正数、负数以及0的意义教学设计(教案)

1.1

正数和负数

1.掌握正数和负数的概念,能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数.

2.培养学生观察、比较和概括的思维能力.

1.体会数学符号与对应的思想,掌握用正、负数表示具有相反意义的量的方法.

2.引导学生自主探索去观察、交流、归纳.

3.通过正、负数的学习,培养学生应用数学知识

的意识,训练学生运用新知识解决实际问题的能力.

1.在传授知识、培养能力的同时,注意培养学生勇于探索的精神,通过本节课的教学,渗透对立统一的辩证思想.

2.通过师生合作,联系实际,感受数学与生活的联系,激发学生学习数学的热情.

【重点】

会判断正数、负数,能运用正、负数表示具有相反意义的量,理解0表示的量的意义.

【难点】

理解负数、正数、0表示的量的意义.

第课时

1.了解正数和负数的产生.

2.知道什么是正数和负数,理解它们的意义.

3.知道0既不是正数,也不是负数.

1.让学生通过实际问题,体会数学符号与对应的思想.

2.由生活中相反意义的量,掌握用正、负数表示具有相反意义的量的方法.

1.感受生活中的数学,让学生认识到数学来源于生活,又应用于生活.

2.通过小组的合作学习,提高学生热爱数学的情感.

【重点】

正、负数的意义.

【难点】

1.负数的意义.

2.具有相反意义的量.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

搜集生活中具有相反意义的量.

导入一:

在生产和生活中经常会遇见用数来表示问题,例如:①天气预报2014年11月某天北京的温度为

- 3 ℃~3 ℃,它的确切含义是什么?②有三个队参加足球比赛,红队胜黄队(4∶1),蓝队胜红队(1∶0),黄队胜蓝队(1∶0),如何按净胜球排名?③某机器零件的长度设计为100 mm,加工图纸标注的尺寸为100±0.5(mm),这里的±0.5代表什么意思?

[设计意图]

通过事例引出各种符号表示的数,让学生试着解释,激发学生的求知欲望,感受引入正数和负数的必要性.

导入二:

鼓励每组派两名同学到讲台前,按照教师的指令进行表演活动,看哪一组获胜.

教师说出指令:向前一步,向后一步;向前两步,向后两步;向前三步,向后一步;向前四步,向后两步……

教师根据学生的活动情况,也参与表演,适当地加以引导启发,用符号(加、减号)表示.

活动后,评选出速记最快,方法最好的同学.

[设计意图]

通过活动,激发学生参与课堂教学的热情,使学生进入问题情境,让其感受到引入数学符号的必要性,从而引入新课.

导入三:

同学们,我们知道,数的产生和发展离不开生活和生产的需要.下面请同学们想一想:数是怎样产生的?你对数有哪些了解?

教师在学生回答问题的基础上,出示课件.

【课件】

说明:在古代人们利用结绳记数、排序,这样产生了1,2,3,…;由表示“没有”“空位”,产生了数0;由分物、测量,产生分数,,….那么,生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗?

[设计意图]

数的产生和发展离不开生活和生产的需要,通过观察图片,体验数学与生活的关系,通过创设问题情境,向学生渗透辩证唯物主义观点.

活动1:正、负数的认识

思路一

在生活、生产和科研中,经常遇到数的表示和运算等问题.例如:

问题

【课件】

(1)北京冬季里某一天的气温为

- 3 ℃~3 ℃.“

- 3”的含义是什么?这一天北京的温差是多少?

(2)某年,我国花生产量比上一年增长1.8%,油菜籽产量比上一年增长

- 2.7%.“增长

- 2.7%”表示什么意思?

(3)夏新同学通过捡、卖废品,既保护了环境,又积攒了零花钱.下表是他某个月的部分收支情况(单位:元).

收支情况表

年

月

日期

收入(+)或支出( - )

2日

8日

12日

3.5

- 4.5

- 5.2 结余

8.5 4.0

- 1.2 注释

卖废品

买圆珠笔、铅笔芯

买科普书,同学代付

提出问题,小组讨论.

(1)在上面的问题中,都有哪些大于零的数?你能说出它们的实际意义吗?

(2) - 3, - 2.7, - 4.5, - 1.2它们又表示怎样的实际意义呢?

(3)“

- 3, - 2.7, - 4.5, - 1.2”等这些数有怎样的特点?

