分式的基本性质应用：约分、通分教学设计案例

12.1 分式

一、学习内容分析

分式是在整式后对代数式的进一步研究，是对分数的进一步抽象.这是本章的起始课，是整章的理论基础.在此之前，学生已经学习了分数、整式的运算以及因式分解等知识，而本节课的学习将为后来学习分式的基本性质、运算、解分式方程奠定基础. 二、教材的处理

本节内容分为两个课时，根据学生的学习特点以及“分式的基本性质”与“分式约分”之间的密切关系，本节课没有讲授“分式的基本性质”，而是将其与“约分”相结合，放在了第二课时.第一课时以“分式表示两个整式的商”这条主线，添加了分式的值为正（负）数这部分内容，使对于分式值的研究完整化，使学生初步形成对分式值的认知体系. 三、学情分析

在数的范畴内，学生已经学习了“整数”和“分数”，在代数式中，学习了“整式”，在本节课学生将类比数的学习历程，理解和认识分式的相关性质.学生已经了解了除法运算及其相关性质，以除法相关知识为抓手，研究分式问题。

四、教学目标、重点、难点

教学目标：1. 理解分式的概念，能够分辨一个代数式是否为分式；

2. 掌握分式有意义、无意义和值为0、正数、负数的条件，并能够运用；

3. 通过探究分式的相关性质，把除法的、有理数和除法法则等知识融会贯通，使知识系统化. 教学重点：分式的概念以及分式有意义、无意义、值为0的条件；

教学难点：分式的值为正数、负数的条件以及建立所学知识之间关联. 五、教学过程

（一）

温故知新，揭示概念

1. “温故”——根据实际意义列代数式，

（1）已知A车的速度为n km/h，B车比A车每小时多行20km，

①A车2小时行驶 km，B车2小时行驶 km. ②如果甲、乙两地之间的路程为m km.那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各 、 . （2）期中考试，小明语、数、英三科的成绩分别为80分，a分，则他两科的平均分为 . *（3）圆的周长为C，则圆的直径为 . （3）把上面所得的式子按“已学”和“未学”进行分类，指出其中所含有“整式”. 设计意图：课本“做一做”中所列出的式子可以清楚地表明分式的特征——表示整式之间的除法运算，且分母当中含有字母，所以本环节选用“做一做”并进行了适当地改动，以实际问题中的数量关系为背景，抽象分式的概念，体会分式是刻画数量关系的一类代数式. 操作注意事项：学生按已学和未学分类时，回顾关于“式”的知识体系，紧抓式是用运算来描述这一特征，并板书。回忆代数式、整式、单项式、多项式的概念，重点强调以下几点：

（1）代数式是用运算符号把数字和字母连接起来所得的式子；

（2）单项式是数字与字母的乘积；

（3）多项式是单项式的和.

对比“整数”和“分数”，指出本节课所学代数式的名称与“整式”相对，与“分数”类似，叫做“分式”. 设计意图：数学学习具有明显的前后关联性，学习任何一个知识点，要首先让学生明白这个知识点在他的知识框架中处于什么地位，与前面所学的知识有何联系，所以本节课设计了这个环节，让学生明晰“分式”这一节的地位，使学生更加系统地完善“代数式”的概念. 2. “知新”——揭示“分式”的概念；

从运算的角度分析上面所得的分母中含有字母的代数式，它们表示两个整式相 （填“加、减、乘、除”），这样的代数式就称为分式. 归纳总结：一般地，我们把形如

的代数式称为分式，其中A、B表示两个整式，且B中必须含有字母。由此可见，分式是两个整式的 （填“和、差、积或商”）. 预习自测：判断下列分式是整式还是分式（填序号）. ①

，②

，③

，④

，⑤

，⑥

，⑦ . 整式： ，分式 设计意图：抓住“代数式”概念中用“运算符号”连接数字和字母这是关键点，提示分式的本质是“除法”运算，为学习分式有意义、无意义、值的各类情况埋下伏笔. （二）

自主探究——分式有意义、无意义和值为0 开放性问题：分式就是整式与整式之间做除法运算，那么，关于除法运算，你有哪些记忆犹新的知识呢？说一说，跟同学交流一下。

教学预设：学生可能回忆起，除数不为0，0除以任何一个非零数都等于0，整除，两数相除，同号得正，异号得负，除以一个非零数等于乘以这个数的倒数

等等。

设计意图：寻找新旧知识的连接点，让新知识生长于旧知识之上。

以

为例，

1.依据“除数不能为0”，分别讨论这些分式什么时候有意义？什么时候没有意义？

总结归纳：对于分式

，当 时，分式有意义；当 时，分式没有意义. 2. 依据“0除以任何一个非零数都等于0”，讨论“当x取什么值时，分式的值为0”。

总结归纳：对于分式

，当 时，分式的值为0. 设计意图：抓住“分式表示两个整式相除”，根据除法的意义——除数不能为0，得到分式有意义和没有意义的条件，再根据“0除以任何非0数都得0”推导出分式值为0的条件，这样把新知识完全植根于旧知识当中，让学生找到了自己知识的生长点，以旧推新，体会数学学习的内存规律性. 操作注意事项：根据学生的理解程度以及时间进度，对以上题目适当变式，如：改变分子，让学生观察对分式有（无）意义是否有影响；改变分母中的数字或符号，再次让学生解答；改变最后一个分式分母中的符号，变为x2+1，让学生讨论等等。

（三）

拓展提升——分式的值为正数或负数

1. 依据“两数相除，同号得正，异号得负”，讨论“当x取什么值时，分式的值为正数”和“当x取什么值时，分式的值为负数”。

归纳总结：对于分式

，当

时，分式的值为正数；当 时值为负数.

设计意图：继续以“分式表示两个整式的商”为线索，结合有理数除法的法则，较为容易地解决本节课的难点，运用不等式组解决此类问题，让学生体会数学知识的综合运用以及之间的相互联系. 操作注意事项：所给的四个例子中，不存在化为一元一次不等式组的类型，抓住这个契机，让学生对题目进行变式，增强学生对题目的理解。

（四）课堂小结

填写思维导图，完成本节课的小结：

（五）布置作业：根据除法的相关知识，你还能提出哪些问题？自己试着写一写，并解答。

教学反思

数学知识前后联系紧密，有很强的基础性和系统性，本节课表现成为突出.所以在本节课的教学中，我始终抓住“代数式是用运算符号把数字和字母进行连接，而分式表示的是整式之间相除”这一主线，与除法的意义、两数相除值为0、有理数除法法则相联系，使学生建立起新知识与旧知识之间的联系，通过自主探究，由旧知识衍生出新知识，把各个知识点连接成线，进而形成知识体系