习题训练教案教学设计

用“握手问题”解决几何图形中计数问题

东光县第二中学 郑俊荣 一、教学目标:

1、知识与技能:

（1）通过学生自主探究,互动研讨等实践活动,形成对“握手问题”实质的理解,形成这类数学问题的知识链, 掌握解决这类数学问题的关键。

（2）通过学习体会几何图形计数的原理并能推广到角、三角形等问题，能够解决一些基本的几何图形中的计数问题。

2、过程与方法:

通过猜想、游戏、讨论等活动,让学生初步感知化归、类比、从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。

3、情感态度与价值观

(1)通过“握手”问题情境的创设,对学生进行文明礼仪教育，激发学生学习兴趣和探索欲望。

(2)让学生在模型应用中学会分析问题、解决问题的能力，获得成就感。

(3)通过模型的构建过程,体验数学与生活的紧密联系,培养自主探索精神和团结协作意识。

二、学情分析: 初中数学中许多题目都与该问题相似,如数线段条数、直线条数、角的个数、单循环比赛的比赛场次问题、多边形的对角线条数问题等，学生对该类问题不易掌握,不知从何处考虑。因此,我上了一节用“握手问题”解决几何图形中计数问题的练习课，旨在掌握解决此类问题的方法，学以致用。

三、教学重难点: 重点:加深对“握手问题”的实质理解，能应用该模型解决实际问题。

难点:从实际问题中抽象、转化为握手问题进行解答。

四、教学过程

（一）创设情境，激趣导入

我国是一个文明古国,礼仪之邦,大家在初次见面时都要互相握手,以示友好。假如老师与同学们初次见面,那我们应该互相握手，并说：“您好!”(与前排某个同学做出握手姿势,握完后说:“您好!”)同学们互相之间是不是也应该……(同学之间开始握手)。很好,因时间关系,我们握手到此为止。老师现在有一个问题,我们班假如有65个同学,如果每两个同学之间互相握手一次,那么一共握手多少次?你们先小组之间互相讨论一下。

[设计意图]:“握手”问题情境贴近学生生活,不但对学生进行了文明礼仪的教育,还拉近了师生之间的距离,活跃了课堂气氛,激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。

(二)小组讨论,猜想答案

1、老师让学生短暂讨论之后,请各小组代表报告答案并说明理由。

[设计意图]: 这种讨论的目的并不指望同学能获取解决问题的方法,而是要激起学生的求知欲望,所以时间不宜太长。

2、师引导:刚才小组的同学都报出了自己的答案,但谁的答案是正确的呢? 我们知道研究数学问题有一个重要方法,那就是把复杂问题简单化,65个人太多,我们可以先考虑4个人每两个人互相握手一次,共握几次?

[设计意图]: 因为对“握手问题”实质理解不深,学生的答案可能五花八

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门,造成了更多学生的认知冲突，到底谁的答案是对的呢?这样提出问题，更会激起学生更强烈的求知欲望。此时老师适时引导,加深学生对“复杂问题简单化”这一重要数学思想方法的体验。

（三）活动体验，探索规律

1、让4位同学上台做互相握手演示,同学们观察并思考。

[设计意图] 七年级学生个性天真活泼,通过游戏,进一步激发学生的学习兴趣。

2、老师引导:刚才4位同学的握手是杂乱无序的,你们能从中发现计算方法吗?那么怎样安排有序握手,才能发现规律,寻找到计算方法呢?老师请一位同学当导演,安排学生的有序握手,其他学生认真观察思考,发现规律,并寻找出计算方法。

注:待学生完成握手方式1后,老师问:导演怎样安排的有序握手？请同学以图为例说明。（板演：3+2+1=6）

（指着黑板上的图，进一步提问）如果5个人呢?20个人呢?

板演：4+3+2+1=10

老师引导:刚才同学们的表现都很精彩。那么你们能用公式表示出n个人每两个人之间互相握手一次,一共握手多少次吗?

握手总次数板演：1+2+3+…+(n-1)

问题：怎样求连续几个正整数的和呢？下面我当导演安排一次握手，同学们认真观察、思考看看谁能从中找到解决问题的方法？

3、老师自己当导演，安排一次学生有序握手。

提醒学生：握手方式2与生活实际不符，仔细观察，同时让学生记住与对方握手的次数。

活动要求：师请每一个同学都和另外的三个同学一一握手。

提问：同学甲和同学乙互相握手几次？一一提问，让他们亲身体会到每两个人之间都互相握手两次,平时两人之间握手就几次？这样安排握手比实际重复一次。

师：其中一个同学站出来和另外三个同学一一握手，握手3次，一共4个同学，这样共握手4×3次，此握手方式比实际重复一次，所以4×3要除以2。那么，如果n个人每两个人之间互相握手一次,一共握手多少次? [设计意图]通过学生自主探索,亲身体验,使学生在加深对“握手问题”实质理解的同时体验成功的快感,增强学习的兴趣。在全班每4个同学之间的互相握手实践中,也培养了学生合作学习的意识。

