分式的混合运算教案教学设计导入整理

15.2 分式的运算

1．分式的乘除

(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

aca·c用式子表示为：·＝. bdb·d(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

acada·d用式子表示为：÷＝·＝. bdbcb·c分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．

4a4b29x【例1】

计算：(1)·；

15x28a4ba2－1a2－a(2)2÷；

a＋2a＋1a＋1a2－42a(3)2·2；

a＋4a＋4a－4a＋44x2＋4xy＋y2(4)÷(4x2－y2)．

2x＋y4a4b2·9x3b4a4b29x解：(1)·＝＝；

15x28a4b15x2·8a4b10xa2－1a2－a(2)2÷

a＋2a＋1a＋1＝＝（a＋1）（a－1）a＋1·

2（a＋1）a（a－1）（a＋1）（a－1）（a＋1）1＝；

aa（a＋1）2（a－1）a2－42a(3)2·2

a＋4a＋4a－4a＋4＝＝＝（a＋2）（a－2）2a·

2（a＋2）（a－2）22a（a＋2）（a－2）

（a＋2）2（a－2）22a；

a－424x2＋4xy＋y2(4)÷(4x2－y2) 2x＋y（2x＋y）21＝·

2x＋y（2x＋y）（2x－y）＝1.

2x－y

2．分式的乘方

(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

aa(2)用式子表示：b＝bn. 解技巧

分式的乘方的理解

(1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．

【例2】

计算：

axy(1)－b3；(2)－z2. a（a）a解：(1)－b3＝34＝12；

（－b）bxy（xy）xyxy(2)－z2＝23＝6＝－6.

z（－z）－z3．分式的加减

(1)同分母分式相加减：

①法则：分母不变，把分子相加减；

aba±b②用式子表示：±＝. ccc(2)异分母分式相加减：

①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；

acadbcad±bc②用式子表示：±＝±＝. bdbdbdbd警误区

分式加减运算的注意点

(1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；

(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；

(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．

【例3】

计算：

（a－b）2（a＋b）2(1)＋；

2ab2aba1(2)2－；

a－11－a2112x(3)－＋22；

x＋yx－yx－y122(4)2＋；

m－93－mx－32(5)2－；

x－1x＋14(6)－a－2. a＋2（a－b）2（a＋b）2解：(1)＋

2ab2ab（a－b）2＋（a＋b）2＝

2ab23nn242324248236363

a2－2ab＋b2＋a2＋2ab＋b22a2＋2b2＝＝

2ab2aba2＋b2＝；

aba1a1(2)2－＝＋

a－11－a2a2－1a2－1＝a＋1a＋11＝＝；

2a－1（a＋1）（a－1）a－1112x(3)－＋22

x＋yx－yx－y＝＝＝＝112x－＋

x＋yx－y（x＋y）（x－y）（x－y）－（x＋y）＋2x

（x＋y）（x－y）2x－2y

（x＋y）（x－y）2（x－y）2＝；

（x＋y）（x－y）x＋y122122(4)2＋＝－

m－93－m（m＋3）（m－3）m－3＝＝＝2（m＋3）12－

（m＋3）（m－3）（m＋3）（m－3）12－2（m＋3）

（m＋3）（m－3）－2（m－3）

（m＋3）（m－3）2＝－；

m＋3x－32(5)2－

x－1x＋1＝＝x－32（x－1）－

（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）x－3－2（x－1）－（x＋1）＝

（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）1＝－；

x－144(6)－a－2＝－(a＋2)

a＋2a＋2（a＋2）（a＋2）244＝－＝－

1a＋2a＋2a＋24－（a＋2）24－a2－4a－4＝＝

a＋2a＋2a2＋4a＝－.

a＋2

4．整数指数幂

1－－一般地，当n是正整数时，an＝n(a≠0)．这就是说，an(a≠0)是an的倒数．这样引a入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．

－－＋－根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝amn，am·an＝am(n)＝am－n－，因此am÷an＝am·an. anana－1－1n特别地，＝a÷b＝a·b，所以b＝(a·b)，即商的乘方b可以转化为积的乘方(a·bb－1)n. 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：

＋(1)am·an＝amn(m，n是整数)；

(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；

(3)(ab)n＝anbn(m，n是整数)．

【例4】

计算：

2－；

(1)3(2)a2b3(a1b)3÷(ab)1. －－－－22119－＝解：(1)＝＝；

23－24439(2)a2b3(a1b)3÷(ab)1＝a2b3·a3b3·ab＝a0b＝b.

