正数、负数以及0的意义教案推荐

1 正数、负数（一）导学案

一、学习目标：

理解正数与负数的概念，会判断一个数是正数还是负数；

用正、负数来表示生活中具有相反意义的量，养成辩证看事物的观点。

二、重点难点：

重点是理解正数、负数的意义；

难点是理解负数的意义。

三、学习过程：

（一）情境引入

“月有阴晴圆缺，人有悲欢离合”，这是宋代词人苏东坡写下的被人们广为传诵的佳句，其中，阴与晴、悲与欢、离与合都是自然世界、人类生活中截然相反的状态的真实描绘，这些矛盾的东西融为一体，营造出了和谐而真实的氛围。

在数学世界里，一对对具有相反意义的量也是这个大家庭的成员，它们彼此矛盾而又和平相处，为数学世界增添了无穷的魅力。

（二）自学、相信自己！我行！我能行！

1．正数、负数的意义

1①把比

0 大的数叫正数，如5，1.2，+10，43，+0.5，等；

3（注意：表示正数的正号“＋” 一般可以省略不写）

②在

正

数前面加上负号“－”的数叫负数，如、－10、－0.5、10) 等。

③0是什么数？

答：0既

不是

正数，也

不是

负数。

说明：负数的定义有两种：比0 小的数或者在正数前面加

负号

的数叫负数。

练习1 把下列各数按正数、负数分类：

421，2.5，,0,3.14,120,1.732,

37

正数：__________________________________________________

负数：__________________________________________________

2．负数的产生历史

①战国时期，中国

李悝(前455~前395)《法经》

负算

②公元前3世纪，中国

刘徽注解《九章算术》

红筹正、黑筹负

红筹

黑筹

＋2

－3

＋23

2、－(＋5

③7世纪，印度

把负数解释成负债

用小点或小圈记在数字上面表示负数

④17世纪，法国

笛卡尔(1596~1650) 承认解方程中出现的负根，不过他把负根称为“假根”

⑤19世纪，欧洲

普遍承认负数

3．正数、负数的应用——可用来表示具有相反意义的量

某市某一天的温度为－3~ 4℃，表示这一天的最

低

温度是零下3℃，最

高

温度是零上4℃，现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。

例如，珠穆朗玛峰高于海平面8844.43米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的。

“运入”和“运出”，其意义是相反的。同学们能举出其他例子吗？

练习2 用正数、负数来区分下列具有相反意义的量

①高于海平面8844米，记作＋8844米；低于海平面155米，记作_－155__米。

②如果80m表示向东走80m，那么－60m表示

向西走60m 。

③水位升高3m时，水位变化记作＋3m，那么水位下降3m时，水位变化记作

－3 m；水位不升不降时，水位变化记作

0 m。

④月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作

＋126 ℃；夜间平均温度是零下150℃，记作－150

℃。

⑤如果将收入8元记为＋8元，则支出6元应记为－6 元。

⑥减少60千克记为－60千克，则增加80千克应记为＋80 千克。

⑦将高出海平面789米记为＋789米，则

低于

海平面

789米

记为－789米。

⑧若将28记为0，则可将27记为－1；猜想若将27记为0，28应记为

＋1 。

（三）小结与归纳

1. 我学会了

①数的产生和发展离不开生活和生产的需要。

人们由记数、排序产生类似于1、2、3…这样的数；

由表示“没有”“空位”，产生数0；

由分物、测量，产生分数。

历史上，负数概念产生的原因之一是因为解决实际问题中出现了“不够减”的情况。

②在同一个问题中，正数与负数通常用来表示具有相反意义的量。

③正数与负数的意义

④数的分类与组成

正数

数数的分类：

零

负数

2. 我的疑问或思考

（四）课堂检测或课外作业

1. 某大楼地面上共有20层，地面下共有5层，若用正数、负数表示这栋楼房每层的楼层号，则地面上的最高层表示＋20 ，地面下的最低层表示为

－5 ；某人乘电梯从地下最低层升至地上6层，电梯一共运行了

10层。

2. 一天早晨的气温是－4℃，中午比早晨上升4℃，所以中午的气温是＋4℃。(

× ) 3. 下列语句：

(1)不带“－”号的数都是正数；

(2)如果a是正数，那么a一定是负数；

(3)不存在既不是正数，也不是负数的数；

(4)0℃表示没有温度。

其中正确的有(

B )

