本章复习与测试第二课时教学实录

※知识点一、对质点、参考系和位移的理解

★抓住“三点”理解质点、参考系和位移

1．质点的模型化：建立模型．一是要明确题目中需要研究的问题；二是看所研究物体的形状和大小对所研究问题是否有影响．

2．运动的相对性：选取不同的参考系，对同一运动的描述一般是不同的．

3．位移的矢量性：一是位移只与初末位置有关；二是位移方向由初位置指向末位置．

★位移与路程的“3区别1联系”

1.区别：（1）物理意义不同：位移描述物体位置的变化；路程描述物体运动轨迹的长度。（2）决定因素不同：位移由始、末位置决定；路程由实际的运动路径决定。（3）运算法则不同：位移应用矢量的平行四边形定则；路程应用标量的代数运算。

2.联系：位移x与路程s的大小关系为x≤s，只有物体做单向直线运动时，其位移大小才等于路程。

【典型例题】

【例题1】下列比赛项目中，运动员可看做质点的是（

）

A．自由体操

B．柔道

C．拳击

D．马拉松赛跑

【答案】D 【解析】自由体操要根据运动员的动作进行打分，柔道要看运动员着地时的身体部位，拳击要看身体的着拳部位，这三种运动的运动员都不能看做质点A、B、C错误；马拉松比赛中运动员可以看做质点，因为运动员的身高和动作相对于路程来讲可以忽略，D正确。学科网

【针对训练】（多选）关于位移和路程，下列说法正确的是（

）

A．物体在某一段时间内运动的位移为零，则其一定是静止的

B．物体在某一段时间内运动的路程为零，则其一定是静止的

C．在直线运动中，物体的位移大小一定等于其路程

D．在曲线运动中，物体的位移大小一定小于路程

【答案】BD 【解析】物体运动了一段时间后又回到出发点，位移为零，A错误；物体不运动，则它的路程一定为零，反之物体在某一段时间内运动的路程为零，则它一定静止，B正确；物体只有做单向直线运动时，其位移大小才等于路程，除此之外，其位移大小都小于路程，C错误，D正确。

※知识点二、平均速度和瞬时速度的关系

1.平均速度与瞬时速度的区别与联系

（1）区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度；瞬时速度是状态

量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度。

（2）联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。

2．平均速度与平均速率的区别

平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值，只有当路程与位移的大小相等时，平均速率才等于平均速度的大小。

3．计算平均速度时应注意的两个问题

（1）平均速度的大小与物体不同的运动阶段有关，求解平均速度必须明确是哪一段位移或哪一段时间内的平均速度。

（2）v＝Δx

是平均速度的定义式，适用于所有的运动。

Δt

★用极限思想理解两种速度关系

1．两种速度的关系

（1）瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度．

（2）对于匀速直线运动，瞬时速度与平均速度相等．

2．关于用平均速度法求瞬时速度

（1）方法概述：由平均速度公式v＝为是某一时刻或某一位置的瞬时速度．

（2）选用思路：当已知物体在微小时间Δt内发生的微小位移Δx时，可由v＝的瞬时速度．

Δx粗略地求出物体在该位置ΔtΔx可知，当Δx、Δt都非常小，趋向于极限时，这时的平均速度就可认Δt

【典型例题】

3【例题2】如果一质点沿直线Ox方向做加速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝3＋2t（m），它的速度随时间变化的关系为v＝6t2 m/s.请思考如何求解t＝2 s时的瞬时速度和t＝0到t＝2 s间的平均速度？

【答案】24m/s；8m/s ＝Δx19－3＝

m/s＝8 m/s. Δt2

【针对训练】如图所示，在气垫导轨上安装有两个光电计时装置A、B，A、B间距离为L＝30 cm，为了测量滑块的加速度，在滑块上安装了一个宽度为d＝1 cm遮光条，现让滑块以某一加速度通过A、B，记录遮光条通过A、B的时间分别为0.010 s、0.005 s，滑块从A到B所用时间为0.200 s，则下列说法正确是（

