更多的力在坐标轴上，这样分解的力就少一些。

要点三、解决物体平衡问题的重要原理

1．内容

一个物体受到三个不平行的力的作用而平衡，则这三个力必将共点，而且表示这三个力的矢量线段将组成一个封闭的三角形。

2．求解

（1）若三个共点力使物体平衡，构成的矢量三角形是直角三角形，则可以用三角函数知识求解；若此矢量三角形不是直角三角形，还可以用正弦定理、余弦定理、或三角形相似性求解。

（2）若平衡物体受到三个以上不平行且不共点的力作用，若可以忽略物体自身的大小和形状或不涉及转动问题时，可以用力的合成法，把其中作用线相交的力进行合成，从而将多力合成三力，把多力平衡转化为三力平衡，用以上叙述的三力平衡原理解决问题；也可以采用正交分解法，即把物体所受各力按两个特定的互相垂直的方向分解，再根据力的平衡条件，列出力的平衡方程求解。即：

第1页

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这里要注意，互相垂直的两个方向即坐标系方向的选择原则是：要使坐标轴尽可能和更多的力相重合，以免去分解的麻烦。

要点四、应用共点力平衡条件解决问题的步骤

1、确定研究对象，分析物体的受力情况。注意只能分析物体受到的实际受力，不能算合力、分力，分析受力要完整准确；

2、根据实际情况，确定直角坐标系；

3、对各力沿坐标轴方向进行正交分解；

4、建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用F合0的代数式列方程，若几个力不在同一直线上，可用Fx合0与Fy合0联立列出方程组。

5、解方程，必要时对结果进行讨论。

【典型例题】

类型一、对平衡状态和平衡条件的理解

例1、下列物体中处于平衡状态的是（ ）

A．静止在粗糙斜面上的物体

B．沿光滑斜面下滑的物体

C．在平直路面上匀速行驶的汽车

D．做自由落体运动的物体在刚开始下落的一瞬间

【思路点拨】平衡状态是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态。

【答案】AC 【解析】在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零。物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合外力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不再是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合外力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态。本题的正确选项应为A、C。

【点评】物体在某一时刻的速度为零与物体保持静止是两个不同的概念。物体在某一时刻速度为零，并不能说明物体处于平衡状态；物体处于平衡状态，也不一定速度为零。

举一反三

【变式】如果两个力彼此平衡，则它们（ ）

A．必是作用力与反作用力

B．必是同种性质的力

C．必不是作用力与反作用力

D．必不是同种性质的力

【答案】C 【解析】作用在同一物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，就是一对平衡力，但这两个力可以是同种性质的力，也可不是。而作用力与反作用力是作用在两个相互作用的物体之间的力，必是同种性质的力，但两者作用在不同的物体上，根本谈不上平衡的问题。本题的正确选项应为C。

【点评】作用力和反作用力一定是同种性质的力，但平衡力可以是同种性质的力，也可以不是同种性质的力。

类型二、合成与分解法求单个物体的平衡

例2、如图所示，物体沿倾角30的斜面匀速下滑，求物体与斜面间的动摩擦因数。

0第2页

共9页

【思路点拨】物体沿斜面匀速下滑，处于平衡状态，可以采用合成法、正交分解法或分解法求解。

【答案】3

3【解析】法1：如图：物体受到重力Ｇ、斜面支持力N和滑动摩擦力f三个共点力作用，沿斜面匀速下滑，

根据共点力的平衡条件，f与N的合力Ｆ与Ｇ大小相等，方向相反，作用在一条直线上。利用解直角三角形的知识有

fFsin,NFcos,fN,

解得动摩擦因数为fGsin3

tan300NGcos3法2：将重力G沿斜面和垂直于斜面方向分解，根据共点力的平衡条件

在沿斜面方向上有：fGxfGsin0

在垂直斜面方向上有：NGyNGcos0

fGsin, NGcos, fN,

解得动摩擦因数为fGsin3tan300

NGcos3【点评】当物体沿斜面匀速下滑时，只要测出斜面的倾角就可测定物体与斜面间的动摩擦因数。

举一反三

【变式1】质量为m的物体，在与水平方向成角斜向上的外力F作用下拉物体使物体匀速运动，求物体与水平面之间的动摩擦因数μ=？

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F m

α

【答案】Fcos

mgFsin【解析】物体受到重力、弹力、摩擦力、外力F四个力的作用。可以在水平和竖直方向建立坐标轴，将力F分解到坐标轴上，根据物体匀速运动，x、y轴上合力均为零。

x轴：FcosFf

y轴：FsinFNmg

由于物体与地面之间是滑动摩擦力，因此FfFN

整理得：FfFNy Fcos

mgFsinFN

Ff

m

G α

F x

【高清课程：求解力平衡的几种方法 例2】

【变式2】如图所示，A、B两物体用轻绳相连后跨过无摩擦的定滑轮，A物体在Q位置时处于静止状态。若将A物体移到P位置仍处于静止状态，则A物体由Q移到P后，作用于A物体上的力中增大的是（ ）

A．绳子对A物体的拉力 B．地面对A物体的支持力

C．地面对A物体的静摩擦力 D．A物体受到的重力

【答案】BC 第4页

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类型三、单个物体的动态平衡

例3、如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动，而保持O点的位置不变，则A点向上移动时 （ ）

