鸡兔同笼优质教案设计

《鸡兔同笼》问题教学案例曲阳县恒州镇大西旺小学田照辉

背景:

《鸡兔同笼》是冀教版《义务教育课程标准实验教科书.数学》五年级下册第三单元中的内容,“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材,但对基础不好的学生来说解决此类问题有一定难度,特别是用假设法解答,学生理解起来很难,本案例是一节校级公开课,主要是让学生展开讨论,应用猜测法、列表法、假设法、方程等方法,从多角度思考,运用多种方法解题,使学生在具体情境中,根据自己的经验,逐步探索不同的方法,找到解决问题的策略,并在合作交流学习的过程中,积累解决问题的经验,掌握解决问题的方法。使学生共同学习,共同进步,共同提高,把所学的数学知识应用到生活中去,用数学的眼光看待身边的事物,体会数学的价值。

案例描述

一、游戏导入

师:今天,老师带来了自己的储钱罐,里面只装了1角和5角的硬币,共15枚,共6.3元,请同学们帮我猜一猜,我钱罐里1角和5角的硬币各有多少呢?(生猜测)

今天我们就来学习一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题,学完后你就能很快的知道老师的钱罐里1角和5角的硬币各有多少个了。

二、探究新知

(一)、列表法

1、教学例1:笼子里若干只鸡和兔。从上面数有22个头,从下面数有70只脚。鸡和兔各有几只?师:请大家自由读题,你都知道了什么?

(1)鸡和兔一共有22个头。鸡兔一共有70条腿。求分别有几只?还有补充吗?有两个隐藏条件看谁细心发现了?

(2)鸡有2条腿,兔子有4条腿。鸡和兔一共有22个头。鸡兔一共有70条腿。求分别有几只?。

2.先猜一猜,鸡兔可能有几只?可能只有一种动物吗?

学生猜测,汇报。不可能都是鸡,因为如果都是鸡就会有44条腿,而题目中是70条腿。也不可能都是兔,因为如果都是兔就会有88条腿。

3.独立思考:师:你们愿意自己独立解决这个问题,还是我教给你们方法你们做?好,那就请你用你自己喜欢的方法来解决这个问题。学生独立完成。

4、同桌交流:把你的想法做法和同桌交流一下。

5.汇报:

(1)列表:

鸡的只数22 21 20 19 18 17 16 15 …7 8 9 兔的只数0 1 2 3 4 5 6 7 …15 14 13 共有腿数44 46 48 50 52 54 56 58…74 72 70 师:谁和他的方法一样?能再讲讲吗?

师:追问“有些同学在填表时写出的腿数特别快,让我们采访一下有什么秘诀?”

(因为鸡和兔的只数是固定的,每增加一只兔子减少一只鸡,腿的总只数就增加2,所以列表列得特别快。)

师:“像你们这样,采用列表的方法,不重复、不遗漏的写出所有可能的答案。这种逐一列举的方法在数学中也称为“枚举法”

(二)、古人的算法

师:“鸡兔同笼”问题是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?(学生试做,汇报)

师提示:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。显然,鸡的只数就是35-12=23

(只)了。

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。

师:大家觉得这个方法怎么样?

生1:这个方法非常巧妙!

生2:古人实在是太聪明了。

生3:固然想到了让鸡与兔都抬起脚来,想象力非常丰富。

(三)、假设法

1、同学们,古代就有这样神奇的做法,请同学们想一想我们能把兔假设成鸡做吗?你会计算吗?

学生讨论

师:假设笼子里都是鸡,如果让所有的兔子全体立正,举起前腿, (课件出示)那么兔子就只剩两条腿了,就和鸡的腿数一样了。那么就是22×2=44(只)脚,这样就比题目少70-44=26(只)脚。

因为刚才是把兔子当成鸡,一只兔少算两只脚,那么少出的26只脚就有2 6÷2=13(只)……兔。鸡有:22-13=9(只)(动画演示“假设法”中假设全是鸡)

2、假设全是兔

学生先介绍方法,师再引导分析理解,让所有的鸡都把两个翅膀着地,(课件出示)那么所有的鸡就变成4条腿了。你们能用假设全是兔的方法来分析、解决这个问题吗?你们可以和小组内的同学一起边讨论边写出算式。

师:假设笼子里全是兔,这样就有多少只脚?

生:假设笼子里全是兔,就有22×4=88只脚,这样笼子里实际的脚数就比假设情况下的脚的只数少了88-70=18只脚。一只鸡比一只兔少两只脚,这样就有18÷2=9只鸡,也就知道有22-9=13只兔了。(板书算式)

让学生说算式的意义。(动画演示“假设法”中假设全是兔)师:刚才通过列表法我们想到了两种算术方法。一种是先假设全是鸡,另一个是先假设全是兔。我们把这种方法叫做假设法。

小结:刚才我们假设都是鸡或都是兔,所以把这种方法叫做假设

法。这是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。(板书:假设法) (三)、在解决鸡兔同笼问题时,除了假设法外,还有别的方法吗?(方程法)

要用列方程的方法就必须找到等量关系式。通过得到到信息能写出哪些等量关系式呢?