）

A．滑块通过A的速度为1 cm/s B．滑块通过B的速度为2 cm/s C．滑块加速度为5 m/s2

D．滑块在A、B间的平均速度为3 m/s 【答案】C 【解析】

滑块通过A点的速度vA＝d0.01d0.01＝

m/s＝1 m/s，故A错误；滑块通过B点的瞬时速度vB＝＝

m/sΔt10.01Δt20.005vB－vA2－1＝2 m/s，故B错误；滑块加速度a＝＝

m/s2＝5 m/s2，故C正确；滑块在A、B间的平均速度vt0.2L0.3＝＝

m/s＝1.5 m/s，故D错误。学科网

t0.2

※知识点三、

速度、速度变化量和加速度的关系

★速度、速度变化量和加速度的对比

比较

项目

物理

意义

定义

式

速度

描述物体运动的快慢和方向，是状态量

xv＝

t速度变化量

描述物体速度的变化，是过程量

Δv＝v－v0

加速度

描述物体速度变化快慢，是状态量

Δvv－v0a＝＝

ΔtΔt与Δv的方向一致，由F的方向决定，而与v0、v方向无关

方向

物体运动的方向

由v－v0或a的方向决定

★对速度与加速度关系的三点提醒

1．速度的大小与加速度的大小没有必然联系．

2．速度变化量与加速度没有必然的联系，速度变化量的大小由加速度和速度变化的时间决定．

3．物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系，而不是看加速度的变化情况．加速度的大小只反映速度变化（增加或减小）的快慢．

a不变，v随时间均匀增加a和v同向（加速直线运动）a增大，v增加得越来越快

a减小，v增加得越来越慢a不变，v随时间均匀减小a和v反向（减速直线运动）a增大，v减小得越来越快

a减小，v减小得越来越慢★易错提醒：速度和加速度关系的3个易错点

1.速度的大小与加速度的大小没有必然联系。

2.速度变化量的大小由加速度和速度变化的时间共同决定。

3.速度增大或减小是由速度与加速度的方向关系决定的。[来源:Zxxk.Com]

【典型例题】

【例题3】（多选）一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4 m/s，1 s后速度的大小变为10 m/s，在这1 s内该物体的（

）

A．加速度的大小为6 m/s2，方向与初速度的方向相同

B．加速度的大小为6 m/s2，方向与初速度的方向相反

C．加速度的大小为14 m/s2，方向与初速度的方向相同

D．加速度的大小为14 m/s2，方向与初速度的方向相反

【答案】AD 【解析】

若初、末速度方向相同时，a＝v－v010－4＝

m/s2＝6 m/s2，方向与初速度的方向相同，A

t1

【针对训练】如图所示，小球以v1＝3 m/s的速度水平向右运动，碰一墙壁经Δt＝0.01 s后以v2＝2 m/s的速度沿同一直线反向弹回，小球在这0.01 s内的平均加速度是（

）[来源学科网ZXXK]

A．100 m/s2，方向向右

C．500 m/s2，方向向左

【答案】C 【解析】取水平向左为正方向，则v1＝－3 m/s，v2＝2 m/s，由加速度的定义式可得：a＝方向水平向左，故只有C项正确。学科网

v2－v1＝500 m/s2，ΔtB．100 m/s2，方向向左

D．500 m/s2，方向向右

※知识点四、匀变速直线运动规律的应用

1．匀变速直线运动

（1）定义：沿着一条直线运动，且加速度不变的运动。

匀加速直线运动：a与v0方向相同；

（2）分类

匀减速直线运动：a与v0方向相反。

2．匀变速直线运动的基本规律

（1）速度公式：v＝v0＋at。

1（2）位移公式：x＝v0t＋at2。

2（3）速度位移关系式：v2－v20＝2ax。

3．匀变速直线运动的重要推论

（1）任意相邻相等时间T内的位移差：Δx＝aT2；可以推广到：xm－xn＝（m－n）aT2。

t1（2）中间时刻的速度：v＝（v0＋v）＝v。

22x（3）位移中点速度：v＝

22v20＋v。

2（4）初速度为零的匀加速直线运动常用的4个比例关系

①1T末、2T末、3T末、……nT末瞬时速度的比

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；

②1T内、2T内、3T内、……nT内位移的比

x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2；

③第一个T内、第二个T内、第三个T内、……第n个T内位移的比

xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）；

④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比

t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶（2－1）∶（3－2）∶…∶（n－n－1）。

★解答运动学问题的基本思路

画过程判断运

选取选公式解方程→→→→

示意图动性质正方向列方程并讨论★运动学公式中正、负号的规定

直线运动可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，我们规定初速度v0的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向。

