整式的乘除教案和课堂实录

1.理解同底数幂的除法法则. 2.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则.

1.经历整式除法法则的探索过程,会进行简单的整式除法的计算. 2.理解整式除法的算理,发展有条理的思考及表达能力.

1.经历探索整式除法的探索过程,获得成功的体验,积累丰富的数学经验. 2.渗透数学公式的简洁美与和谐美.

【重点】

整式除法的法则. 【难点】

运用整式除法的法则进行计算.

【教师准备】

总结学生计算过程中易错的地方. 【学生准备】

复习整式的乘法和幂的一些运算性质.

导入一: 1.同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即:am·an=am+n(m,n是正整数). [复习同底数幂的乘法运算法则便于学生区别同底数幂的除法运算法则,第二个问题引入新课] 2.问题:一张数码照片的文件大小是28 K,一个存储量为26 M(1 M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片? 移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致,所以要先统一单位.移动存储器的容量为26×210 =216(K).所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28张. 导入二: 小明在一次数学课外小组活动中编了一个程序:输入一个数,再把这个数5次方,然后加上这个数,再把所得的结果除以这个数,他发现无论他输入任何实数,这个数总比1大,他猜测得正确吗?为什么?

快来学习本节吧!本节知识会帮你做出准确的判断.

[过渡语]

我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式运算中,有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算,因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法. 一、同底数幂的除法

思路一

请同学们做如下运算: 1. (1)28×28;

(2)52×53;

(3)102×105;

(4)a3·a3. 2.填空: (1)(

)·28=216;

(2)(

)·53=55; (3)(

)·105=107;

(4)(

)·a3=a6. [教学中通过几个例子,利用乘法和除法的关系,结合同底数幂相乘的法则,得出除法法则] 除法与乘法两种运算互逆,要求空内所填数,其实是一种除法运算,所以这四个小题等价于: (1)216÷28=(

);(2)55÷53=(

);

(3)107÷105=(

);(4)a6÷a3=(

). 再根据第1题的运算,我们很容易得到第2题的答案: (1)28

(2)52

(3)102

(4)a3 其实我们用除法的意义也可以解决,请同学们思考、讨论. (1) 216÷28=

;(2)55÷53=

; (3)107÷105=

;(4)a6÷a3=

. 从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系? 【学生总结】

同底数幂相除,底数不变,指数相减. 用公式表示为am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m≥n). 【教师说明】

现在我们学的指数都是大于或等于零的数,所以m≥n. 【想一想】

这里的a为什么不等于0? (因为0的任何次幂都是0,而0不能作除数,所以a≠0) 当m=n时,am÷an=a0=1.这样我们就得到了a0=1(a≠0),这就是说,任何不等于0的数的0次幂都等于1. [知识拓展]

同底数幂的除法的关键在于底数,底数一定相同,并且二者是相除关系,这样指数才能相减,否则不能运用此法则.同底数幂的除法可以从加与减、乘与除互为逆运算的角度来理解,在运算上常见的错误有:(1)指数运算混乱;(2)底数确定不对;(3)系数计算错误;(4)运算顺序不对. 思路二

1.我们知道同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即:am·an=am+n(m,n是正整数).那么同底数幂怎么相除呢? 2.试一试. 用你熟悉的方法计算:

(1)25÷22=

;(2)107÷103=

;

(3)a7÷a3=

(a≠0). 3.概括. 由上面的计算,我们发现: (1)25÷22= 23=

;(2)107÷103 =104=

; (3)a7÷a3 =a4=

. 在学生讨论、计算的基础上,教师可提问:你能发现什么? 由学生回答,教师板书,发现: (1) 25÷22 =23 =25-2; (2) 107÷103 =104 =107-3; (3)a7÷a3 =a4 =a7-3. 你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗? 【分组讨论】

各组选出一个代表来回答问题,师生达成共识,除法与乘法是逆运算,所以除法的问题实际上是“已知乘积和一个乘数,去求另一个乘数”的问题,于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决.即: (1)(

)×22 =25; (2)(

)×103 =107; (3)(

)×a3 =a7. 一般地,设m,n为正整数,m≥n,a≠0,则am÷an=am-n,这就是说,同底数幂相除,底数不变,指数相减. 4.利用除法的意义来说明这个法则的道理.(让学生仿照问题的解决过程,讲清道理,并请几名

同学回答问题,教师加以评析) 因为除法是乘法的逆运算,am÷an实际上是要求一个式子(

),使an·(

)=am,而由同底数幂的乘法法则,可知an·am-n=am,所以要求的式子(

)即为am-n,从而有am÷an=am-n. 5.请同学互相讨论当m=n时am÷an的结果是多少,你能总结出什么规律? 二、单项式除以单项式与多项式除以单项式

[过渡语]

利用同底数幂的除法法则,我们可以计算单项式与单项式,再探究多项式与单项式的除法,下面我们首先来探讨单项式与单项式的除法. 思路一

问题

木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗? (这是除法运算,木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.) 【讨论】

(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021). 说说你计算的根据是什么. (2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗? 8a3÷2a;

6x3y÷3xy;

12a3b2x3÷3ab2. (3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗? 讨论结果展示:可以从两方面考虑: 1.从乘法与除法互为逆运算的角度去考虑. (1)我们可以想象5.98×1021·(