总结:我们把像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数;光有正数是不够用的,有时候需要一种前面加上“

- ”号的数.像

- 3, - 2.7, - 4.5, - 1.2等在正数前加上符号“

- ”(负)的数叫做负数.

说明:(1)为了明确表达意义,有时在正数前面加上“+”(正)号.

(2)一个数前面的“+”“

- ”号叫做它的符号.

(3)(以温度计为例)温度计中的0不是表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度,是零上温度与零下温度的分界点,因此得出:0既不是正数,也不是负数,它是正数与负数的分界.

[设计意图]

让学生从实际生活中,理解正、负数的意义,掌握负数是在生产和生活实际中根据需要而产生的.通过正、负数的对比,让学生发现它们的联系和区别,并能正确理解零这个特殊的数.

思路二

“上下”是表示什么的词?再如“胜负”,你能举出哪些意思相反的词呢?

学生举例.

师:词汇真丰富,说明你们的语文学得好.今天,是数学课,离不开“数”.

1.问题

【课件】

在下列横线上填上适当的词,使前后构成意义相反的量.

(1)妈妈在银行存入1300元,

1300元.

(2)电梯

30米,下降30米.

(3)小红向北走30米,向

走30米.

(4)淘气昨天数学作业做对5道,做

5道.

2.指名读信息,你发现了什么

同样的数带上了相反意思的词,就成了具有相反意义的数.

你能把这件事情说得更简单些吗?

请大家把具有相反意义的数记录在本子上,但是数字前面的文字不能照抄,你得创造另

外的方法记录,要求既简单,又明白.

3.师:刚才同学们用了不同的方法去记录,大家说得也都有道理.可是如果每个人都按照自己的想法去表示,结果会怎么样呢?那你觉得应该怎么办?要想让大家都明白,数学家们制定出了一个统一的标准.那你认为数学家们会怎样表达呢?

4.总结正、负数

(1)这些数很特别,都带上了符号,它们是一种“新数”.像

- 1300,

- 80等都叫负数;像+1300,+80等都叫正数.你会读吗?请你读给大家听.

注意:(1)“

- ”叫负号,“+”叫正号.

(2)读给你的同伴听.

(3)把你新认识的负数再写两个读一读.

课堂练习:

问题

【课件】

读出下列各数,并指出其中哪些是正数,哪些是负数.

- 1,2.5,+

,0, - 3.14,120, - 1.732, -

.

教师指名学生回答.

[知识拓展]

对正数和负数的理解要注意以下几点:

(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.

(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.

(3)负数前面的“

- ”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”,但正数前面的“+”可以省略.

活动2:尝试解释正、负数的含义

提出问题:请你举例说明正、负数在实际中的应用.

说明:同学们知道最低温度是

- 2 ℃,表示零下2 ℃;最高温度是13 ℃,表示零上13 ℃.零上13 ℃和零下2 ℃是具有相反意义的量,我们用正数和负数来表示.

在日常生活中,还有许多具有相反意义的量,都可以用正数或负数来表示.我们看几个例子:

【课件】

思考下列问题.

(1)汽车向东行驶3.5千米和向西行驶2.5千米.

如果规定向东为正,那么向西为负.向东行驶3.5千米记作:

;向西行驶2.5千米记作:

.

(2)收入500元和支出237元.

如果规定收入为正,那么支出为负.收入500元记作:

;支出237元记作:

.

(3)水位升高1.2米和下降0.7米.

如果规定水位升高为正,那么下降为负.水位升高1.2米记作:

;下降0.7米记作:

.

[过渡语]

刚才通过思考的问题,我们知道要表示具有相反意义的量,要先规定某一种意义为正,那么与它相反的意义为负,负的量就用负数表示.以后做题时,如果是生活当中比较明显的问题,我们可以不用规定哪个量为正,哪个量为负.

【课件】

(教材例题)(1)一个月内,小明体重增加2 kg,小华体重减少1 kg.小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;

(2)某年,下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:

美国减少6.4%,德国增长1.3%,

法国减少2.4%,英国减少3.5%,

意大利增长0.2%,中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

提出问题:

1.你是怎么理解问题(1)的?

2.如果学生回答不完善,教师追问:在问题(1)中,哪些词能表明其中含有相反意义的量?小华体重减少1 kg,你认为应该怎样表示他的“增长值”?

3.你能仿照第(1)题的解答,自己解决第(2)题吗?

总结:要求写出的体重增长值和商品进出口总额的增长率,均会出现正增长值和负增长值,正增长率和负增长率.“负”与“正”相对,一般规定负增长就是减少的意思.当既不增长也不减少时,增长率为0.