A 0个

B 1个

C 2 个

D 3个

4.“甲比乙大－3岁”表示的意义是(

A

)

A甲比乙小3岁；B甲比乙大3岁；C乙比甲大－3岁；D乙比甲小3岁

5. 用正数和负数表示下列具有相反意义的量

(1)股市涨100点和跌30点；

(2)足球比赛中，进7球和失3球。

6. 某年度某国家有外债10亿美元，有内债10亿美元，应用数学知识来解释说明，下列说法合理的是(

C

) A 如果记外债为－10亿美元，则内债为+10亿美元；

B 这个国家的内债、外债互相抵消；

C 这个国家欠债共20亿美元；

D 这个国家没有钱。

（五）拓展延伸

1. 观察下列排列的每一列数，研究它的排列的规律性，然后填出空格上的数。

(1) 1，－2，1，－2，1，－2，

，

，

，…

(2) －2，4，－6，8，－10，

，

，

，…

(3) 1，0，－1，1，0，－1，

，

，

，…

(4) －1，1，－2，3，－5，8，

，

，

，…

2. 阅读《符号的故事》

1962年，美国发射了一艘飞往金星的“航行者一号”太空飞船。

根据预测，飞船起飞

44分钟以后，

9800个太阳能装置会自动开始工作；

数的符号

数的组成：

数

想一想：

数的绝对值

0的符号是什么？

80天以后电脑完成对航行的矫正工作；

100天以后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照。

可是，出人意料的是，飞船起飞不到四分钟，就一头栽进了大西洋里。

这是什么原因呢？后来经过详细的调查，发现当初在把资料输入电脑时，有一个数据前面的负号被漏掉了，这样就使得该数据由负数变成了正数，以致于影响了整个运算结果，使飞船计划失败。一个小小的负号，竟然使美国航天局白白浪费了一千万美元以及大量的人力和时间。

看了这则故事，也许你不会再认为错漏符号的现象是小事了吧。

知识链接

一、负数的发现过程

人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如，在记帐时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。

据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。这些小竹棍叫做“算筹”，算筹也可以用骨头和象牙来制作。

我国三国时期的学者刘徽（生于公元250年左右，三国后期魏国人，中国古代杰出的数学家）在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。

刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”。意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。

用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。”

这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。

用不同颜色的数表示正负数的习惯，一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱。

除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘（公元206年）、宋代杨辉（1261年）也论及了正负数加减法则，都与《九章算术》所说的完全一致。特别值得一提的是，元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数的乘除法则。

负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。

在西方，欧几里德时代（公元前300年），人们不知道负数。

公元275年，丢盘图把负数解的方程说成是“荒谬的东西”。

在印度，公元628年，数学家婆罗摩笈多才认识负数可以是二次方程的根。

在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。

十六世纪最伟大的代数学家史替费尔（德国）把负数称为“荒谬”。史替费尔曾把负数想象成“比零还小的数”；但人们还是想不通：1表示有一个，2表示有两个，……，零表示一个都没有，比零还小怎么可能呢！

1545年，意大利卡达诺著《大衍术》是欧洲第一部论述负数的著作，他承认，方程中可以有负根，但又认为负数是“假数”，只有正数才是真数。

法国的韦达（1540年－1603年，法国最杰出的数学家之一，“代数学之父”）完全不要负数，遇到负数就一律舍去。

1629年，荷兰人日拉尔首先认识和使用负数解决几何问题。

1637年，法国的笛卡尔（1596年－1650年，伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，“现代哲学之父”）发明解析几何，创建了坐标观念，负数才得到实际的解释。笛卡儿也只部分地接受了负数，还是把负数当假数。

1655年，英国数学家瓦里斯（1616年－1703年）说负数比无穷大还要大。

帕斯卡（1623年—1662年，法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律）认为用0减去4是纯粹的胡说。

帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说(－1)∶1=1∶(－1)，那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？

直到1712年，莱布尼兹（1646年－1716年，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年—1727年）同为微积分的创建人）也承认这种说法合理。

18世纪后半叶的欧拉（1707年－1783年，瑞士人，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，“分析的化身”），19世纪的摩尔根（1818～1881，美国人，生物学家与遗传学家）等人说：负数“十分荒谬”。

