本章复习与测试设计意图

1.概念

(1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．

(2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况．

2．关键词语

在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．

3．常见类型

动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题．

4．解题关键

解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件．

常见的三类临界问题的临界条件：

(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零．

(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．

(3)存在静摩擦的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(2012·扬州高一检测) 牛顿第二定律中的临界和极值问题

图3－1 如图3－1所示，质量为m的光滑小球，用轻绳连接后，挂在三角劈的顶端，绳与斜面平行，劈置于光滑水平面上，斜边与水平面夹角为θ＝30°，求：

(1)劈以加速度a1＝g/3水平向左加速运动时，绳的拉力多大？

(2)劈的加速度至少多大时小球对劈无压力？加速度方向如何？

(3)当劈以加速度a3＝2g向左运动时，绳的拉力多大？

【解析】

(1)如图所示，

水平方向：FT1cos θ－FT1sin θ＝ma1①

竖直方向：FT1sin θ＋FT1cos θ＝mg②

3＋3由①②得：FT1＝mg③

6(2)当球与斜面恰无作用时球受力如图所示，

由牛顿第二定律得：

FT2cos θ＝ma2④

FT2sin θ＝mg⑤

由④⑤得：a2＝3g，方向水平向左⑥

(3)参照上图：但FT3与水平夹角θ≠30°，有：

FT3＝

mg2＋ma32＝mg2＋2mg2＝5mg.⑦

3＋3【答案】

(1)mg

(2)3g，方向水平向左

(3)5mg

6

1．如图3－2所示，细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．当细线对小球的拉力刚好等于零时，水平向右的加速度a的大小为(g为重力加速度)(

) 图3－2

A．g

B．2g

C.2g

D.【解析】

2g

2

细线对小球的拉力刚好等于零，说明小球只受重力和斜面的支持力两个力，且随A一起向右以a做加速运动，小球受力如图所示，故小球的合力F＝mg. F加速度a＝＝g，A对．

m【答案】

A

传送带问题

1.传送带一般做匀速运动，物体与传送带间的滑动摩擦力不影响传送带的运动状态(这是因为带动传送带的电动机在起作用)．

2．分析物体与传送带间的滑动摩擦力方向，进而分析物体的运动规律，这是分析传送带问题的突破口．

3．传送带模型有两种，一个是水平方向的传送带；另一个是与水平方向成一定角度的传送带．

(1)物体在水平传送带上的运动有两种可能：①若物体到达传送带的另一端时速度还没有达到传送带的速度，则该物体一直做匀加速直线运动；②若物体到达传送带的另一端之前速度已经和传送带相同，则物体先做匀加速直线运动后做匀速直线运动．

(2)对斜传送带要分析最大静摩擦力和重力沿斜面方向的分力关系，如果最大静摩擦力小于重力沿斜面的分力，则物体做匀变速运动；如果最大静摩擦力大于重力沿斜面的分力，则物体做匀速运动．

图3－3

如图3－3所示的传送带，其水平部分ab的长度为2 m，倾斜部分bc的长度为4 m，bc与水平面的夹角为α＝37°，将一小物块A(可视为质点)轻轻放于传送带的a端，物块A与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.25.传送带沿图示方向以v＝2 m/s的速度匀速运动，若物块A始终未脱离传送带，试求小物块A从a端被传送到c端所用的时间．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8) 【解析】

物块A放于传送带上时，它的受力如图(a)所示．假设物块A在水平传送带上到达另一端之前，速度已经加速到和传送带的速度相同．

设A的加速度为a1，则有：μmg＝ma1，得a1＝μg

A做匀加速运动的时间是：

vv2t1＝＝＝

s＝0.8 s a1μg0.25×10这段时间内A对地的位移是：

1x1＝v·t1＝×2×0.8 m＝0.8 m＜2 m，

2xab－x1此后，A随传送带一起匀速运动，设所用时间为t2，t2＝v＝0.6 s．物块A在传送带bc段的受力情况如图(b)所示，由于μmgcos 37°＜mgsin 37°，A在bc段将沿传送带加速下滑，此时A受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为μmgcos 37°，方向沿传送带向上，由牛顿第二定律得

mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2

解出a2＝g(sin 37°－μcos 37°)＝4 m/s2

12A在传送带的倾斜部分bc段以加速度a2向下匀加速运动，有

xbc＝vt3＋a2t3

2解得t3＝1 s(t′3＝－2 s舍去) 综上可得物块从a端运动到c端所用时间为：

t＝t1＋t2＋t3＝2.4 s. 【答案】

2.4 s

图3－4 2．水平传送带AB以v＝200 cm/s的速度匀速运动，如图3－4所示，A、B相距0.011 km，一物体(可视为质点)从A点由静止释放，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，则物体从A沿传送带运动到B所需的时间为多少？(g＝10 m/s2) 【解析】