)=1.90×1024.根据单项式与单项式相乘的运算法则:单项式与单项式相乘,是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变作为积的因式,可以继续联想:所求单项式的系数乘以5.98等于1.90,所以所求单项式系数为1.90÷5.98≈0.318,所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021即103,由此可知5.98×1021·(0.318×103) ≈1.90×1024.所以(1.90×1024)÷(5.98×1021)≈0.318×103; (2)可以想象2a·(

)=8a3,根据单项式与单项式相乘的运算法则,可以考虑:8÷2=4,a3÷a=a2,即2a·(4a2)=8a3.所以8a3÷2a=4a2. 同样的道理可以想象3xy·(

)=6x3y; 3ab2·(

) =12a3 b2x3.考虑到6÷3=2,x3÷x=x2,y÷y=1;12÷3=4,a3÷a=a2,b2÷b2 =1.所以得3xy·(2x2)=6x3y;3ab2·(4a2·x3)=12a3 b2·x3.所以6x3 y÷3xy=2x2;12a3b2x3÷3ab2 =4a2x3. 2.还可以从除法的意义去考虑.

(1)(1.90×1024)÷(5.98×1021)=≈0.318×103;

(2)8a3÷2a=·=4a2; 6x3y÷3xy=··=2x2; 12a3b2x3÷3ab2 =···x3=4a2x3. 上述两种算法有理有据,所以结果正确. 其实单项式除以单项式可以分解为系数相除、同底数幂相除、只在被除式里含有的字母三部分运算. 引导学生观察上述几个式子的运算,总结出它们的下列共同特征: (1)都是单项式除以单项式;(2)运算的结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式;对于只在一个被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式;(3)单项式相除是在同底数幂的除法的基础上进行的.

计算. (1)28x4y2÷7x3y; (2)-5a5b3c÷15a4b;

(3) (2x2y)3·(-7xy2)÷14x4 y3; (4)5(2a+b)4÷(2a+b)2. 再探新知计算下列各式: (1)(am+bm)÷m; (2)(a2 +ab)÷a; (3)(4x2y+2xy2)÷2xy. ①说说你是怎样计算的.②还有什么发现吗? 归纳法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.用公式表示为(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b. [知识拓展]

多项式除以单项式,也可以通过“约分”导出运算性质,不过要明确约分的依据,该依据是分数的基本性质,即分子、分母同时除以一个不等于零的数,分数的值不变. 思路二

问题

木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗? 重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算,目的是给出单项式相除的模型.

[从实际问题引入单项式的除法运算,学生在探索这个问题的过程中,将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性] 1.探索法则. (1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021),说说你计算的根据是什么; (2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗? 8a3÷2a;

6x3y÷3xy;

12a3b2x3÷3ab2. (3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗? 教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化,并运用自己的语言进行描述. [单项式的除法法则的推导,应按从具体到一般的步骤进行.探究活动的安排,是使学生通过对具体的特例的计算,归纳出单项式的除法运算性质,并能运用乘除互逆的关系加以说明,也可类比分数的约分进行] 2.归纳法则. 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 3.应用新知. 计算: (1) 28x4y2÷7x3y; (2)-5a5b3c÷15a4b. 首先指明28x4 y2与7x3y分别是被除式与除式,在这里省去了括号,对本例可以采用学生口述,教师板书的形式完成,口述和板书都应注意展示法则的应用,计算过程要详尽,使学生尽快熟悉法则. [单项式除以单项式,既要对系数进行运算,又要对相同字母进行指数运算,同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意] 4.再探新知. 计算下列各式: (1)(am+bm)÷m; (2)(a2+ab)÷a; (3)(12a3-6a2 +3a)÷3a.

①说说你是怎样计算的. ②还有什么发现吗? 在学生独立解决问题之后,及时引导学生反思自己的思维过程,并对自己计算所得的结果进行观察,总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同. [教材提供了一些多项式除以单项式的题目,鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题,教学中仍应提倡算法多样化,让学生说明每一步的理由,并鼓励学生间的交流.学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数,也可以利用逆运算进行考虑] 5.归纳法则. 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 你能把这句话写成公式的形式吗? [能够运用自己的语言叙述如何进行运算,用字母概括法则使算法一般化,可深化和发展对数的认识] 6.解决问题. 计算. (1) (21x4y3-35x3 y2 +7x2y2)÷(-7x2y); (2)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x. 幂的运算性质是整式除法的关键,符号仍是运算中的重要问题,在此可由学生口答,要求学生说出式子每步变形的依据,并要求学生养成检验的习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性. [通过例题的剖析和解决,培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力]

1.同底数幂的除法. 同底数幂的除法,底数不变,指数相减. 任何不等于零的数的零次幂都等于1. 在应用同底数幂的除法时,要注意与同底数幂乘法的区别,底数可以是单项式也可以是多项式;当三个或三个以上的同底数幂相除时,同样可以适用这一性质. 2.单项式除以单项式. 关注:(1)从法则可以看出,单项式除以单项式分为三个步骤:一是系数相除;二是同底数幂相除;三是对于被除式中含有的字母直接作为商的一个因式. (2)计算的结果是否正确可以利用单项式的乘法验证. 3.多项式除以单项式. 说明:多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式. 多项式除以单项式的结果仍然是多项式.