5．科学记数法

(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数整数部分的位数减1；

－(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a×10n的形式，其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a|＜10. 提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．

【例5】

把下列各数用科学记数法表示出来：

(1)650 000；

(2)－36 900 000；

(3)0.000 002 1；

(4)－0.000 006 57. 解：(1)650 000＝6.5×105；

(2)－36 900 000＝－3.69×107；

－(3)0.000 002 1＝2.1×106；

－(4)－0.000 006 57＝－6.57×106. －－－－－－2

6．分式的乘除混合运算

分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．

谈重点

分式乘除混合运算的方法

(1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．

7．分式的混合运算

分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．

解技巧

分式混合运算的技巧

分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．

8．把分式化简后再求值

分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．

21－x22x＋3x＋2【例6】

计算：2÷(x－1)·. x＋4x＋4x－1分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．

21－x22x＋3x＋2解：2÷(x－1)·

x＋4x＋4x－1＝（1＋x）（1－x）（x＋1）（x＋2）1·

22·（x＋2）（x－1）x－1（x＋1）2＝－.

（x＋2）（x－1）22a－b＋2÷1＋1【例7】

计算：2·. 22a＋2ab＋bababa－b2＋2ab2a－b＋2÷a＋b解：原式＝2·

22a＋2ab＋bababa－b2＋2ab2a－b＋2·（ab）·＝2

222a＋2ab＋bab（a＋b）a－b2＋2ab2a－b＋2ab·＝2

222a＋2ab＋b（a＋b）a－b2＋2ab2a－b＋2ab·＝

222（a＋b）（a＋b）a－b2＋2aba2－b2＋2ab2＝

2·2（a＋b）a－b2＋2ab＝2.

（a＋b）2222222222222223xxx－1【例8】

先化简，再求值：x－1－x＋1·2x，其中x＝－3. 3x（x＋1）－x（x－1）（x＋1）（x－1）解：原式＝·

2x（x＋1）（x－1）3x2＋3x－x2＋x2x2＋4x2x·（x＋2）＝＝＝＝x＋2.

2x2x2x当x＝－3时，原式＝－3＋2＝－1. 9.运用分式运算解决实际问题

运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数

学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．

x＋y4作差法举例：若x≠y且x＞0，y＞0，比较与的大小．

x＋yxyx＋y4xy－（x＋y）2－（x－y）24解：－＝＝.

x＋yxyxy（x＋y）xy（x＋y）因为x≠y，x＞0，y＞0.

－（x－y）2x＋y4所以＜0，即＜. xy（x＋y）x＋yxy【例9】

甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？

解：设甲每小时生产这种零件x个，则乙每小时生产这种零件(x－8)个，甲完成任务需168144要时间为小时，乙完成任务需要时间为小时．

xx－8168144168（x－8）－144x24（x－56）－＝＝.

xx－8x（x－8）x（x－8）∵x＞8，∴x－8＞0，∴x(x－8)＞0.

168144故当x＞56时，－＞0；

xx－8168144当x＝56时，－＝0；

xx－8168144当x＜56时，－＜0.

xx－8所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．

10．分式混合运算的开放型题

运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．

a2＋b22ab举例：已知P＝2Q＝22，用“＋”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：2，a－ba－bP＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2. 12x【例10】

已知A＝，B＝2，C＝.将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的x－2x－4x＋2形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3. 12x解：选一：(A－B)÷C＝x－2－x2－4÷x＋2

＝x＋2x1×＝，

x（x＋2）（x－2）x－21当x＝3时，原式＝＝1.

3－2

12x选二：A－B÷C＝－2÷

x－2x－4x＋2＝＝x＋212－×

xx－2（x＋2）（x－2）x－2121－＝＝，

x－2x（x－2）x（x－2）x1当x＝3时，原式＝. 3