统一单位：v＝200 cm/s＝2 m/s，x＝0.011 km＝11 m，开始时，物体受的摩擦力为Ff＝μmg，由牛顿第二定律得物体的加速度

Ffa＝＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2. m设经时间t，物体速度达到2 m/s，由v＝at得：

v2t1＝＝

s＝1 s. a2112此时间内的位移为：x1＝at21＝×2×1 m＝1 m. 22此后物体做匀速运动，所用时间：

x－x111－1t2＝v＝

s＝5 s. 2故所求时间t＝t1＋t2＝1 s＋5 s＝6 s. 【答案】

6 s

牛顿运动定律在连接体中的应用

1.连接体：多个相互关联的物体组成的物体组(或物体系)．如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆连在一起．

2．隔离法与整体法

(1)隔离法：在解决连接体问题时，从研究的方便性出发，将物体系统中的某一部分隔离出来，单独分析研究的方法．

(2)整体法：在解决连接体问题时，将整个系统作为一个整体分析研究的方法．

3．选取整体法与隔离法的原则

(1)一般是先整体后隔离

在连接体内各物体具有相同的加速度，应先把连接体当做一个整体，分析整体受力，利用牛顿第二定律求出加速度．若求连接体内各物体间的相互作用，再把物体隔离，对该物体单独受力分析，再利用牛顿第二定律对该物体列式求解．

(2)求系统外力的问题，有的直接选取整体法求解，有的则先隔离后整体．

图3－5

A、B两物体质量分别为m1、m2，如图3－5所示，静止在光滑水平面上，现用水平外力F推物体A，使A、B一起加速运动，求：A对B的作用力多大？

【解析】

以A、B整体为研究对象(整体法)，水平方向

F只受一个外力F，a＝.以B为研究对象(隔离法)，水平方向只有A对B的弹力m1＋m2m2FAB，则FAB＝m2a＝F. m1＋m2【答案】

m2F

m1＋m2

图3－6 3．如图3－6所示，质量为m1和m2的两个物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿光滑水平面，再沿斜面，最后竖直向上运动．在三个阶段的运动中，线上拉力的大小(

) A．由大变小

B．由小变大

C．始终不变

D．由大变小再变大

【解析】

m1、m2沿水平面移动时：

Fm1Fa1＝，线上张力FT1＝m1a1＝

m1＋m2m1＋m2m1、m2沿斜面移动时：a2＝F－gsinθ

m1＋m2m1F

m1＋m2线上线力FT2＝m1a2＋m1gsinθ＝Fm1、m2竖直向上移动时：a3＝－g

m1＋m2m1F线上张力：FT3＝m1a3＋m1g＝

m1＋m2由此可见，FT1＝FT2＝FT3.C对．

【答案】

C综合检测(三) 第三章

牛顿运动定律

(满分：100分

时间：60分钟) 一、选择题(本题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题至少一个答案正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内．) 1．人在沼泽地赤脚行走时容易下陷，但是如果人脚着滑雪板在上面行走却不容易下陷，下列说法中正确的是(

) A．赤脚时，人对沼泽面的压力小于沼泽面对人的支持力

B．赤脚时，人对沼泽面的压力等于沼泽面对人的支持力

C．着滑雪板，人对沼泽面的压力小于沼泽面对人的支持力

D．着滑雪板，人对沼泽面的压力等于沼泽面对人的支持力

【答案】

BD 2．在谷物的收割和脱粒过程中，小石子、草屑等杂物很容易和谷物混在一起，另外谷有瘪粒，为了将它们分离，湖北农村的农民常用一种叫“风谷”的农具即扬场机分选，如图1所示，它的分选原理是(

)

图1

A．小石子质量最大，空气阻力最小，飞的最远

B．空气阻力对质量不同的物体影响不同

C．瘪谷物和草屑质量最小，在空气阻力作用下，反向加速度最大，飞的最远

D．空气阻力使它们的速度变化率不同

【解析】

由题意知，小石子、实谷粒和瘪谷及草屑在离开“风谷”机时具有相等的初速，空气阻力可视为相差不大，但小石子和实谷粒的质量较大，而质量是惯性的唯一量度，则在飞行过程中，小石子质量最大，速度变化率最小，飞得最远；而瘪谷物质量最小，速度变化率最大，飞得最近．

【答案】

D 3．(2012·安徽高考)

图2 如图2所示，放在固定斜面上的物块以加速度a沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一个竖直向下的恒力F，则(