A．绳OB的拉力逐渐增大

B．绳OB的拉力逐渐减小

C．绳OA的拉力先增大后减小

D．绳OA的拉力先减小后增大

【思路点拨】动态平衡问题中一定要清楚哪些力不变，哪些力方向不变，画出矢量三角形即可。

【答案】B、D 【解析】该题是动态平衡问题，处理这类问题要牢记一点，取结点O为研究对象，绳OA、OB的拉力的合力F与灯的重力G大小相等方向相反，始终不变。由平行四边形法则画出矢量图如下图，由图可知：在A点上移的过程中，TOA先变小后增大，TOB一直减小，所以答案B、D正确。

【点评】当一个力大小、方向不变，一个力方向不变，当另一个力方向发生改变，二者垂直时，方向改变的力是最小的。

举一反三

【变式1】如图所示，质量为m的光滑圆球用绳OA拴住，靠在竖直墙上，绳子与墙面之间夹角为，若OA绳缩短，使得角变大时，墙对球的弹力以及绳子拉力大小变化？

【答案】弹力变大，绳子拉力变大

【解析】在该题中，重力大小、方向不变，弹力方向不变，

绳子张力的大小和方向发生变化。

画出矢量图，可以看出墙对球的弹力变大，绳子拉力变大。

G1 T2

T1

FN1

FN2

【高清课程：求解力平衡的几种方法 例1】

【变式】如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA、OB悬挂在半圆形的架子上，B点固定不动，悬点A第5页

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由位置C向位置D移动，在这个过程中，重物对OA绳的拉力大小的变化情况是 （ ）

A．先减小后增大

B．先增大后减小

C．OA跟OC成30°角时，拉力最小

D．OA跟OC成60°角时，拉力最小

【答案】AD

类型四、单个物体平衡时摩擦力方向的考查

例4、如图所示位于斜面上的物块M在沿斜面向上的F作用下，处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力为：（ ）

A．方向可能沿斜面向上

B．方向可能沿斜面向下

C．大小可能等于零

D．大小可能等于F F M 

【思路点拨】静摩擦力是一个被动的力，它随外力的变化而变化。

【答案】ABCD 【解析】分析物体受力如图所示，这里有三个力必然存在，即重力mg、支持力N、推力F。由于力的大小关系不确定，推力F和重力的沿斜面向下的分力大小也就不确定，本题必须讨论几种可能性

把重力正交分解，沿斜面向下的分力为mgsin。

(1)当F＞mgsin时，F＝Ff+mgsin物体才能平衡，Ff

的方向沿斜面向下

(2)F＝mgsin时，斜面对物块的静摩擦力为零

(3)当F＜mgsin时，F+Ff＝mgsin物块才能平衡，Ff

的方向沿斜面向上。

(4) F f

方向沿斜面向上时，大小可能等于F 选项A、B、C、D都有可能，故选ABCD

【点评】静摩擦力的方向一定与相对运动趋势的方向相反。

举一反三

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【高清课程：求解力平衡的几种方法 例3】

【变式1】如图所示，一个物体A静止于斜面上，现用一竖直向下的外力压物体A，下列说法正确的是（ ）

A．物体A所受的摩擦力可能减小

B．物体A对斜面的压力可能保持不变

C．不管F怎样增大，物体A总保持静止

D．当F增大到某一值时，物体可能沿斜面下滑

【答案】C 类型五、用相似三角形解平衡问题

例5、固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面上的A处，另一端通过定滑轮用力F缓慢地将小球从A点拉到B点，在此过程中，小球对半球的压力大小为FN，细线的拉力大小为T，其变化情况是：（ ）

A．FN变大，T不变

B．FN变大，T变大

C．FN不变，T变小

D．FN变大，T变小

【思路点拨】此题一般可采取相似三角形计算。

【答案】C 【解析】小球的受力情况如图所示，因缓慢运动，可认为小球在运动过程中所受合力始终为零，由合成法，FN、T、F构成一个闭合的三角形，其中F＝G，从图中的几何关系，不难看出，这三力所构成的三角形与△AOC相似，所以

FGT

ROCAC在拉动过程中，AC变小，OC不变，R不变，所以FN

不变，T变小，选项C正确。

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【点评】三个平衡力转化成一个闭合的三角形之后，如果三角形中没有直角，而装置所构成的三角形边长已知，且与力的三角形相似，应优先选用相似三角形法求解。

类型六、连接体物体的平衡

例6、有一个直角支架 AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环 Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图），现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力T的变化情况是：（ ）

A．FN不变，T变大

B．FN不变，T变小

C．FN变大，T变大

D．FN变大，T变小

【思路点拨】解决连接体问题常用的解题方法：整体法与隔离法结合。

【答案】B 【解析】本题先用整体法研究，再隔离分析．

取P、Q两个环整体研究，在竖直方向上只有OA杆对其产生竖直向上的力(Q环不受杆向上的力)，故FN＝2mg，FN大小不变．

再取Q环研究，将拉力FT沿竖直、水平方向分解，如图所示，竖直分力FTFTcos，当角由于yP环左移而减小时，由于FTmg，FTymg，故FT变小．

cos

【点评】处理连接体问题时，一般优先考虑整体法，有时整体法和隔离法联合使用．

举一反三

【变式】如图所示，两个完全相同的重为G的球，两球与水平地面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端拴接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？

2Gcot2

【答案】F1cot2第8页

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【解析】首先选用整体法，由平衡条件得

F+2 FN2G

①

再隔离任一球，由平衡条件得

Tsin/2FN

②

FNTcos/2G

③

2Gcot①②③联立解之F1cot2

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