★多过程问题

如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是连接各段的纽带，应注意分析各段的运动性质。

★两类特殊的匀减速直线运动

1．刹车类问题。汽车匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动

时间。如果问题涉及最后阶段（到停止运动）的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。

2．双向可逆类问题。如果物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，且全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。

【典型例题】

【例题4】据报道，一儿童玩耍时不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童。已知管理人员到楼底的距离为18 m，为确保能稳妥安全地接住儿童，管理人员将尽力节约时间，但又必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击。不计空气阻力，将儿童和管理人员都看作质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10 m/s2。

（1）管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？

（2）若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9 m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？

【审题指导】

第一步：抓关键点

关键点

不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下

不计空气阻力

在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，……接住儿童时没有水平方向的冲击

第二步：找突破口

1（1）儿童下落时间t0可由h＝gt02求得。

2x（2）管理人员的平均速度应满足v≥。

t0获取信息

儿童下落高度h＝45 m 儿童做自由落体运动

儿童下落时间与管理员水平方向运动18 m的时间相同，且接儿童瞬间管理人员的水平速度恰好为零

v0x（3）若管理人员先匀加速后匀减速至速度为零，则有：＝，则v0＝12 m/s＞vm＝9 m/s，故管理人员的运2t0动为：先匀加速至vm＝9 m/s，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底，速度恰好为零。

【答案】（1）6 m/s

（2）a≥9 m/s2

1【解析】（1）儿童下落过程，由运动学公式得：h＝gt02

2管理人员奔跑的时间t≤t0，对管理人员运动过程，由运动学公式得：x＝v

t，联立各式并代入数据解得：v≥6 m/s。

（2）假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v0，由运动学公式得：

1

at12

21x3＝at32，x2＝vmt2，vm＝at1＝at3

2t1＋t2＋t3≤t0，x1＋x2＋x3＝x

联立各式并代入数据得a≥9 m/s2。

【答案】

（1）6 m/s

（2）a≥9 m/s2

★求解多阶段运动问题的三点注意

（1）准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。

（2）明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量。

（3）合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。

【针对训练】以36 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为a＝4 m/s2的加速度，刹车后第三个2 s内，汽车走过的位移为（

）

A．12.5 m

B．2 m

C．10 m

D．0 【答案】

D 【解析】设汽车从刹车到停下的时间设为t，则由v＝v0＋at得t＝车早已停止，所以第三个2 s位移为零，D正确。

v－v00－10＝

s＝2.5 s，所以第三个2 s汽a－4

※知识点五、解决匀变速直线运动的常用方法

方法

基本公式法

分析说明

基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用时要规定正方向

x（1）定义式v＝对任何性质的运动都适用

t1（2）v＝（v0＋v）只适用于匀变速直线运动

2利用“中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度”，即vt＝v，2平均速度法

中间时刻速度法

该式适用于任何匀变速直线运动

图像法

应用v -t图像，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案

匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，推论法

即xn＋1－xn＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用Δx＝aT2求解

【典型例题】

【例题5】物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C3时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用4的时间．

【答案】

t 【解析】方法一：逆向思维法

物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面．设物体从B到C所用的时间为tBC

. 2a(t＋tBC)at xACBC由运动学公式得xBC＝，xAC＝，又xBC＝，

2242由以上三式解得tBC＝t. 方法二：基本公式法

因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得

2v

0＝2axAC①学科网

22v

B＝v

0－2axAB②

3xAB＝xAC③

4由①②③解得

v0vB＝④

2又vB＝v0－at⑤

vB＝atBC⑥

由④⑤⑥解得tBC＝t. 方法三：比例法

对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝

段位移的中间时刻，因此有tBC＝t. 方法五：图象法

根据匀变速直线运动的规律，画出v－t图象．如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的S△AOCCO2S△AOC44(t＋tBC)平方比，得＝2，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.所以＝，解得tBC＝t. S△BDCCDS△BDC11t22

