3的倍数的特征教案和课堂实录

自然而然教数学

——以“3的倍数特征”一课为例张丽霞

润物无声、育人无痕是教育的最高境界。“任何一种教育现象,孩子在其中越少感觉到教育者的意图,它的教育效果越大。”从这个角度来说,学生的学习应该像呼吸一样自然。但是,在研读教材、分析学情的过程中,我们深刻地感受到从“2、5的倍数的特征”过渡到“3的倍数特征”有很多的“不自然”——第一,新知和旧知互相冲突。2、5的倍数特征只看个位,而3的倍数特征,却要看所有数位上的数字之和,新知和旧知“不一致”,这是第一个不自然。

第二,新知和学生已有的生活经历无联结。3的倍数的特征,不能只从个位上的数字来判断,必须把所有数位上的数相加,看所得的和是否是3的倍数。但在学生以往的学习和生活经历中,很少有将“各个数位上的数相加”的生活体验,这是第二个不自然。

第三,知识结构上,2、5的倍数只看个位,3的倍数要看各个数位上的数字的和,给学生的感觉这两个知识是割裂的,一个否定另一个的。“2、5的倍数的判断方法”与“3的倍数判断方法”的本质上似乎不一样。显然,这是第三个不自然——知识结构上的不自然。

第四,表面的活跃掩盖了学生不求甚解的实质。具体地说,同一个班的学生,对3的倍数的特征的认识,有的几乎零起点的,有的通过预习或父母提前告知,知道判断一个数能否被3整除,要把这个数所有的数位上的数相加,但为什么要相加,知其然却不知其所以然。这样,放手让学生自主讨论,某种程度上只不过将“教师告诉”变成了“学生告诉”“书本告诉”,“师灌”变成了“生灌”,“自学课本”异化成了“记住结论”,这是第四个不自然——学习上的不自然。

一切教学法,均源自于学习内容自身的规定性和儿童内在的心理需求。解读教材、分析学情的意义正在于此!那么,如何同化和顺应学生的已有经验?如何让学生“自然”而非“人为”地想到各个数位上的数字和?更为重要地,如何保障“先知先觉”的学生的学习权,让他们也和零起点的学生一样能兴趣盎然地投入到学习中?这些问题成为本次教学中重构的重点。下面是我们思考后的实践。

【课堂回放】

一、问询疑点,探寻学生的认识起点

师:学生们,这里有三张数字卡片(2、5、9),看一看,它们是什么?(学生答略)。谁能用这三个数字摆几个三位数,使它是2的倍数?

生:592。

师:有没有不同的想法?

生:952。

师:摆2的倍数有什么诀窍?

生:只要把2、4、6、8放在个位就一定是2的倍数。

师:非常好!还是用这三个数字,谁能摆出几个三位数,使它是5的倍数?

(学生尝试略)。

师:5的倍数有什么特点?

生:个位数字是0或5的数都是5的倍数。

师:对!下面增加一点难度,敢不敢挑战?(生:敢!)好!咱们变换一下方式。请同学们把练习本打开。还是用这三个数字,请写出几个三位数,使它们是3的倍数。

师:你写的是什么数?

生:我写的是259或529。

师:和他一样的请举手。你们怎么都把9放在个位?

师:我觉得个位上数字是3、6、9的数就是3的倍数。

师:这是你的观点,同意这个观点的同学请举手。老师把他写在黑板上。(板书:3的倍数:个位数字是3、6、9的数)有没有不同的意见?

生:老师,我不同意他们的观点,这两个三位数不是3的倍数,并且用这三个数字卡片根本摆不出3的倍数。

师:你确定吗?咱们来验证一下。老师这里有一个计算器,谁上来操作一下? (学生验算)怎么样?

生:确实都不是3的倍数。

【反思:让学生用数字卡片摆2、5的倍数,学生顺利摆出后,如果接着让学生在黑板上摆出3的倍数,试想,假如学生优生提前喊“摆不出来”,后进生一定会隐藏自己的想法,甚至违心地附和。因此,转换一种方式,让学生在作业

本上写。由于不知道其他学生的想法,果然有很多学生写出了259,529,并且每位学生对自己的答案都信心满满。这样冲突如期而至!】

二、重锤节点,搭建教学脚手架

片段1:用4颗算珠拨数

师:看来,个位数字是3、6、9的数不一定是3倍数。那么,3倍数到底与什么有关?今天,我们就来研究这个问题。(板书课题,学生齐读)研究3倍数的特征,要借助一个学具——计数器。以前用过吗?谁能在计数器上拨一个数? (一个学生举手尝试,拨出了301)

师:他用了多少颗算珠

生:4颗。

师:谁还能用4个算珠拨一个不同的数?(学生尝试略)用4个算珠可以拨出多少个数?

