有理数乘除法的混合运算名师教学设计2

1.4

有理数的乘除法

1.4.2

有理数的除法

情景导入

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

悬念激趣

置疑导入

活动内容：(1)前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数有除法吗？如何进行有理数的除法运算呢？开门见山，直接引出本节知识的核心．

(－12)÷(－3)＝？

(2)回忆小学里乘法与除法互为逆运算，并提问：被除数、除数、商之间有何关系？

[说明与建议] 说明：利用乘法与除法互为逆运算的关系，将有理数的除法转化为有理数的乘法来解决，为下一环节的学习做好准备．建议：在学习过程中，引导学生发现只需找到－12＝(－3)×？就能找到商是多少来猜想：(－12)÷(－3)＝4.体现除法与乘法的互逆性．

归纳导入

活动内容：

(1)叙述有理数的乘法法则．

(2)计算，探索：(多媒体出示) 8×9＝__72__

72÷9＝__8__ (－4)×3＝__－12__

(－12)÷(－4)＝__3__ 2×(－3)＝__－6__

(－6)÷2＝__－3__ (－4)×(－3)＝__12__

12÷(－4)＝__－3__ 0×(－6)＝__0__

0÷(－6)＝__0__ 根据经验和上面的结果我们可以发现有理数的除法与乘法有着必然的联系，本节课我们将探索有理数的除法．

[说明与建议] 说明：在有理数乘法的基础上，学生很容易地做出(2)中左栏这几个题目，通过两栏对比练习，让学生感知乘法与除法互为逆运算，同时也能有效地激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲．建议：先让学生口述有理数的乘法法则，然后让学生根据乘法法则计算左侧一栏，再引导学生根据除法是乘法的逆运算来完成右侧一栏．

复习导入

复习旧知(多媒体出示) (1)运用有理数乘法法则，请同学们回答下列各题的计算结果：(投影展示题目) 1①(－2)×4；②4×(－)；③(－8)×(－2)；

45④3×(－5)；⑤(－3)×(－5)；⑥(－)×0. 6(2)提问：(－3)×(

)＝12. [说明与建议] 说明：复习巩固有理数的乘法法则，为本节课学习有理数的除法做准备工作，利用提问及回答，引出本节课的课题：有理数的除法．建议：问题(1)(2)由学生口答完成．对

于问题(2)，不仅要回答计算结果，而且要说明理由，即叙述所依据的法则内容，另外因为题目简单，所以教师应把机会全部留给学习有困难的学生，让他们来回答并适当鼓励，以增强他们的自信心．

教材母题——教材第35页例7 计算：

515－125÷(－5)；(2)－2.5÷×－. (1)784【模型建立】

进行有理数的除法运算基本思路依然是依据法则将其转化为乘法进行计算．

【变式变形】

1．[佛山中考]

与2÷3÷4运算结果相同的是(B)

A．2÷(3÷4)

B．2÷(3×4) C．2÷(4÷3)

D．3÷2÷4 2．下列各题计算正确的有(A) 1①(－24)÷(－8)＝－3；②(＋36)÷(－9)＝－4；③－3×4÷＝－4；

3④－5.25×0＝－5.25. A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

11－1＝__－2__．

3．计算：2÷36a4.(a≠0)的所有可能的值有(B) |a|A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5．一只手表七天的走时误差是－35秒，平均每天的走时误差是__－5__秒．

6．规定一种新的运算：A★B＝A×B－A÷B，如4★2＝4×2－4÷2＝6，则6★(－3)的值为__－16__．

74417．计算：(1)(－49)÷×÷(－16)；(2)(－4)÷[(－)÷(－)]．

475274441441解：(1)(－49)÷×÷(－16)＝(－49)×××(－)＝49×××＝1.

4777167716414855(2)(－4)÷[(－)÷(－)]＝(－4)÷[(－)×(－2)]＝(－4)÷＝(－4)×＝－. 525582

[命题角度1] 有理数的除法运算

有理数除法法则的选择和注意事项：

1．选择原则：能整除时直接相除，不能整除时应用法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．

2．注意事项：(1)应用直接相除时，要先确定符号，再确定绝对值；(2)应用法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数时，如果有小数或带分数，要化小数为分数，化带分数为假分数．

例

计算：(1)(－21)÷(－7)；(2)(－36)÷2÷(－3)；

1274(3)(－1)÷1；(4)(－6)÷(－)÷(－2)．

4337解：(1)(－21)÷(－7)＝＋(21÷7)＝3.