) A．物块可能匀速下滑

B．物块仍以加速度a匀加速下滑

C．物块将以大于a的加速度匀加速下滑

D．物块将以小于a的加速度匀加速下滑

【解析】

设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律，知物块的加速度a＝mgsin θ－μmgcos θ＞0，即μ＜tan θ.对物块施加竖直向下的压力F后，物块的加速度a′＝mmg＋Fsin θ－μmg＋Fcos θFsin θ－μFcos θ＝a＋，且Fsin θ－μFcos θ＞0，故a′＞a，物mm块将以大于a的加速度匀加速下滑．故选项C正确，选项A、B、D错误．

【答案】

C 4．如图3所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法中正确的是(

)

图3

A．物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小

B．物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变

C．物体从A到B先加速后减速，从B到C一直减速运动

D．物体在B点所受合力为零

【解析】

因为速度变大或变小取决于速度方向与加速度方向的关系(当a与v同向时，v变大；当a与v反向时，v变小)，而加速度由合力决定，所以要分析v、a的大小变化，必须先分析物体受到的合力的变化．

物体在A点时受两个力作用，向右的弹力kx和向左的摩擦力f.合力F合＝kx－f，物体从A→B过程中，弹力由大于f减至零，所以开始一段合力向右，中途有一点合力为零，然后合力向左，而v一直向右，故先作加速度越来越小的加速运动，在A→B中途有一点加速度为零，速度达最大，接着做加速度越来越大的减速运动．物体从B→C过程中，F合＝f为恒力，向左，所以继续做加速度不变的匀减速运动．

【答案】

C

5.

图4 如图4是“神舟”系列航天飞船返回舱返回地面的示意图，假定其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷气过程中返回舱做减速直线运动，则(

) A．火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力变小

B．返回舱在喷气过程中减速的主要原因是空气阻力

C．返回舱在喷气过程中获得的推力与其重力是作用力和反作用力

D．返回舱在喷气过程中处于失重状态

【解析】

对降落伞，匀速下降时受到的重力mg、绳的拉力FT和浮力F平衡，即FT＝F－mg.在喷气瞬间，喷气产生的反冲力向上，使降落伞减速运动，设加速度大小为a，对

降落伞应用牛顿第二定律：F－FT′－mg＝ma，FT′＝F－mg－ma

【答案】

A 6．(2012·眉山市高一检测)放在粗糙水平面上的物块A、B用轻质弹簧测力计相连，如图5所示，物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，今对物块A施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左匀加速运动，设A、B的质量分别为m、M，则弹簧测力计的示数为(

) 图5

MFMFA.

B.

mM＋mF－μm＋MgF－μm＋MgC.M

D.M

mm＋M【解析】

对m、M则有F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a①

对M则有F1－μMg＝ma②

MF联立①②解得F1＝故B正确．

M＋m【答案】

B 7．某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中．不计空气阻力，取向上为正方向，在如图所示的v－t图像中，最能反映小球运动过程的是(

)

【解析】

小球在空中上升阶段和下降阶段所受到的合外力相同，所以加速度也相同；小球进入水中至进入淤泥之前，受到重力和水的阻力，向下运动的加速度小于重力加速度即速度—时间图像的斜率减小；进入淤泥之后，受到的阻力大于球的重力，小球做匀减速直线运动，所以正确的选项为C. 【答案】

C 二、非选择题(本题共5个小题，共58分，计算题解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位．) 8．(10分)某同学用如图6所示的装置做“探究加速度与力、质量的关系”实验，当小车的质量一定时，测得小车的加速度a与拉力F的数据如表：

图6

F/N

a/(m·s2)

－0.20

0.10

0.30

0.23

0.40

0.27

0.50

0.40

0.60 0.49

图7 (1)根据表中数据，在如图7所示坐标系中作出图像．

(2)图线存在截距，其原因是

________________________________________________________________________. (3)由图像可得出的结论是

________________________________________________________________________. 【解析】

(1)以表中的数据为坐标，描点作图如图所示画出一条直线．

(2)由图像可知，当细线的拉力增大到一定数值时才产生加速度，说明有阻力作用．

(3)所有点大致分布在一条直线上，所拟合的图线接近原点，因此在误差允许的范围内可以认为在物体质量一定时，加速度与所受到的合外力成正比．

【答案】

(1)见解析

(2)水平面与小车之间存在摩擦力作用

(3)在物体质量一定时，加速度与所受到的合外力成正比

9.