【针对训练】

※知识点六、自由落体运动

1．应用自由落体运动规律解题时的两点注意

（1）可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。

①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…。

hv1②一段时间内的平均速度v＝＝＝gt。

t22③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2。

（2）物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决竖直下抛运动问题。

【典型例题】

【例题6】如图所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下（不计空气阻力），木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5

m，取g＝10 m/s2，求：

（1）木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？

（2）木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？

【审题指导】

（1）从木杆下端平齐圆筒的上端A到木杆上端平齐圆筒的上端A所用的时间为t1。

（2）从木杆下端平齐圆筒的上端A到木杆上端平齐圆筒的下端B所用的时间为t2。

【答案】（1）(2－3)s

（2）(5－3)s 【解析】

（1）木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A用时t下A＝

s＝3 s 木杆的上端到达圆筒上端A用时

t上A＝

2h上A＝

g2×20

s＝2 s 102h下A＝

g2×15

10则木杆通过圆筒上端A所用的时间

t1＝t上A－t下A＝(2－3)s。

（2）木杆的下端到达圆筒上端A用时t下A＝

木杆的上端离开圆筒下端B用时t上B＝

2h下A＝g2×15

s＝3 s 102h上B＝

g2×25

s＝5 s 10则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B

－t下A＝(5－3)s。

【方法规律】

在计算杆通过圆筒的时间时，既不能将杆视为质点，又不能将圆筒视为质点，此时要注意确定杆通过圆筒的开始和终止时刻之间所对应的下落高度。

【针对训练】（多选）关于自由落体运动（g＝10 m/s2），下列说法正确的是（

）

A．它是竖直向下，v0＝0、a＝g的匀加速直线运动

B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5 C．在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3 D．从开始运动到距下落点5 m、10 m、15 m所经历的时间之比为1∶2∶3 【答案】ABC 【解析】自由落体运动是竖直向下，v0＝0、a＝g的匀加速直线运动；根据匀变速直线运动规律，在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5；在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3；从开始运动到距下落点

5 m、10 m、15 m所经历的时间之比为1∶2∶3，选项A、B、C正确，D错误。

※知识点七、对运动图象的理解及应用

1．x -t图象

（1）物理意义

反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小；

②切线斜率的正负表示物体速度的方向。

（3）两种特殊的x -t图象

①匀速直线运动的x -t图象是一条倾斜的直线；

②若x -t图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态。

2．v -t图象

（1）物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

（2）图线斜率的意义

①图线上某点切线斜率的大小表示物体加速度的大小；

②图线上某点切线斜率的正负表示物体加速度的方向。

（3）两种特殊的v -t图象

①匀速直线运动的v -t图象是与横轴平行的直线；

②匀变速直线运动的v -t图象是一条倾斜的直线。

（4）图线与时间轴围成的面积的意义

①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小；

②此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

★图象问题的三个提醒

1．x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．

2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．

3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．

★运动图象问题的解题思路

用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：

1．读图

即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个：

第一：关注横、纵坐标

（1）确认横、纵坐标对应的物理量各是什么。

（2）注意横、纵坐标是否从零刻度开始。

（3）坐标轴物理量的单位也不能忽视。

第二：理解斜率、面积、截距的物理意义

（1）图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况。

（2）面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面

积，一般都能表示某个物理量，如v -t图象中的面积，表示位移。

（3）截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距。

第三：分析交点、转折点、渐近线

（1）交点：往往是解决问题的切入点。

（2）转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。

（3）渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。

2．作图和用图

依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。

【典型例题】

【例题7】甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图像如图所示。下列表述正确的是（

）

A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大

B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大

C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小

D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

【答案】

B 【解析】

在0.2～0.5小时内，位移—时间图像是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～

【针对训练】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v -t图像如图所示，在这段时间内（

）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于v1＋v2

2C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

【答案】A 【解析】平均速度等于位移与时间的比值，在v -t图像中，图形的面积代表位移的大小，根据图像可知道，甲的位移大于乙的位移，由于时间相同，所以汽车甲的平均速度比乙的大，故A正确，C错误；由于乙车做变减速运动，平均速度不等于是逐渐减小，故D错误。