解:(1)这个月小明体重增长2 kg,小华体重增长

- 1 kg,小强体重增长0 kg.

(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是:

美国: - 6.4%,德国:1.3%,

法国: - 2.4%,英国: - 3.5%,

意大利:0.2%,中国:7.5%.

[设计意图]

通过具体情境,使学生学会用正数与负数表示具有相反意义的量的方法,通过师生合作,突破用正数、负数表示指定方向变化的量这一难点.通过不断追问,引导学生逐步理解题意,重点是找出具有相反意义的量的词.

【课件】

初一(1)班第二次考试成绩的各科及格人数比上次的增长率如下:

政治

语文

数学

英语

生物

地理

- 6.4% - 0.9% - 7.2% 3.6%

- 8.8% 10%

第二次考试中,哪些学科的及格人数增长了?哪些学科的及格人数减少了?哪个学科及格人数的增长率最大?

〔解析〕

增长率为负数表示第二次考试比上一次考试及格人数减少了,增长率为正数表示及格人数比上一次增多了.

解:英语、地理两科的及格人数增多了;政治、语文、数学、生物四科的及格人数减少了.地理学科及格人数的增长率最大.

归纳:相反意义的量具备的两个条件:两个量所表示的属性相同,是同一对象;两个量表示的意义恰好相反.

[设计意图]

考查正、负数在实际生活中的应用,解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.

1.由于实际问题中存在着相反意义的量,所以要引入负数,这样数的范围就扩大了.

2.正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”),负数就是在以前学过的0以外的数前面加“

- ”.

3.在同一问题中,通常分别用正数和负数表示具有相反意义的量.虽然有时没有规定一定用正数表示哪个量,负数表示哪个量,但通常与人们的习惯相符合.

1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么

- 3千米表示的是

(

)

A.向西行驶3千米

B.向南行驶3千米

C.向北行驶3千米

D.向东南方向行驶3千米

解析:根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,所以

- 3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A.

2.在0,2, - 7, - 5

,3.14, -

, - 3,+0.75中,负数共有

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

(

)

解析:在正数的前面加上“

- ”号即是负数,题目中的

- 7, - 5

, -

, - 3是负数.故选D.

3.飞机上升了

- 80米,实际上是

(

)

A.上升80米

B.下降

- 80米

C.先上升80米,再下降80米

D.下降80米

解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D.

4.举一个能用正数、负数表示其中的量的生活实例,并解释其中相关数量的含义.

解析:只要满足题意即可.

解:如:河道中第一天的水位是

- 0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中

- 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.

第1课时

1.活动1:正、负数的认识

(1)正数:大于0的数叫做正数.

(2)负数:在正数前面加上符号“

- ”(负)的数叫做负数.

注意:0既不是正数,也不是负数.

2.活动2:尝试解释正、负数的含义

具有相反意义的量

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第3页练习第1,2题.

【选做题】

教材第5页习题1.1第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列结论中,正确的是

(

)

A.0既是正数,又是负数

B.0是最小的正数

C.0是最大的负数

D.0既不是正数,也不是负数

2.向东运动记作“+”,向西运动记作“

- ”,下列说法正确的是

(

)

A. - 5米表示向东运动了5米

B.向西运动5米表示向东运动了

- 5米

C.+5米表示向西运动了5米

D.向西运动5米也可以记作向西运动

- 5米

3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作

(

)

A.+8 ℃, - 2 ℃ B.+8 ℃,+2 ℃

C. - 8 ℃,+2 ℃ D. - 8 ℃, - 2 ℃

4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃,该药品在

℃范围内保存才合适.

5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.

- 18,+

,3.1416,0.2011, -

, - 0.1010…, - π, - 2,99%.

【能力提升】

6.将具有相反意义的量用线连起来.

向南20 m

零上8 ℃

向东5 m

高出海平面3 m 零下4 ℃

向北12 m 低于海平面90

向西8 m m 7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.

(1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作

,顺时针方向旋转30°记作

;

(2)孔子出生于公元前551年,如果用

- 551年表示,那么司马迁出生于公元前145年可表示为

年,欧阳修出生于公元1007年可表示为

年;

(3)运进200箱记作

,运出150箱记作

.

【拓展探究】

8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作

- 1100 m,那么他折回来又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?距A地多远?

【答案与解析】

1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.)