(2)(－36)÷2÷(－3)＝－(36÷2)÷(－3)＝(－18)÷(－3)＝＋(18÷3)＝6.

12533(3)(－1)÷1＝(－)×＝－.

43454743737(4)(－6)÷(－)÷(－2)＝(－6)×(－)×(－)＝－(6××)＝－1.

37718718[命题角度2] 化简分数

化简分数的方法：直接对分数的分子、分母的绝对值进行约分．如果分子(或分母)含有小数，那么可先根据分数的基本性质对分数变形，然后按照上面的步骤进行．

－42例

化简：. －7[答案：6] [命题角度3] 有理数的乘除混合运算

有理数的乘除混合运算，把除法转化为乘法后先确定符号，再确定积的绝对值，小数要化成分数，带分数要化为假分数．

15－.[答案：1] 例

－2.5÷×84[命题角度4] 有理数的四则混合运算

有理数的加减乘除四则混合运算应注意以下顺序：

(1)先算乘除，再算加减；(2)同一级运算，从左到右依次进行；(3)如有括号，先算括号里的运算，按照小括号，中括号，大括号的顺序依次进行．

1例

计算：(1)－1＋5÷(－)×(－2)；

21111(2)(1－)×(－3)－(1＋＋)÷(－7) 62331解：(1)－1＋5÷(－)×(－2)＝－1＋5×(－2)×(－2)＝19. 21111(2)(1－)×(－3)－(1＋＋)÷(－7) 623351122＝×(－3)－÷(－) 6635113＝－－×(－) 262251＝－＋

24

9＝－. 4[命题角度5] 利用计算器进行有理数的加减乘除混合运算

不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明，要合理准确使用计算器的功能键，使得运算顺序符合题目要求．

例

用计算器计算：41.9×(－0.6)＋23.5. [答案：－1.64]

P35练习

计算：

(1)(－18)÷6；

(2)(－63)÷(－7)；

(3)1÷(－9)；

(4)0÷(－8)；

(5)(－6.5)÷(0.13)；

62－÷－. (6)551[答案] (1)－3；(2)9；(3)－；(4)0；

9(5)－50；(6)3. P36练习

1．化简：

－72－300(1)；

(2)；

(3). 9－45－752[答案] (1)－8；(2)；(3)0. 32．计算：

9－36÷9；

(1)11－11；

(2)(－12)÷(－4)÷528－×－÷(－0.25)．

(3)3545564[答案] (1)－；(2)－；(3)－. 11215P36练习

计算：

(1)6－(－12)÷(－3)；

(2)3×(－4)＋(－28)÷7；

(3)(－48)÷8－(－25)×(－6)；

23－＋－÷(－0.25)．

(4)42×34[答案] (1)2；(2)－16；(3)－156；(4)－25.

P37练习

用计算器计算：

(1)357＋(－154)＋26＋(－212)；

(2)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)；

(3)26×(－41)＋(－35)×(－17)；

(4)1.252÷(－44)－(－356)÷(－0.196)．

[答案] (1)17；(2)－6.68；(3)－471；

(4)1816.35. P37习题1.4

复习巩固

1．计算：

(1)(－8)×(－7)；

(2)12×(－5)；

(3)2.9×(－0.4)；

(4)－30.5×0.2；

(5)100×(－0.001)；

(6)－4.8×(－1.25)．

[答案] (1)56；(2)－60；(3)－1.16；

(4)－6.1；(5)－0.1；(6)6. 2．计算：

[来源学科网ZXXK]81－；

(1)×4953－×－；

(2)610(3)－1034－. ×25；

(4)(－0.3)×715[来源学*科*网Z*X*X*K]211703[答案] (1)－；(2)；(3)－；(4).94373．写出下列各数的倒数：

5(1)－15；

(2)－；

(3)－0.25；

912(4)0.17

(5)4；

(6)－5. 451910045[答案] －；(2)－；(3)－4；(4)；(5)；(6)－. 1551717274．计算：

(1)－91÷13;

