课外读物板书设计及意图

机械能守恒定律

一、机械能守恒定律

1、

条件

⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。（和只受到重力不同）

⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。

(3) 其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧）

2、对机械能守恒定律的理解： ①“守恒”是时时刻刻都相等。 ②

“守恒”是“进出相等” ③要分清“谁”、“什么时候”守恒 ④、是否守恒与系统的选择有关 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

3、机械能守恒定律的各种表达形式

⑴初状态 = 末状态 ⑵

增加量 = 减少量

用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

4、解题步骤

⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。

5、动能定理与机械能守恒的联系

1、

动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统

2、

动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制

3、

动能定理有时可改写成守恒定律

二、机械能守恒定律的综合应用

例1、如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

O

B O θ

θ

A v1/2 O A α

O α

A B v1 B B ⑴

⑵

⑶

⑴过程中A的重力势能减少，

A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。11v2mg2L3mgL2mv23m2222，解得v8gL 11⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，

1122m2v3mv2=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）

224gL=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得vm

11

A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？

解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，A、B两球通过的路程相等，2RRA上升的高度为hR；B球下降的高度为H；对于系42统，由机械能守恒定律得：EPEK

；

R1EPMgmgR(Mm)v2

22例2、如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球vc

RMg2mgRMm

例3、如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的1悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚541LL11mg2Lmg(2L)mgmv2 得：v74gL

5510225要着地时的速度？

解：选取地面为零势能面：

例4、如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦忽略不计）

K 解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则mgL18mv2，得v22gL。

8点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？

解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：12m1mv02RgRmv2

2L2要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有v02RgL

例6、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？

解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。

v2mgmR根据题意，在C点时，满足①

112mv2mvB22从B到C过程，由机械能守恒定律得②

12Rgt2v5gR 从C回到A过程，满足2由①、②式得B③ mg2R水平位移s=vt，vgR④ 由③、④式可得s=2R

a5g4

22asvB从A到B过程，满足⑤ ∴

例7、如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。

解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v′，根据小球v2mgmR①

对最高点压力为零，由圆周运动公式有112mvCmg2Rmv22取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律2②

v由①、②两式消去v′，可得C5gR

5gr，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能v同理可得小球滑过D点时的速度Dmgl1122mvDmvC22定理，

5(Rr)lvv2

将C、D代入，可得

三、针对训练

1．将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（

Ｃ

）

A．t上>t下，EC．t上E=E下 B．上<下，ttE上<E上下

下

下 D．上=下，ttE=E

2．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜和上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、则（

Ｃ

）

hB、hC，A．hAhBhC B．hAhBhC

C．hAhBhC D．hAhB,hAhC

3．质量相同的两个小球，分别用长为l和2 l的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（

ＣＤ

）

A．两球运动的线速度相等 B．两球运动的角速度相等

C．两球运动的加速度相等 D．细绳对两球的拉力相等

4．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖

直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（

Ｄ

）

A．上抛球最大 B．下抛球最大 C．平抛球最大 D．三球一样大

5．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为vm，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点处的速度为________，在远地点处的速度为______。（vm， 2vm2Wm）