图8 (2010·山东高考)(12分)某同学设计了如图8所示的装置来探究加速度与力的关系．弹簧

秤固定在一合适的木板上，桌面的右边缘固定一支表面光滑的铅笔以代替定滑轮，细绳的两端分别与弹簧秤的挂钩和矿泉水瓶连接．在桌面上画出两条平行线MN、PQ，并测出间距d.开始时将木板置于MN处，现缓慢向瓶中加水，直到木板刚刚开始运动为止，记下弹簧秤的示数F0，以此表示滑动摩擦力的大小．再将木板放回原处并按住，继续向瓶中加水后，记下弹簧秤的示数F1，然后释放木板，并用秒表记下木板运动到PQ处的时间t. (1)木板的加速度可以用d、t表示为a＝________；为了减小测量加速度的偶然误差可以采用的方法是(一种即可) ________________________________________________________________________. (2)改变瓶中水的质量重复实验，确定加速度a与弹簧秤示数F1的关系．下列图像能表示该同学实验结果的是________．

(3)用加水的方法改变拉力的大小与挂钩码的方法相比，它的优点是________．

A．可以改变滑动摩擦力的大小

B．可以更方便地获取多组实验数据

C．可以比较精确地测出摩擦力的大小

D．可以获得更大的加速度以提高实验精度

12d【解析】

①由于木板做匀加速直线运动，且初速度为零，故有：d＝at2，则a＝2.2t为减小测量加速度的偶然误差，可以采用多次测量取平均值的方法．

F0②以矿泉水瓶为研究对像，设其质量为m，则有mg－F0＝ma，即a＝g－可知a－Fm1图像不过原点，a、b项错；由于m逐渐增大，故a－F图像的斜率应逐渐减小，c项对，dm项错．

③不论用什么方法改变拉力的大小，都不能改变滑动摩擦力的大小，A项错；由于用加水的方法每次增加的拉力可大可小，故B、C项对；用两种方法都可以获得较大加速度，故D项错．

2d【答案】

(1)2

保持F1不变，重复实验多次测量，求平均值

t(2)c

(3)BC 10．(10分)如图9所示，直升机沿水平方向匀速飞往水源取水灭火，悬挂着m＝500 kg

空箱的悬索与竖直方向的夹角θ1＝45°.直升机取水后飞往火场，加速度沿水平方向，大小稳定在a＝1.5 m/s2时，悬索与竖直方向的夹角θ2＝14°.如果空气阻力大小不计，且忽略悬索的质量，试求水箱中水的质量M.(取重力加速度g＝10 m/s2；sin 14°≈0.242；cos 14°≈0.970) 图9

【解析】

直升机取水，水箱受力平衡

T1sin θ1－f＝0①

T1cos θ1－mg＝0②

由①②得f＝mgtan θ1③

直升机返回，由牛顿第二定律

T2sin θ2－f＝(m＋M)a④

T2cos θ2－(m＋M)g＝0⑤

由③④⑤得，水箱中水的质量M＝4.5×103 kg 【答案】

4.5×103 kg 11．(12分)(2012·达州市高一检测)质量m＝10 kg的物体，在F＝40 N的水平向左的力的作用下，沿水平桌面从静止开始运动．物体运动时受到的滑动摩擦力f＝30 N．在开始运动后的第5 s末撤去水平力F，求物体从开始运动到最后停止总共发生的位移．(保留三位有效数字) 【解析】

加速过程由牛顿第二定律得：

F－f＝ma1

解得：a1＝1 m/s2

5 s末的速度：v＝a1t＝5 m/s 15 s内的位移：x1＝a1t2＝12.5 m 2减速过程由牛顿第二定律得：f＝ma2

解得：a2＝3 m/s2

v2减速位移：x2＝≈4.17 m 2a2总位移：x＝x1＋x2＝12.5 m＋4.17 m≈16.7 m. 【答案】

16.7 m 12．(14分)(2012·雅安市期末)滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，如图10甲所示，

OAB是同一竖直平面上的滑行轨道，其中OA段是长27 m的水平轨道，AB段是倾角θ＝37°足够长的斜直轨道，OA与AB在A点平滑连接．已知滑板及运动员总质量为60 kg，运动员从水平轨道向左滑向斜直轨道，滑到O点开始计时，其后一段时间内的运动图像如图10乙所示．将滑板及运动员视为质点，滑过拐角时速度大小不变，在水平和斜直轨道上滑板和接触面间的动摩擦因数相同．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力)求：

图10

(1)滑板与接触面间的动摩擦因数；

(2)运动员到达坡底A点时速度大小；

(3)运动员沿坡上滑的最大距离(保留三位有效数字)．

Δv【解析】

(1)由运动图像知a＝＝－2 m/s2

Δt在水平方向由牛顿第二定律－μmg＝ma

联立解得μ＝0.2 2(2)设人运动到A点时速度为v，由运动学公式v2－v0＝2ax

解得：v＝6 m/s (3)运动员冲上斜面后做匀减速运动，设减速过程的加速度为a′

由牛顿第二定律得：－mgsin θ－μFN＝ma′

FN＝mgcos θ

解得a′＝－7.6 m/s2

设沿坡上滑的最大距离为x，

由运动学公式：0－v2＝2a′x

解得x＝2.37 m

即沿坡上滑的最大距离为2.37 m. 【答案】

(1)0.2

(2)6 m/s

(3)2.37 m