v1＋v2，故B错误；因为切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都2

※知识点八、追及与相遇问题

1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系

（1）一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

（2）两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。

2．追及相遇问题常见的情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有三种常见情况：

（1）A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

（2）要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

（3）若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。

3．能否追上的判断方法

物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0. ①

若vA＝vB时，xA＋x0

②若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；

③若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上. 4.若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。

★追及与相遇问题的类型及解题思路

1．相遇问题的两类情况

（1）同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离．

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

2．追及问题涉及两个不同物体的运动关系，分析时要紧抓“一个图三个关系式”，即：过程示意图或v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式．同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等．

★速度大者减速追速度小者（匀速）的结论

1．两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与初始间距之和，则永远追不上，此时二者间有最小距离．

2．若速度相等时，追者位移恰等于被追者位移与初始间距之和，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件．

3．若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次追上追者．

【典型例题】

【例题8】如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求：

（1）两辆汽车再经过多长时间相遇；

（2）两辆汽车相遇处距A处的距离。

【审题指导】

（1）两车相遇时若出现vA＞vB，因有a2＞a1，必出现第二次相遇。

（2）若出现两次相遇，则相遇时间和相遇距离均出现两个答案。

【答案】（1）4 s

8 s

（2）125 m

245 m 1【解析】

（1）甲车运动6 s的位移为x0＝a1t02＝45 m此时甲车尚未追上乙车。

2

【针对训练】甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11 m处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点尚有L2＝600 m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：

（1）经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

（2）到达终点时甲车能否超过乙车？

【答案】（1）5 s

36 m

（2）不能

【解析】

（1）当甲、乙两车速度相等时，两车间距最大，即v甲＋at1＝v乙，得

t1＝v乙－v甲60－50＝

s＝5 s a212甲车位移x甲＝v甲t1＋at1

＝275 m 2乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m 此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m （2）甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1学科网

12甲车位移x甲′＝v甲t2＋at

22乙车位移x乙′＝v乙t2

将x甲′、x乙′代入位移关系，得

12v甲t2＋at

＝v乙t2＋L1

22代入数值并整理得t2

2－10t2－11＝0，

解得t2＝－1 s（舍去）或t2＝11 s 此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660 m 因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车．

※知识点九、弹力的大小、有无及方向的判断

1．弹力有无的判断“三法”

条件法

假设法

状态法

根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。此方法多用来判断形变较明显的情况

对形变不明显的情况，可假设两个物体间弹力不存在，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定有弹力