英国著名代数学家德摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56＋x=2（29＋x），并解得x=－2。他称此解——负数解是荒唐的。

随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。

与中国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。

二、为什么负数在西方的经历如此坎坷？

负数、分数、无理数在西方数学史上长期不能被接受，最长甚至达两千多年，是什么原因造成这种奇特的怪现象的发生？为什么在中国数学史上就没有发生类似的事情，不但如此，她们在中土的境遇还出奇地顺利？

在我国，负数受到热烈欢迎，轻轻松松地引进了四则运算。

《九章算术》方程章中结合方程术介绍了正负术。正负数的实际意义从文字上说明，则如：进、买、收、盈、余、强等为正，出、卖、付、不足、弱等为负。

在欧几里德时代，分数被理解为两个可通约量的比，没有把比值看成数，《几何原本》中没有给出分数运算的方法。

德语谚语：说一个人遇到困难束手无策时，就说他“掉进分数里去了”。

12世纪以前，当时欧洲最有学问的人——英国修士倍达说：“世界上有很多难做的事，但是，没有比分数运算再难的了”。

分数算法在我国公元前四世纪就产生了，分数四则运算的运算方法在刘注《九章算术》方田章中，叙述的非常清楚，跟现在几乎一样，包括：合分术、减分术、课分术、平分术、乘分术、经分术、约分术。

欧洲直到13、14世纪，大学生一般只懂得加法和乘法，连除法都不会；到十五世纪中

叶，懂得几何原本前两卷者，就可拿到学位；在十六世纪，懂得多位数除法的人，就可以当大学教授了。

柏拉图认为，数是独特的或绝对的存在物。

在古希腊，科学界认为自然界是按照数学的方式设计的，而宗教界则认为世界是上帝创造的，后来，人们将两者结合，给出了一个调和的说法：上帝是按照数学的方式设计了自然界，或者说：数学是上帝书写宇宙的文字。

在西方数学史上，长达两千多年不接受负数，很多著名的大数学家都称负数为“荒谬”；原因是这样的：无论东西方，都将数学与现实世界联系起来，“数学是上帝书写宇宙的文字”，西方人首先看到的是“物”，这在数学中表现为“数”，他们的逻辑是这样的：1表示有一个，2表示有两个，…0表示什么都没有，“什么都没有”就已经是最少了，而负数比零还小，也就是说：比“什么都没有”还少，这怎么可能呢？

由于找不到负数在现实世界中的原型，西方人在长达两千多年的时间里不接受负数。这对于早在两千多年前就顺利地接受并广泛使用负数的中国人来说，真是不可思议。

难道现实世界中真的没有负数的原型吗？不是没有，有，但西方人看不到。为什么中国人就很容易地看到了呢？中国人首先看到的是“事”，即物与物之间的关系；与负数有关的事，在现实世界中彼彼皆是：进、买、收、盈、余、强等为正，出、卖、付、不足、弱等为负。

既然如此，为什么西方人看不到呢？他们都是睁眼瞎吗？当然不是；他们的生产、生活环境中没有发生过这些事吗？也不是；那到底是什么原因呢？原来，是他们的思维方式蒙住了他们的眼睛，他们首先看到的是“物”，在“物”不能被“确定”时，他们是看不到物与物之间的关系（即“事”）的；而“进、买、收、盈、余、强”与“出、卖、付、不足、弱”等都不是指某个“物”，它们是行为、是事件、是关系对比；中国人之所以能很容易地看到这些，也是中国人的思维方式决定的；在中国人看来，世界首先是一个“事”的世界，其次才是一个“物”的世界，这与西方人的思维方式正好相反，在西方人看来，世界首先是一个“物”的世界，其次才是一个“事”的世界。西方人是研究“数学”，中国是研究“算术”。

三、刘

徽——中国数学史上的牛顿

刘徽(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，魏晋时代山东邹平人，终生未做官。他是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一；在世界数学史上，也占有杰出的地位。

他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初（公元一世纪），共有246个问题的解法。在许多方面：如正负数运算，分数四则运算，解方程组，几何图形的面积体积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。

他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416，称为“徽率”。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。

《海岛算经》一书中，

刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。

可见，刘徽不仅清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，而且在继承的基础上提出了自己的创见。

刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了

崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。