(2)－56÷(－14)；

(3)16÷(－3)；

(4)(－48)÷(－16)；

43(5)÷(－1)；

(6)－0.25÷. 581642[答案] (1)－7；(2)4；(3)－；(4)3；(5)－；(6)－. 3535．填空：

1×(－5)＝______；

1＋(－5)＝______；

－1×(－5)＝____；

－1＋(－5)＝____；

1÷(－5)＝______；

1－(－5)＝______；

－1÷(－5)＝____；

－1－(－5)＝____．

11[答案] －5；－；－4；6；5；；－6；4. 556．化简下列分数：

－213(1)；

(2)；

7－36－54－6(3)；

(4). －8－0.3127[答案] (1)－3；(2)－；(3)；(4)20. 1247．计算：

(1)－2×3×(－4)；

(2)－6×(－5)×(－7)；

8－×1.25×(－8)；

(3)25(4)0.1÷(－0.001)÷(－1)；

311－×－1÷－2；

(5)42411(6)－6×(－0.25)×；

14(7)(－7)×(－56)×0÷(－13)；

(8)－9×(－11)÷3÷(－3)．

16[答案] (1)24；(2)－210；(3)；(4)100；

5133(5)－；(6)；(7)0；(8)－11. 228综合运用

8．计算：

3(1)23×(－5)－(－3)÷；

128(2)－7×(－3)×(－0.5)＋(－12)×(－2.6)；

377773771－－÷－＋－÷1－－；

(3)481288481221211－－－×－－－|－3|. (4)－32334[答案] (1)13；(2)20.7；(3)－101；(4)－4. 3129．用计算器计算(结果保留两位小数)：

(1)(－36)×128÷(－74)；

(2)－6.23÷(－0.25)×940；

(3)－4.325×(－0.012)－2.31÷(－5.315)；

(4)180.65－(－32)×47.8÷(－15.5)．

[答案] (1)62.27；(2)23424.80；(3)0.49；(4)81.97. 10．用正数或负数填空：

(1)小商店平均每天可盈利250元，一个月(按30天计算)的利润是________元；

(2)小商店每天亏损20元，一周的利润是________元；

(3)小商店一周的利润是1400元，平均每天的利润是________元；

(4)小商店一周共亏损840元，平均每天的利润是________元．

[答案] (1)7500；(2)－140；(3)200；

(4)－120. 11．一架直升机从高度为450 m的位置开始，先以20 m/s的速度上升60 s，后以12 m/s的速度下降120 s，这时直升机所在高度是多少？

[答案] 210米．

拓广探索

12．用“>”“<”或“＝”号填空：

a(1)如果a<0，b>0，那么a·b______0，______0；

ba(2)如果a>0，b<0，那么a·b______0，______0；

ba(3)如果a<0，b<0，那么a·b______0，______0；

ba(4)如果a＝0，b≠0，那么a·b______0，那么______0. b[答案] (1)<，<；(2)<，<；(3)>，>；(4)＝，＝. 11－. 13．计算2×1，2×，2×(－1)；2×22联系这类具体的数的乘法，你认为一个非0有理数一定小于它的2倍吗？为什么？

[答案] 2，1，－2，－1.不一定，若是负数，则大于它的2倍．

14．利用分配律可以得到－2×6＋3×6＝(－2＋3)×6.如果用a表示任意一个数，那么利用分配律可以得到－2a＋3a等于什么？

[答案] a. 15．计算(－4)÷2，4÷(－2)，(－4)÷(－2)．

联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立(a，b是有理数，b≠0)？从它们可以总结什么规律？

－aa－aaa(1)＝＝－；

(2)＝. b－bb－bb[答案] 略．

[当堂检测] 第1课时 有理数的除法法则

1．计算6÷（－3）的结果是（

）

A．1 B．－3 C．－2 D．－18 22. 下列运算错误的是 ( ) A. 11÷(－3)=3×(－3) B. －5÷(－)=－5×(－2) 23 C. 8÷(－2)= - 8×1/2 D. 0÷3=0 3. 如果：a+b=0, 则下列说法:

(1),a、b互为相反数，

（2） |a| =|b|, (3).a、b在原点的两旁，

（4）a= - 1，

b其中正确的有（ ）

A．一个 B．二个 C．三个 D．四个

4. 化简下列各式：

8= _____ ； 138 （2 -= ______ ；

1025（3）= _______ . 3025. 计算：（1）- 5÷（- 1）﹔

331 （2）- 1÷3

﹔

55331 （3）（）÷（-）÷（-1）·

764 （1）

参考答案：

1. C 2. B 3. B 4. (1)845 (2) (3) - 13565.（1） 3 1 23（3） - 2（2） -

第2课时 有理数的乘除混合运算

11. 计算（-1）÷5×（-）的结果是（

）

51A.-1 B.1 C. D.25 252. 计算（-7）×（-6）×0÷（-42）的结果是( ) A.0 B.1 C.-1 D.- 42 3. 计算12-7×（-32）+16÷（-4）之值为何（