根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在

2．弹力方向的确定

3．弹力的分析与计算

（1）对有明显形变的弹簧、橡皮条等物体，弹力的大小可以由胡克定律F＝kx计算。

（2）对于难以观察的微小形变，可以根据物体的受力情况和运动情况，运用二力平衡来确定弹力大小。

★轻杆、轻绳、轻弹簧模型

1．三种模型对比

轻杆

轻绳

轻弹簧

模型图示

柔软，只能形变特点

只能发生微小形变

发生微小形变，各处张力大小相等

模型特点

方向特点

不一定沿杆，可以是任意方向

可以提供拉力、推力

可以发生突变

力

可以发生突变

只能沿绳，指向绳收缩的方向

只能提供拉力

一般不能发生突变

沿弹簧轴线与形变方向相反

可以提供拉力、推既可伸长，也可压缩，各处弹力大小相等

作用效果特点

大小突变特点

2．弹簧与橡皮筋的弹力特点

（1）弹簧与橡皮筋产生的弹力遵循胡克定律F＝kx。

（2）橡皮筋、弹簧的两端及中间各点的弹力大小相等。

（3）弹簧既能受拉力，也能受压力（沿弹簧轴线），而橡皮筋只能受拉力作用。

（4）弹簧和橡皮筋中的弹力均不能突变，但当将弹簧或橡皮筋剪断时，其弹力立即消失。

★“轻绳”两类模型

（1）绳与杆的一端连接为结点，轻绳属于“死结”．

（2）绳跨过光滑滑轮或挂钩，动滑轮挂在绳子上，绳子就属于“活结”，如图，此时BC绳的拉力等于所挂重物的重力，轻绳属于“活结”模型．

★铰链连接三角形支架常见类型和受力特点

（1）图中AB杆可用轻绳来代替；

（2）研究对象为结点B，三力平衡；

（3）两杆的弹力均沿杆的方向，可用轻绳代替的AB杆为拉力，不可用轻绳代替的BC杆为支持力．

【典型例题】

【例题9】如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：

（1）轻绳AC段的张力FAC的大小；

（2）横梁BC对C端的支持力的大小及方向．

【答案】（1）100 N

（2）100 N

方向与水平方向成30°角斜向右上方

【解析】

物体M处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，

（2）由几何关系得：FC＝FAC＝Mg＝100 N 方向和水平方向成30°角斜向右上方

【针对训练】若例题题中横梁BC换为水平轻杆，且B端用铰链固定在竖直墙上，如图5所示，轻绳AD拴接在C端，求：（计算结果保留三位有效数字）

（1）轻绳AC段的张力FAC的大小；

（2）轻杆BC对C端的支持力．

【答案】

（1）200 N；（2）173 N，方向水平向右

【解析】对结点C受力分析如图：

根据平衡方程

FAC·sin 30°＝Mg

FAC·cos 30°＝FBC

得：FAC＝2Mg＝200 N FBC＝Mg≈173 N

tan 30°方向水平向右

※知识点十、摩擦力的分析与计算

1．两种摩擦力的对比

定义

静摩擦力

两个具有相对运动趋势的物体间在接触面上产生的阻碍相对运动趋势的力

滑动摩擦力

两个具有相对运动的物体间在接触面上产生的阻碍

相对运动的力

产生条件（必要条件）[来源学科网]（1）接触面粗糙

（2）接触处有弹力

（3）两物体间有相对运动趋势（仍保持相对静止）

（1）静摩擦力为被动力，与正压力无关，动

（1）接触面粗糙

（2）接触处有弹力

（3）两物体间有相对运

滑动摩擦力：F＝μFN（μ为动摩擦因数，取决于接触面材料及粗糙程度，FN为正压力）

沿接触面与受力物体相对运动的方向相反

大小

满足0＜F≤Fmax

（2）最大静摩擦力Fmax大小与正压力大小有关

方向

作用点

沿接触面与受力物体相对运动趋势的方向相反

实际上接触面上各点都是作用点，常把它们等效到一个点上，在作力的图示或示意图时，一般把力的作用点画到物体的重心上

2.静摩擦力有无及其方向的判定方法

（1）假设法：假设法有两种，一种是假设接触面光滑，不存在摩擦力，看所研究物体是否改变原来的运动状态．另一种是假设摩擦力存在，看所研究物体是否改变原来的运动状态．

（2）状态法：静摩擦力的大小与方向具有可变性．明确物体的运动状态，分析物体的受力情况，根据平衡方程求解静摩擦力的大小和方向．[来源学科网]

（3）牛顿第三定律法：此法的关键是抓住“力是成对出现的”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向．