生:很多个。

师:今天我们就借助拨珠实验来研究3倍数的特征.怎样研究呢?请看屏幕——

课件呈现:

拨珠实验一:用4颗算珠拨数

(1)、同桌合作:用4颗算珠拨数,一人负责拨珠,一人负责判断拨出来的数是不是3的倍数(可以借助计算器)。

(2)、时间2分钟,看哪一个小组拨出来的数最多。

(3)、填写实验报告单(一)(如下)。

实验报告单(一)

师:有没有不明白的地方?

生:没有。

师:好,同桌商量,然后分工,分好的就可以开始做实验。

(学生活动,教师巡视)

师:哪个小组来汇报?

生:我们拨的数是13,22,31,1003,2002……

生:我们拨的数是4,40,301,400……

(学生报数,教师将学生报的数汇总在实验报告单中)

师:等一等,同学们,拨得完吗?

(生:拨不完)那么,你们观察老师汇总的实验报告单,有没有什么发现?

生:我们报的数都不是3倍数。

生:用4个算珠拨不出3倍数。

师:同意吗?(生:同意)我们可以在结论这里简洁的写作“4个算珠拨不出3的倍数”。

【反思,新课程背景下,教师的责任不仅仅是“上好课”,更要重要的责任在于实现每一位学生的学习权。在走进教室之前,虽然部分学生通过自己的经历和体验已经隐隐约约的知道“3的倍数特征”与“个位数字无关”,而应是将所有数位上的数字相加,看所得的和是否是3的倍数,但知其然却不知其所以然。鉴于此,教师创设了一个“陌生化”的问题情境让学生在计数器上拨数,这样不仅将“3的倍数特征”与“各个数位上的数字和”巧妙的联系在一起,同时也保障了每一个学生的学习权,尤其是让“先知先觉”的学生也能兴趣盎然地投入到学习之中】

片段2:自选一个颗数拨数

师:好!既然用4颗算珠拨不出3的倍数,那么是不是不管用多少颗算珠都拨不出3的倍数呢?

生:不是。

师:口说无凭!我们再来做一次实验。

课件呈现:

拨珠实验二:用任意算珠拨数

(1)、任意选择一个颗数

(2)、用你选择的那个颗数拨数

(3)、同桌分工合作,完成实验报告单(二)(如下)。

完成实验报告单(二)

我们的结论是()

师:“任意选择一个颗数”是什么意思?(学生解释)

师:好,现在同桌合作,开始做实验!

(学生做实验,教师边巡视收集实验数据,并输入表格)

【反思:两次实验,两次收集、整理信息的方式略有不同。第一次实验,教

学的重点在于让学生意识到即使合全班之力,也始终无法用4个算珠摆出3的倍数;第二次实验,教学的着眼点在于引导学生观察多少颗算珠才能拨出3的倍数,思考算珠的颗数与各个数位上的数字之和的关系。教师直接将学生的实验数据输入表格,这样不仅重点突出,也节省了时间。】

师:这是部分小组的实验数据。观察这个表格,你有什么发现?

(学生独立思考后,四人小组交流,教师组织学生汇报)

生:我发现珠子的颗数等于各个数位上的数字相加。

师:具体说说。

生:比如说345,3+4+5=12,摆出这个数就要用12个算珠。

师:那摆1025需要多少颗算珠?

生:1+2+5=8颗。

师:很好。这是一个重要的发现,老师把它写下来。(板书:算珠的颗数=各个数位上的数字之和)

师:谁还有不同的发现?

生:我发现珠子的颗数是3、6、9时,拨出来的都是3的倍数。

师:谁有补充的?除了3、6、9,当颗数是哪些数时,拨出来的也是3的倍数?生:12、18。

生:只要珠子的颗数是3的倍数,拨出来的就一定是3的倍数。

师:还可以怎么说?