（四）方法归纳，导出公式

n个人握手总次数 1+2+3+…+(n-1) = n(n−1)1/2 师解释：n表示首尾数据和，n-1表示数据总个数。

归纳：求连续几个正整数的和可以用下面的公式来解决：

连续几个正整数的和=（首+尾）×数据总个数÷2 [设计意图]培养学生从特殊到一般的数学思想方法和归纳概括能力。

导：握手问题的思想方法可应用于几何图形的计数问题中，首先看应用一。

(五)知识迁移,模型应用

1、关于线段条数的计数问题

例：先阅读文字，再解答问题．

如图①，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，如图②，在一条直线上取三

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点可得到3条线段。

(1)如图③，在一条直线上取四个点，共有几条？怎样想的? (2)如图④，在一条直线上取五个点呢? (3)如图⑤，在一条直线上取n个点(n≥2)，共有 ______ 条线段；

练一练：

●想把一些花摆成一条直线我们需要确定_____ 盆花的位置。

●小明在这条直线上摆了3盆花，会出现几条线段呢？4盆呢？ n盆呢？

[设计意图]:从同学们熟悉的线段图形入手，让学生在模型应用中学会分析问题、解决问题的能力，获得成就感。

2、关于角的个数的计数问题

例:如果过角的顶点A：

(1)如图，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？

(2)如图，在角的内部作两条射线，图中

一共有几个角？三条射线呢？ n条射线呢？

图①中有1＋2＝3 个，

图②中共有1＋2＋3＝6个，

图③中共有1＋2＋3＋4＝10个，

、、、、、、

一个角的内部作n条射线，则共有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝1/2（n+1）

（n+2）

个

练一练：

●下列图形中各有多少个三角形？

从顶点或一边上的一点引一条直线截三角形。

[设计意图]:进一步利用建构的数学模型解决角的个数问题，让同学们尝试独立思考、分析、解决问题，培养学生独立自主、解决问题的能力。

3、平面内直线相交交点与平面的计数问题

例：为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手。如图所示（动画演示直线条数分别是1、2、3、4、5、、、、、n条的情形）

直线条数为1时，最多有 0 个交点，把平面最多分成1+1=2部分。

直线条数为2时，最多有 1个交点，把平面最多分成1+1+2=4 部分。

直线条数为3时，最多有 1+2=3个交点，把平面最多分成1+1+2+3=7 部分。

直线条数为4时，最多有1+2+3=6个交点，把平面最多分成1+1+2+3+4=11 部分。

当直线条数为n 时，最多有 1＋2＋3＋…＋(n－1) 个交点；把平面最多分成

1+1+2+3+4+…+n 部分．

练一练：

●某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级的

辩论赛共要进行多少场？

●为了增近友谊小明和他的五个小朋友互相送贺年卡，你知道一共需要几张贺年卡？

[设计意图]:通过类比方法,让学生明白单循环比赛问题和握手问题是同一个问题。

4、认识一下车票

●由梅州到广州某一列车，运行途中经过兴宁、华城、河源、惠州，出发途径两

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站后到达C站。

1.问火车站需要准备多少种不同的票价？

2.问火车站需要准备多少种不同的车票？

[设计意图]:利用所学知识,解决实际问题。使学生真正体会到数学源于生活，又应用于生活。

（六）回顾反思

这节课大家学到了什么？请同学们畅所欲言。

利用握手问题可以解决几何图形计数问题，如线段条数、角的个数、平面内直线相交交点个数等等，车票问题、比赛的单、双循环问题等等。另外我们还会用公式求几个连续正整数的和。

（七）作业布置

知识是无穷的，我们要学无止境，课下继续探索类似握手问题的数学问题。以数学家毕达哥拉斯的一句名言结束此课：在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么。希望同学们掌握学习的方法，在知识的海洋中自由翱翔!

（八）板书设计

A B

C 1＋2＋3＝6个

D

1＋2＋3＋4＝10个

A C B

E D

n个人握手总次数 1+2+3+…+(n-1) = n(n−1)1/2

（九）教学反思

在本节课教学中,我以“握手”这样一个低起点、贴近学生生活、符合学生认知水平的问题情境作为课堂导入,即对学生进行了文明礼仪的教育,又一下拉近了师生之间的距离,活跃了课堂气氛,激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。接着通过猜想、游戏、观察、讨论、画图等形式多样的活动,调动了眼、耳、口、手、脑等多种感官投入到学习活动中来，让学生真正动起来，成为学习的主人，力求让每个学生都能体验到成功的快乐。

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教师只有把“学”的权利交给学生,把“思”的时间还给学生,把“做”的过程留给学生,改变传统的教学方法,引导学生主动探究,才能发挥学生的个性特长,激发学生的数学潜能和创新意识,培养学生良好的思维品质,才能使学生“知其然”又“知其所以然”。

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