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新人教版八年级(上)数学第十五章分式

知识点和典型例习题

教学目标

1、进一步理解分式的概念，掌握分式有意义、值为零的条件。

2、进一步理解并掌握分式的基本性质。

3、能运用分式的加、减、乘、除法则正确地进行计算。

4、能力目标：进一步培养学生的运算能力及有条理地思考问题的能力。

重难点、关键

1．重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．

2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模”．

3．关键：把握分式的基本性质，领会算理．

【知识网络】

【思想方法】

1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲

分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:bcbcaaaa0

2.异分母加减法则:bdbcacacdaacbcdaaca0,c0; 3.分式的乘法与除法:bdbdbcbdbdacac,adacac

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷

an =am－n

n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am

bn , (am)= amn 7.负指数幂: a-p=10ap

a=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

122【例1】下列代数式中：x,12xy,abxyxyab,xy,xy，是分式的有：

. 题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时，下列分式有意义

（1）x4x4

（2）3xx23）26x12

（x21

（4）|x|3

（5）x1

x题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.

（1）x1x3

（2）|x|2x24

（3）x22x3x25x6

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式48x为正；

（2）当x为何值时，分式5x3(x1)2为负；

（3）当x为何值时，分式x2x3为非负数. 练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义：

（1）13x6|x|3

（2）(x1)21

（3）111

x2．当x为何值时，下列分式的值为零：

（1）5|x1|x4

（2）25x2x26x5

3．解下列不等式

（1）|x|25x10

（2）xx22x30

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：AAMAMBBMBM

2．分式的变号法则：ababaabb

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. 1x2y（1）231

（2）0.2a0.03bx10.04ab

34y题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）xyxy （2）aaab （3）b

题型三：化简求值题

【例3】已知：112x3xy2yxy5，求x2xyy的值. 提示：整体代入，①xy3xy，②转化出1x1y. 【例4】已知：x11x2，求x2x2的值. 【例5】若|xy1|(2x3)20，求14x2y的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）0.03x0.2y0.4a3b0.08x0.5y （2）51

4a110b2．已知：x1x2x3，求x4x21的值. 3．已知：112a3ab2bab3，求baba的值. 4．若a22ab26b100，求2ab3a5b的值.

5．如果1x2，试化简|x2|x1|x|2x|x1|x.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）cba2ab,3a2c,5b2c；

（2）aab,b2b2a；

（3）1x2x,x12xx2,2x2x2；

（4）a2,12a

题型二：约分

【例2】约分：

（1）16x2yn2m2220xy3；（3）mn；（3）xx2x2x6. 题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

）(a2b3c2（12bc4c)(ab)(a)；

（2）(3a3xy)3(x2y2)(yxyx)2；

2（3）m2nnmnmn2mnm；

（4）aa1a1；

37（5）11x11x2x1x24x8x1x41x8；

（6）111(x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5)；

（7）(x24x24x41x2)(x22xx1)

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：x1，求分子18x241x24[(4x1)(21x)]的值；

（2）已知：xyzxy2yz3xz234，求x2y2z2的值；

（3）已知：a23a10，试求(a21a2)(a1a)的值. 题型五：求待定字母的值

【例5】若13xMNx21x1x1，试求M,N的值. 练习：

1．计算

2（1）2a5a12a3；

（2）b22ab2(a1)2(a1)2(a1)

aabba；

（3）abcaabc2b3cbcab2ccab；

ab2b2（4）ab；

（5）(ab4abab)(ab4abab)；

（6）1121x1x1x2；（7）121(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2). 2．先化简后求值

（1）a1a2a241a22a1a21，其中a满足a2a0.

（2）已知x:y2:3，求(x2y2xy)[(xy)(xy3xx)]y2的值. 3．已知：5x4(x1)(2x1)Ax1B2x1，试求A、B的值. 4．当a为何整数时，代数式399a805a2的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）(a2)3(bc1)3

（2）(3x3y2z1)2(5xy2z3)2

（3）[(ab)3(ab)5]2

（4）[(xy)3(xy)2(ab)2(ab)4]2(xy)6题型二：化简求值题

【例2】已知xx15，求（1）x2x2的值；（2）求x4x4的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）(3103)(8.2102)2；（2）(4103)2(2102)3. 练习：

1．计算：（1）(1315)(15)2|13|(13)0(0.25)200742008

（2）(31m3n2)2(m2n)3

(2ab2)2(a2b)2（3）(3a3b2)(ab3)2

)2（4）[4(xy(xy)2]2[2(xy)1(xy)]2

2．已知x25x10，求（1）xx1，（2）x2x2的值. 第二讲

分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法; 2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）13x1x；（2）21x3x0；（3）x145xx5x1x211；（4）x34x

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）x4x4x7xx1x4；

（2）9x10x6x6x8x9x5

提示：（1）换元法，设xx7x1y；（2）裂项法，x611x6.

【例3】解下列方程组

111(1)xy2111(2)

yz3111zx4(3)题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x的分式方程2mx31x3有增根，求m的值. 【例5】若分式方程2xax21的解是正数，求a的取值范围. 提示：x2a30且x2，a2且a4. 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x的方程

xabxcd(cd0)

提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）cd0. 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：

（1）x12xxx112x0；

（2）x324x3；

2（3）2x3x2x22；

（4）7x2x3xx217xx21

（5）5x42x

（6）1112x453x212

x1x5x21x4

（7）xx2x9x7x1x1x8x6

2．解关于x的方程：

（1）1121a1axb(b2a)；（2）axbbx(ab). 3．如果解关于x的方程kx22xx2会产生增根，求k的值. 4．当k为何值时，关于x的方程x3kx2(x1)(x2)1的解为非负数. 5．已知关于x的分式方程2a1x1a无解，试求a的值. （二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：1x3x2

二、化归法

例2．解方程：1x12x210

三、左边通分法

例3：解方程：x8x717x8

四、分子对等法

例4．解方程：1a1baxbx(ab)

五、观察比较法

例5．解方程：4x5x5x224x174

六、分离常数法

例6．解方程：x1x2x8x2x7x9x3x8

七、分组通分法

例7．解方程：11x2x51x31x4

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x1x2m2x无解，求m的值。

例2．若关于x的方程xx1k2xx21x1不会产生增根，求k的值。

例3．若关于x分式方程1k3x2x2x24有增根，求k的值。

例4．若关于x的方程1k5k1x1xx2xx21有增根x1，求k的值。