）A．36 B．-164 C．-216 D．232 4. -3[来源:学&科&网Z&X&X&K]

231÷（-）=______ ×___ 2412=(____+ ___)× ____ =___+___

= ___．

5. 计算：

242×

÷（-1）; 3535151(2)

÷(- + ) 123642654(3) (- 2 ) ÷×+ ( - 1)÷ ( -). 5565（1）- 参考答案：

1. C 2. A 3. D 2323231 12 3 12 36 47

；

24242285.（1） 255 (2) - 35（3）-

。

12第3课时 有理数的加减乘除运算及其应用

4. 31. 计算：2÷（-2）+3 -5的结果是（

）

A．－4 B．－3 C．-5 D．3

22. 计算: -1-4×（-3）÷( -6)的结果等于（

）

A．- 3 B．-5 C．7 D．-7 3. 列说法正确的是（

）

A．在计算器的键盘中，表示开启电源的键是MODE B．输入0.58的按键顺序是C．输入－5.8的按键顺序是D．按键（－3）×2+（－2）×3的值

4. 计算：（- 12）÷（2

能计算出

153- +）. 3645. 某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，当天行驶纪录如下：（单位：千米）

+10，-9，+7，-15，+6，-14，+4，-2 （1）A在岗亭何方？距岗亭多远？

（2）若摩托车行驶1千米耗油0.05升，这一天共耗油多少升？

参考答案：

1. B 2. A 3. B 4. –48 5.

解：（1）+10-9+7-15+6-14+4-2=-13，由此可得A在岗亭西方，距岗亭13千米；

（2）|+10|+|-9|+|+7|+|-15|+|+6|+|-14|+|+4|+|-2| =10+9+7+15+6+14+4+2 =67．

∴67×0.05=3.35．

答：这一天共耗油3.35升．

[能力培优] 专题一

有理数乘除法运算

1.计算151的结果是

（ ）

51 D.25

25A.－1 B.1 C.2.若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则100!的值为（ ）

98!A. 50

49

B. 99!

C. 9900 D. 2！

3.计算：

（1）1(2)5；

2713323）÷3×1÷（-）.

534专题二

运用运算律简化有理数乘除法运算

（2）（-4.计算：

37711（1）（-10）×

×（-0.1）×6； （2）(1)(1)；

348127（3）0.714351162(15)0.7(15)； （4）1915. 9494175.阅读下列材料：

111－+）．

3412111 解法一：原式=50÷－50÷+50÷=50×3－50×4+50×12=550．

34124312 解法二：原式=50÷（－+）=50÷=50×6=300．

12121212111 解法三：原式的倒数为（－+）÷50 341211111111111=（－+）×=×－×+×=．故原式=300．

3412503504501250300 计算：50÷（

上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_______是错误的．

观察下面的问题，选择一种合适的方法解决：

计算：（－11322）÷（－+－）．

42614375231(9)17(3)

63426.阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．

（1）计算：5解：原式=(5)()(9)()(17)(3)()

6342=(5)(9)17(3)()()上面这种解题方法叫做拆项法．

522331561131()=0(1)1．

444256专题三

有理数混合运算

7.观察下列图形：

（2）计算：(2000)(1999)40002321(1)．

3211252-2-3208145-13-74-36y30-29-2-54x

图① 图② 图③ 图④

图⑤

请用你发现的规律直接写出图④中的数y：

；图⑤中的数x：

．

8.计算：

713313(10)(3)(3)；

（2）（)245；

8348645271111711. （3）()()3；

（4）3(37)631227732221专题四

中考中的有理数混合运算规律题

（1）19.(2012·河北)某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位

同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报(+1)，第2位同学报

(

10.（2012·自贡）若x是不等于1的有理数，我们把1111+1)，第3位同学报(+1)……这样得到的20个数的积为 ．

231称为x的差倒数，如2的差倒数是

1x11111，－1的差倒数为，现已知，x1＝，x2是x1的差倒数，x3是x2 121（-1）23的差倒数，x4是x3的差倒数，……，依次类推，则x2012＝

.

知识要点：

1.有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘，都得0.

