习题训练优秀课堂实录

中考最短路径问题

教学背景分析：

学生已有垂线段最短、两点之间线段最短、三角形三边关系、线段垂直平分线性质与轴对称的知识储备，为本节课的学习奠定了较好的基础.但不能很好地建立这些知识之间的远联系.

学习目标： 1.

建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.

借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换、平移变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想。

学习重点：

利用轴对称、平移等数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。

学习难点：

综合运用轴对称、平移等数学知识，将不在同一直线上的线段转化在同一直线上，从而解决线段和（周长）最小值问题。

教学内容：

【核心母题】

1、如图所示，在直线l上找一点B,使得线段AB最短？

2、点A，B分别是直线l的异侧的两个点，如何在直线l上找到一点P，使点P到点A、点B的距离的和最短？

3、点A，B分别是直线l的同侧的两个点，如何在直线l上找到一点P，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

设计意图：本着回归数学本质，背景简单、提问简洁的原则，从最简单的图形出提出问题，为后续研究做准备.

【母题应用】

1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是

_______

2、如图，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值是

_____________ 模型的初步运用，根椐图形中的线段及点的位置特征，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，得到解决. 总结：单动点求两条线段和的最小值，只需做一次对称即可

【母题变式】

1、已知∠AOB=30°,P为∠AOB内一点，OP=8,点M、N分别在OA、OB上,则ΔPMN周长的最小值为_________. 2、如图，在锐角三角形ABC中，AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为________ 3、已知A(2,4)、B（4，2），在x轴、y轴上分别求作点C、D，使四边形周长最小，则C、D两点的坐标分别为________,

设计意图：通过模型类比，进行图形变式，进行三条线段求和的最小值，双动点两折线的和的最值题，引导学生积极思考，分类计论

，培养学生分析问题解决问题的能力。

总结：双动点求三条线段之和最小，需作两次对称变换，在一边确定的情况下，要使四边形的周．．．．长最小，应通过作已知线段端点的对称点，把另外三条边转化到同一直线上。

拓展训练：

1、已知A(1,1),B(4,2)，P为x轴上一动点，求|PB-PA|有最大值时，P点的坐标？

课堂小结：

通过本节课的学习，你会解决什么样的数学问题，在解决问题的过程中，用到了哪些数学思想方法？

设计意图：培养学生小结的习惯，落实数学基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.

作业：已知：A（1，1），B(4,2),CD为x轴上的一条动线段，D在C点右边且CD=1，求当AC+CD+DB最小值和此时C点的坐标？

课堂小结：

1、通过本节课的学习，你会解决什么样的数学问题，在解决问题的过程中，用到了哪些数学思想方法？

2、作为一名中学生，我们应该怎样保护身边的环境？