2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;B. - 5米表示向西运动了5米,故B正确;C.5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为向西运动+5米,故D错误.)

3.A(解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记作+8 ℃, - 2 ℃.故选A.)

4.18~22(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃

- 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.)

5.解析:根据正数和负数的意义求解即可.解:正数有+

,3.1416,0.2011,99%;负数有

- 18,

-

,

- 0.1010…, - π, - 2.

6.解:根据题意得:

向南20 m

零上8 ℃

向东5 m

高出海平面3 m 零下4 ℃

向北12 m 低于海平面90

向西8 m m 7.(1) - 20°

+30°

(2) - 145

+1007

(3)+200箱

- 150箱(解析:一般情况下逆时针记为负,则顺时针记为正;公元前记为负,则公元记为正;运进记为正,则运出记为负.)

8.解析:画出草图,根据图形解答即可.解:如果把向北跑1100 m记作

- 1100 m,那么他折回来又继续跑1200 m,说明小明又向南跑了1200 m,此时他在A地的南边,距A地的距离=1200 - 1100=100 m.

本课是有理数的第1课时,引入负数是数的范围的一次重要扩充,学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程),而负数相对于以前的数,对学生来说显得更抽象.因此,这个概念并不是一下就能建立的.为了接受这个新的数,教学中通过大量的例子出现负数就是让学生去感受和体验这一点,使学生接受生活生产实际中确实存在着两种相反意义的量,它们可以用正、负数表示.这个教学设计突出了数学与实际生活的紧密联系,使学生体会到数学的应用价值,体现了学生自主学习、合作交流的教学理念,这些例子都是生活生产中常见的事实,学生容易接受.

为了让学生更多地认识负数,教师只采用了举例的方式来让学生充分感知负数存在的价值,形式过于单一.

对于负数的认识,教师可再增加一些有关古代的负数应用的视频介绍或者是图片,或者是一些小故事,让学生充分认识到在古代人类就已经会用负数表示一些量,从而更进一步地加深学生对负数的理解,让学生认识到数学与生活的密切联系,体会负数是在随着人类的需要而产生的.

练习(教材第3页)

1.解:2010年我国全年平均降水量比上年增长+108.7 mm,2009年我国全年平均降水量比上年增长

- 81.5 mm,2008年我国全年平均降水量比上年增长+53.5 mm.

2.解:“

- 1 m”表示把这个物体又向左移动了1 m,这时物体又回到了最初的位置.

在教学时着重在实际情境中理解正数和负数的意义,教学上不要要求学生记背定义,更不应该出现“带有负号的数叫做负数”这类不准确的提法.要注意正、负的相对性,在教学时要尽可能让学生自己列举出一些具有相反意义的量的实例,通过学生自己的活动,体会引进负数的必要性和意义,建立正数和负数的数感.对零的认识,随着对数的认识发展逐步深化.一开始零表示“没有”,学了有理数,零就不再简单地理解为“没有”,而是有着极其深刻的含义.例如,0 ℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下纯水结冰时的一个确切的温度.在有理数的研究中,零作为一个特殊的数(零既不是正数,也不是负数),有着极其重要的地位,不容忽视.要注意这些知识在教学过程中的体现.

(2014·钦州中考)如果收入80元记作+80元,那么支出20元记作

(

)

A.+20元

B. - 20元

C.+100元

D. - 100元

〔解析〕

“正”和“负”相对,所以如果+80元表示收入80元,那么支出20元应表示为

- 20元.故选B.

(2014·南宁中考)如果水位升高3 m时水位变化记作+3 m,那么水位下降3 m时水位变化记作

(

)

A. - 3 m B.3 m C.6 m D. - 6 m 〔解析〕

因为上升记为+,所以下降记为

- ,所以水位下降3 m时水位变化记作

- 3 m.故选A.

(2014·宁波中考)杨梅开始采摘啦!每筐杨梅以5千克为基准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,记录如图,则这4筐杨梅的总质量是

(

)

A.19.7千克

B.19.9千克

C.20.1千克

D.20.3千克

〔解析〕

根据题意求出每筐杨梅的质量,再求和.故选C.

(2014·达州中考)向东行驶3 km记作+3 km,向西行驶2 km记作

(

)

A.+2 km B. - 2 km C.+3 km D. - 3 km 〔解析〕

规定一种量为正,则另一种与之相反的量即为负,向东行驶3 km记作+3 km,则向西行驶2 km记作

- 2 km.故选B.