2.有理数乘法法则的推广：

（1）几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．

（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0．

2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.若a、b互为倒数则ab=1（a≠0，b≠0）. 3.有理数乘法的运算律：

乘法交换律：ab＝ba．乘法结合律：（ab）c＝a（bc）．分配律：a（b＋c）＝ab＋ac．

4. 有理数的除法法则（一）

除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．

这个法则也可以表示成：a÷b＝a·5.有理数的除法法则（二）

（1）两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除．

（2）0除以一个不等于0的数，都得0．

6.有理数的加减乘除混合运算：

（1）乘除混合运算的步骤：①利用倒数将除法转化为乘法；②确定乘积的符号；③然后进行绝对值的乘法计算．

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行；如有括号，则先算括号内的．

1（b≠0）．

b温馨提示：

1.零不能做除数；0没有倒数.

2.除法法则（一）对于被除数能被除数整除问题及分数化简十分有效；除法法则（二）最适合不能整除，或除数是分数或小数的情况．

3.有理数的除法没有交换律、结合律，一定按照从左到右的顺序进行才可以；或者将除法变为乘法进行计算. 方法技巧：

1.有理数的乘除运算，一般都要先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再分别按照乘除运算法则进行．

2.探寻规律问题一般都是先计算出几个具体的、特殊的数，然后认真观察，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论．

3.有理数混合运算中尽量采用运算律简化运算. 答案: 1.C 解析：原式=12.C 解析：11551.

25100!1009998979621==10099=9900. 98!989796213.解析

：（1）原式=1(716731544)；（2）原式=.

16335333914.解析 (1)原式=10×0.1×

×6=2; 377878787821)()21；

81274787127334531（3）原式(0.710.7)[2(15)(15)]

994445310.7(1)(2)(15)0.723(15)1.4(45)43.6；

99441152299. （4）原式(20)15300171717113225．解析：（－）÷（－+－）的倒数为：

426143713221（－+－）÷（－）

61437421322=（－+－）×（－42）

61437（2）原式(=－7+9－28+12 =－14. 故（－74113221）÷（－+－）=－. 4261437146.解析：原式=(2000)()(1999)()(4000)(1)()

3632=(2000)(1999)4000(1)()()=0(1)1；

7. 12 -2 解析：观察图①得5×2－1×（－2）=10+2=12;观察图②得1×8－（－3）×4=8+12=20;观察图③得4×（－7）－5×（－3）=－28+15=－13;所以y=0×3－6×（－2）=12；4×（－5）－9x=－2，化简得－9x =18,解得x =－2.

5221562321()32[来源:学*科*网Z*X*X*K]

1313

1511041541101()()()＝＝－；

8103158151036313（2）原式＝(242424)5＝（9＋4－18）÷5＝－1；

8641127（3）原式＝－×（－）×＝1；

672222222721227222221()()=－4. （4）原式773222272273228.解析：（1）原式＝9.21

10.31

解析：因为x1＝，所以x2＝43111()3＝3111，x3＝＝4，x4＝＝－，

3414314计算每三个一个循环，而2012÷3＝670……2，所以x2012＝x2＝

3. 4有理数乘除法的几个策略

一、先定符号，再相乘

例1 计算：(5812)(1)()

121523分析：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.一但积的符号确定后，其余的计算与小学学过的求积方法相同. 解：原式＝(58322)

1215239说明：在进行乘除法运算时，通常把带分数化为假分数，以便进行约分简化计算. 二、将乘除混合运算统一成乘法运算

例2 计算：()()(1)(7)

分析：在有理数乘除混合运算中，通常先将除法转化为乘法，再利用约分来简化计算，不易出错. 234525

解：原式＝()()()()(23547517235711)

4576说明：将乘除混合运算统一成乘法运算后，仍应先确定符号. 三、巧用运算律简化计算

例3 计算：（1）1011110.16

（2）()12

3462分析：观察两道算式特点，第（1）题宜用乘法交换律和结合律，第（2）题可以利用乘法分配律，这样可以使计算简便. 110.16(100.1)(6)233111（2）原式＝1212123261

462解：（1）原式＝10四、逆用乘法分配律

例4 计算：()[来源学科网ZXXK]

4553553()()(1)

13513135分析：此题变形后符合乘法分配律等号右边的形式，因此可以逆用乘法分配律，由右边导出左边，这样可以使计算简便. 解：原式＝()45535584385151()()

135131355551351313说明：进行有理数运算时，要先观察其结构特征，再用合适的方法进行简便运算，但在运用运算律时，要注意符号的变化.