3.摩擦力大小的计算

滑动摩擦力大小的计算

（1）滑动摩擦力的大小可以用公式F＝μFN计算

（2）结合研究对象的运动状态（静止），利用平衡条件列方程求解

★计算摩擦力时的三点注意

静摩擦力大小的计算

（1）没有公式可用，只能根据平衡条件或牛顿运动定律计算。这是因为静摩擦力是被动力，其大小随势而变，介于零与最大静摩擦力之间

（2）为了解决问题的方便，题目中常常提示最大静摩擦力按近似等于滑动摩擦力处理

（1）首先分清摩擦力的性质，因为只有滑动摩擦力才有公式，静摩擦力通常只能用平衡条件来求解。

（2）公式F＝μFN中FN为两接触面间的正压力，与物体的重力没有必然联系，不一定等于物体的重力。

（3）滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面积的大小也无关。

【典型例题】

【例题10】如图所示，一重为40N的木块原来静止在水平桌面上，某瞬间在水平方向上同时受到两个方向

相反的力F1、F2的作用，其中F1＝13N，F2＝6N。已知木块与桌面间的动摩擦因数为0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

（1）木块所受的摩擦力的大小和方向。

（2）当只将F1撒去时，木块受到的摩擦力的大小和方向。

（3）若撤去的力不是F1而是F2，求木块受到的摩擦力的大小和方向。

【答案】（1）7N

水平向左

（2）6N

水平向右

（3）8N

水平向左

【解析】当木块运动时受到的滑动摩擦力为f＝μN＝μG＝0.2×40N＝8N，故木块受到桌面的最大静摩擦力为8N。

（1）加上F1、F2后，F1和F2相当于一个方向向右的F＝F1－F2＝7N的力。由于F小于最大静摩擦力，故木块处于静止状态，则木块受到桌面静摩擦力的作用，大小为7N，方向水平向左。

平向左。

【针对训练】如图所示，重为

G = 10 N的木块，被大小为

F = 20 N 的水平力压紧在竖直墙面上，木块恰能匀速下滑，求：

（1）

木块与墙面间的动摩擦因数；

（2）

撤去水平力，木块与墙面间的滑动摩擦力。

※知识点十一、力的合成方法及合力范围的确定

1．共点力合成的常用方法

（1）作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定

合力的方向（如图所示）。

（2）计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

类

型

作

图

合力的计算

F＝F12＋F22

①互相垂直

②两力等大，夹角为θ

F1tan

θ＝

F2θF＝2F1cos

2θF与F1夹角为

2③两力等大且夹角120°

合力与分力等大

（3）力的三角形定则：将表示两个力的图示（或示意图）保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力的大小范围

（1）两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

（2）三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

【典型例题】

【例题11】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示（小方格边长相等），则下列说法正确的是

A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定

B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向[来源学。科。网]

C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D．由题给条件无法求出合力大小

【答案】

B 【解析】

根据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同。根据正交分解法求合力的思想知，3个力的合力为12个单位，与F3的方向相同，大小是F3的3倍，即F合＝3F3，选项B正确。

【针对训练】三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是：

（

）

A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3

B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大

C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零

【答案】

C 【解析】

合力不一定大于分力，B错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错。

※知识点十二、力的正交分解法

（1）定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

（2）建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，习惯以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

（3）方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

（4）合力大小：F＝Fx2＋Fy2

Fy（5）合力方向：与x轴夹角设为θ，则tan θ＝。

Fx

【典型例题】

【例题12】如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一l条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点2有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比m1为

m2

A.5

【审题探究】

①重新平衡后的物理情境如何？

②钩码的拉力分别在什么方向产生了作用效果？能否按力的作用效果方向分解？

③c点共受到几个力的作用？能否用正交分解法求解？

【答案】C 【解析】解法一

力的效果分解法

钧码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，

B．2

C.5

2

D.2

规律总结

（1）在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的实际效果进行分解。

（2）力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是为了更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

（3）应用正交分解法解题时，建立坐标系的原则。合力方向在一个坐标轴上，另一个坐标轴的方向合力为零。

【针对训练】如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体F1沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为（