(兔的只数+鸡的只数=22;兔的腿+鸡的腿=70条腿)(课件出示)这里我们需要求兔的只数和鸡的只数,共有两个未知数。那我们可以设一个未知数为X,再把另一个表示出来。这道题我们可以设兔的只数为X只,根据兔和鸡共有22只。那鸡的只数就可以表示成:(22-X)只),因为一只兔子有4条腿,所以X只兔就共有4X条腿。一只鸡有2只脚,(22-X)只鸡就有2(22-X)只脚。又因为鸡和兔共有70只脚,所以4X+2(22-X)=70

1、解:设兔有X只,鸡有(22-X)只。

4X+2(22-X)=70

2、解:设有鸡X只,兔有(22-X)只。

2X+4(22-X)=70

同样抽生说出自己想法。那种方程好解一点,(设兔的只数为X 好解点)所以我们可以设脚数多的兔为X,在解的时候容易一点。

列方程的重点是找出等量关系:设头数,以脚数相等来列出方程;

3.小结方法

(1)请同学们回忆一下,在解决鸡兔同笼问题时,用到了哪些方法?

(猜想法、列表法、砍足法、假设法和方程法。)

(2)现在要你们解决老师钱罐中硬币的问题,你现在会选用哪种方法呢?

师:下面同学们就用自己喜欢的方法解决这个问题。

师:在我们的生活种有许多类似于“鸡兔同笼”问题,比如已知共有多少人、共多少条船、大船坐几人、小船坐几人,求大小船各有几条;告诉了两种练习本的单价、共多少本、共多少钱,求两种练习本各几本。你们想一想生活中还有哪些情况类似于“鸡兔同笼”问题?

生1:买了一些苹果和梨子,告诉苹果和梨子的单价和总数量,还有总的价钱,求苹果和梨分别买了多少千克。

生2:自行车和汽车一共有几辆,一共有多少个轮子,求汽车和

自行车分别有几辆。

生3:打篮球,一共得了多少分,一共进了多少个球,有3分球和2分球,问3分球和2分球各进了多少个。

师:同学们说的都很好!可见生活中类似于“鸡兔同笼”问题有很多,这些问题我们都可以用不同的数学方法来解决。

师:可见生活中类似于鸡兔同笼的问题有很多,这些问题都可用不同的数学方法来解决,课后可用我们喜欢的方法解决这些问题。

案例反思:

数学不仅仅要让学生学会计算、解决实际问题等,还要通过这些知识的学习让学生的思维得到锻炼。鸡兔同笼问题就是这样一种问题,在生活中,鸡兔同笼的现象是很少碰到,没见过有人把鸡和兔放在一个笼子里,即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了?那么是不是说“鸡兔同笼”是一个完全没有价值的数学问题呢?显然不是,鸡兔同笼问题,是让我们通过鸡兔腿数的变化,在这种变化中寻找不变的规律,并采用有效的手段来理解数学问题的过程。本节课由猜硬币问题引入,激发学习兴趣。但“砍足法”对于大多数学生来说,可能是比较陌生的。但对于古人这种解法,同学们都觉得非常巧妙,而且很感兴趣。极大地激发和调动了学生的探究兴趣,充分地传承和弘扬了经典的数学文化,较好地体现和提升了课堂的教学品味。

为了使学生容易理解假设法,尤其是“砍足法”的思路,增加学习的趣味性,我涉及多种形象直观的方法,让学生在数学活动、在玩耍中学数学。例如用课件出示,形象地表示出解决问题的思路和结果,抽象出数学解题过程,列出式子,算出结果。

由于学生原有认知背景的不同,他们对解答本课时的题目存在较大的差异,所以,在同一问题中,学生的认知水平也有不同。在教学的过程中,并没有提出统一的要求,允许不同的学生采用不同的解题方法。在交流时,有些学生用逐一列表的方法,也没去指责他们,而是鼓励他们想出更好的方法;对于比较优秀的学生,则在课中请他们总结根据题目的条件选择适当方法的优点。这样做的目的,是让不同的学生在同一节课中都有不同程度地提高。

当然,这节课也存在一些尚待解决的问题:

1、在课堂教学中,猜想、列表、假设和方程几种解决“鸡兔同笼”问题方法被割裂成几块,学生对这几种方法见的关系认识不足,不利于他们形成完整的知识结构。

2、将这几种方法安排在一课时,实际教学中,时间略显仓促,以后教学时将这一内容分解为两个课时,这样将更有利于突出重点、突破难点。