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含绝对值的一元一次方程

知识纵横

绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 知识回顾

解关于x的方程：

（1）

|x|-6=0

（2）|x-6|=0

例题求解

【例1】求方程│x-6│=2的解. 思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=8或4 提示:原方程x-6=±2或从x-6≥0、x-6<0讨论. 【例2】求方程│x-6│=x+2的解. 思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.但与例1稍有不同，x+2≥0，蕴含了x的取值范围是x≥-2. 解:x=2 提示: 原方程x-6=±（x+2）或从x≥6、-2≤x<6讨论.. 【例3】解方程: │x-6│-|x+2|=x+3 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用零点分段法来讨论. 解:x=7或x=5 【例4】

关于x的方程 :|5x-4|-a=0有两个解， |4x-3|+b=0有两个解， |3x-2|+c=0只有一个解，

请化简|a-c|+|c-b|-|a-b|. 用心

爱心

专心

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思路点拨 含绝对值的一元一次方程的解的个数有2个、1个、0个三种情况。

解：a>0,b≤0，c=0 则|a-c|+|c-b|-|a-b|=a-b-a+b=0. 【变式】将第一个方程改为|5x-4|+a=0无解，与题目有什么不同？

【例5】解关于x的方程||x-6|+x+2|=8 思路点拨 从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.

【例6】学会提问：设计一个含绝对值的一元一次方程给你的同桌解答！

学力训练

一、基础夯实

1.方程3(│x│-1)= |x|+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 5992.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______. 3.已知│x│=x+2,那么19x+3x+27的值为________. 4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________. 5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ). A.-2 B.0 C. 2 D.不存在

36.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ). A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x- A.10或1|-1=0,则m的值是( ). 222 B.10或-

5522 C.-10或 D.-10或- (2000年山东省竞赛题) 558.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ). A.20或-21 B.-20或21 C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题) 9.解下列方程: (1)││3x-5│+4│=8; (2)│2x-1│+│x-2│=│x+1│. 10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

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【学力训练】(答案) 1.±10、2或0 2.0或-1 3.5 74.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥0 5.D 6.B 7.A 8.D 111;(2)提示:分x<-1、-1≤x<

、 •≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,32211当考虑到≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足≤x≤2的9.(1)x=3或x=2x值都是方程的解.

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