）

F2

A．cos θ＋μsin θ

C．1＋μtan θ

【思路点拨】

（1）物体在力F1或F2作用下做匀速运动，物体所受合力均为零。

（2）将物体所受各力沿斜面方向和垂直斜面方向进行正交分解。

【答案】B 【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。

B．cos θ－μsin θ

D．1－μtan θ

将重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：

F1＝mgsin θ＋Ff1

FN1＝mgcos θ

Ff1＝μFN1

F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2

FN2＝mgcos θ＋F2sin θ

Ff2＝μFN2

解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ

F2＝mgsin θ＋μmgcos θ

cos θ－μsin θF1故＝cos θ－μsin θ，B正确。

F2

※知识点十三、物体的受力分析

1．受力分析

（1）定义：把指定物体（研究对象）在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程．

（2）受力分析的一般顺序：

①首先分析场力重力．

②其次分析接触力（弹力、摩擦力）．

③最后分析其他力．

2．整体法与隔离法

（1）对整体法和隔离法的理解

①整体法是指将相互关联的各个物体看成一个整体的方法．

②隔离法是指将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体的方法．

（2）整体法和隔离法的使用技巧

当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体（或一个物体各部分）间的相互作用时，宜用隔离法．

3.物体进行受力分析的一般步骤

【典型例题】

【例题13】分析A、B的受力（已知接触面粗糙）

[mB>mA]：

【针对训练】如图所示,对斜面上的物体进行受力分析

【解析】

※知识点十四、平衡问题的常用处理方法

解决平衡问题的四种常用方法

合成法

分解法

正交分解法

力的三角形法

物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反

物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件

物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件

对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力

★应用平衡条件解题的步骤

（1）选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体（单个物体或系统，也可以是结点）作为研究对象. （2）画受力示意图：对研究对象按受力分析的顺序进行受力分析，画出受力示意图. （3）建立坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系. （4）列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论.

【典型例题】

【例题14】在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝下悬挂着一个金属球，无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一定角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小测出风力的大小，求风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系。

【答案】F＝mgtanθ

【解析】取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT，如图所示，这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零。

解法一（力的合成法）如图甲所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ。学科网

解法二（力的分解法）重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图乙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtanθ。

解法三（正交分解法）以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丙所示。

根据平衡条件有

FTsinθ－F＝0 FTcosθ－mg＝0 解得F＝mgtanθ。

【针对训练】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是（

）

A．F＝mg

tan θmg

tan θB．F＝mgtan θ

D．FN＝mgtan θ

C．FN＝【答案】A 【解析】解法一：合成法。滑块受力如图甲，由平衡条件知：mgmgmg＝tan θ⇒F＝，FN＝。

Ftan θsin θ

FN＝mg。

sin θ

※知识点十五、动态平衡问题分析

1．动态平衡问题

通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。

2．分析动态平衡问题的两种方法

对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件解析法

列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。

对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受的力的平行四边形，由各边的长度变化及角度变化图解法

来确定力的大小及方向的变化。

此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力是方向不变的问题。

【典型例题】

1【例题15】一个挡板固定于光滑水平地面上，截面为圆的柱状物体甲放在水平面上，半径与甲相等的光滑4圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与地面接触而处于静止状态，如图所示，现在对甲施加一个水平向左的力F，使甲沿地面极其缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。设乙对挡板的压力为F1，甲对地面的压力为F2，在此过程中

A．F1缓慢增大，F2缓慢增大

C．F1缓慢减小，F2不变

【答案】C 【解析】把甲、乙看做一个整体，竖直方向仅受重力和地面的支持力，在此过程中，两物体重力不变，支持力不变，由牛顿第三定律得，甲对地面的压力F2不变。

选取乙为研究对象，乙物体受力如图，甲对乙的作用力F3和挡板对乙的作用力F1′的合力F合始终与乙的重力等大、反向，在将甲沿地面缓慢地向左移动时，甲对乙的作用力F3逐渐减小，挡板对乙的弹力F1′逐渐减小，所以乙对挡板的压力F1逐渐减小。所以正确选项为C。学科网

B．F1缓慢增大，F2不变

D．F1缓慢减小，F2缓慢增大

【针对训练】粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是（

）

A．冬季，电线对电线杆的拉力较大

B．夏季，电线对电线杆的拉力较大

C．夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大

D．夏季，电线杆对地面的压力较大

【答案】A 【解析】以整条电线为研究对象，受力分析如图所示，

由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的弹力的合力与其重力平衡，由几何关系得：Fcos θ＝mg，即：2