有理数乘除法的混合运算第二课时教案

一次函数知识点总结

4.1.1

变量和函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数取值范围的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义

4.1.2

函数的表示法

1、三种表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）

3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

4、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）

第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

4. 2

一次函数及其图像

1、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 1

注：一次函数一般形式

y=kx+b (k不为零)

①

k不为零

②x指数为1

③

b取任意实数

k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度，b称为截距

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b，0）两点的一条直线，我们称它为直kb，0） k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. （1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) 必过点：（0，b）和（-（3）走向：

依据k、b的值分类判断，见下图

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. （6）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数

2、正比例函数性质：

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式

y=kx (k不为零)

①

k不为零

②

x指数为1 ③

b取零

(1)

解析式：y=kx（k是常数，k≠0） 必过点：（0，0）、（1，k）

(2)

走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(3)

增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(4)

倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），

b>0 经过第一、二、三象限

.即横坐标或纵坐标为0的点. b<0 经过第一、三、四象限

b=0 经过第一、三象限

k>0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

2

4、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）.上加下减，左加右减

5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1

b2 （2）两直线相交：k1k2 （3）两直线重合：k1=k2且b1=b2

（4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1 （5）两直线交于y轴上同一点: b1=b2 4.4、用待定系数法确定一次函数解析式

1、一般步骤(一设二代三解四还原)：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 2、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

3、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

4、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=相同.

acx的图象bba1xb1yc1ac（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=1x1和b1b1a2xb2yc2y=a2cx2的图象交点. b2b2

5、关于点的距离的问题

方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；

任意两点A(xA,yA),B(xB,yB)的距离为(xAxB)(yAyB)；

若AB∥x轴，则A(xA,0),B(xB,0)的距离为xAxB；

若AB∥y轴，则A(0,yA),B(0,yB)的距离为yAyB；

点A(xA,yA)到原点之间的距离为xAyA

2222

3

一次函数练习题

一、填空题

1、在匀速运动公式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 1-122、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-3x (5)y=x-1中，是一次函x数的有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

3、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）

A．y=2x B．y=1 C．y=4x2 D．y=x2·x2

x24、函数yx5中自变量x的取值范围是___________. 5、已知函数y1x2，当1x1时，y的取值范围是

（ ）

253353535A.y B.y C.y D.y

222222226、正比例函数y(3m5)x，当m 时，y随x的增大而增大. 7、若yx23b是正比例函数，则b的值是 （ ）

A.0 B.223 C. D.

332m18、若关于x的函数y(n1)x是一次函数，则m= ，n . 29、当k_____________时，yk3x2x3是一次函数；

10、若函数y(k1)xk21是正比例函数，则k的值为（

）

11、已知y(2m1)xm23是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_______. 12、当m=_______时，函数y(m3)x2m14x5是一次函数. 13、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；

14、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．

15、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．

16、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）

Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1 17、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

18、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 . 4

19、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( ) A.k0 B.k1 C.k1 D.k1

20、若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________. 21、对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而___________。

22、对于函数y12x, y的值随x值的________而增大。 2323、一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。

25、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限。

26、无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

27．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．

28．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．

29．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为_________．

30．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．

31．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．

32．若一次函数y=kx+b交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）

33．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组34．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．

35．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．

36．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．

37、已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则xy30的解是________．

2xy20y4A32C-11O1-2234xxy30方程组的解是_____ ___。

2xy20-138、某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表体现了其数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是____________ ___。

数量x（个）

1 售价y（元）

8+0.2 2 16+0.4 3 24+0.6 4 32+0.8 5 40+1.0 39、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是

.

40、

已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=

. 41、

一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是

，与y轴交点坐标是

，图象与坐标轴所围成的三角形面积是

.

5

二、选择题

1．下面哪个点在函数y=1x+1的图象上（ ）

2 A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）

2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）

A．y=2x-1 B．y=x C．y=2x2 D．y=-2x+1 33．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）

A．一、二、三 B．二、三、四

C．一、二、四 D．一、三、四

4．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）

A．k>3 B．0

A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1 6．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）

7．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）

8．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ）

A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=9、下列各图给出了变量x与y之间的函数是（ ）

y y y

o o o x x x

ABC1x-3 2y o Dx 12、点A（则

x1，y1）和点B（x2，y2）在同一直线ykxb上，且k0．若x1x2，

y1，y2的关系是（ ）

6

A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、无法确定．

13、若函数y=kx＋b的图象如图所示，那么当y>0时，x的取值范围是：( ) A、 x>1

B、 x>2

C、 x<1

D、 x<2 14、一次函数y=kx+b满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图 象不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

15、一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（ ） A、(-1,-1) B、(-1, 1) C、(1, -1) D、(1, 1) 16、三峡工程在2003年6月1日至2003年6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是： （ ）

第5题

117．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-

x+2上，则y1 y2大小关系是(

) 2（A）y1 >y2

（B）y1 =y2

（C）y1

（D）不能比较

18、下列函数中，是的一次函数的是（

）

、19、如果直线 、与

、

交点坐标为（a，b），则

是方程组_______的解

、 、

、 、

20、.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是(

) h（厘米）

h（厘米）

h（厘米）

h（厘米）

20 20 20 20

4

t（小时）

4 t（小时）4 4 t（小时）

(A)

(B)

（C）

（D）

7

三、解答题

1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、已知一次函数

（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？

（2）当m取何值时，函数的图象过原点？

3．根据下列条件，确定函数关系式：（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；

（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．

4、已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4。(1) 求y与x之间的函数关系式；

(2) 当y=1时，求x的值。

5、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x

≤6，

相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

6、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，

相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式。

8

7、已知y=

，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。

8、一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少？

（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，

这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，

问他一共带了多少千克土豆？

9、

如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元） 与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？

10、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.•9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．

①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？

9

11、已知函数y=(2m+1)x+m -3 (1)若函数图象经过原点,求m的值

(2) 若函数图象在y轴的截距为－2，求m的值

（3）若函数的图象平行直线y=3x –3，求m的值

（4）若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.

12、小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题： （1）小文走了多远才返回家拿书？

（2）求线段AB所在直线的函数解析式；

（3）当x8分钟时，求小文与家的距离。

13、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；

（1）

分别写出两条直线解析式，并画草图；

（2）

计算四边形ABCD的面积；

y（3）

若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。

4A

B-2OD6xC-3EF10