(学生沉默不语)

师:同学们设想一下,要是根据这个规律去判断,那么同学们每天岂不是都要背着一个计数器,在判断一个数是不是3的倍数前必须先在计算计数器上拨一拨,数一数吗?联系刚才的发现想一想,谁不借助计数器也能判断一个数是不是3的倍数?

生:各个数位上的数字和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

师:具体说说你是怎么想的?

生:刚才说了,算珠的颗数就等于各个数位上的数字和,所以算珠的颗数是3的倍数,说明这个数各个数位上的数字和也是3的倍数。

师:同意吗?(生:同意)那谁上来把这个发现改一改?同学们觉得这个猜想怎样?

师:老师也赞同你们的猜想。不过猜想毕竟只是猜想,要想知道猜想是否正确,我们还要验证。怎样验证?有没有好的建议?

【反思:关于实施合作学习,目前教师普遍的焦虑是合作学习在“某种程度上”影响了教学的进度。解决的有效措策略之一是设计大活动,提出大问题,高水准地设定合作学习的主题。让学生分小组“任选一个颗数”,每个小组只选一个颗数,这样既有利于节省课堂教学的时间,同时,由于各个小组选择的颗数不尽相同,也就为各小组交流、观察、碰撞、发现做了铺垫与孕伏。】

片段3:自由报数或拨数,验证规律

师:老师有一个建议,想不想听听?(课件出示活动三)

(1)、一位同学报数,计算自己报的数的数字和,判断是不是3的倍数。

(2)、另一位同学用计算器验证同桌的判断。

(3)、如果你找到一个数,它的数字和是3的倍数,但这个数却不是3的倍数,或者它的数字和不是3的倍数,这个数却是3的倍数,请把它记下来。

师:看明白了吗?谁来解释一下?

生:我任意报一个数,比如说708,数字和是15,我觉得他应该是3的倍数,我的同桌用计算器验算发现,708÷3的的确没有余数。

师:都学会了吗?一个人负责报数、判断是不是3的倍数,另一个人负责用计算器验证。

(学生交流,教师巡视指导)

【反思:教学,是对智力的冲刺与挑战,一个学生报数、判断后,另一个学生用计算器验证。这本身就充盈着竞争与挑战。这正好印证了日本著名教育家佐藤学教授的那句话:挑战学习的儿童是灵动的、高雅的、美丽的。】

三、以问到学,扩展延伸

师:同学们,今天我们通过小组合作,明白了3的倍数的特征。学到这里,你有没有什么想问的?

生:我不明白,3倍数特征为什么和所有数位上的数都有关,2、5的倍数特征只和个位数字有关呢?

师:这位同学提了一个很好的问题,其实,一个数是不是2、5的倍数和一个数是不是3的倍数的判断方法实质是一样的。例如有一个三位数是abc abc=100a+10b+c

=99a+9b+a+b+c

=9(11a+b)+(a+b+c),这其中的9(11a+b)一定是3的倍数,所以只需看(a+b+c)是不是3的倍数就可以判断了。这里的(a+b+c)正好是这个三位数各个数位上的数字之和。这是我们以后会学到的数论的知识,我们在这里了解一下也是可以的。

【反思:下课铃的响起并不意味着问题的结束,相反,它应成为许多新的问题的开始。2、5的倍数特征为什么只和个位上的数有关,而3的倍数特征却和所有数位上的数有关,这一问题抛出,不仅意味着学生问题意识的增强,同时也为学生从2、3、5倍数特征孤立、割裂、甚至是相互对立的表面表象中跳离出来提供了可能。课结束而曲不终!】

正如前文所述,在接触“3的倍数特征”之前,学生已经学习了“2、5的倍数特征”。看一个数是不是2、5的倍数,只需看这个数的个位。个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数,个位是0、5的数就是5的倍数。而3的倍数特征则不然,一个数是不是3的倍数,不能只看个位,而要看它所有数位上的数字之和。为什么会这样呢?越是“课前自学”“校外培训”“爸爸妈妈先教”的学生,就越会产生这样的疑问。这既彰显了知识前后的“不一致”“互相矛盾”的地方,同时也凸显了学生认识上的盲区,即在某种程度上,位值制是研究数的倍数特征的基础。从位值制的角度讲,一个数能否被2、3、5乃至被其它数整除,要看这个数各个数位上的数被某个数除,所得的余数之和能否被某个数整除。如果余数之和能被某个数整除,那么这个数也就一定能被某个数整除;反之则不能。这是知识的节点,也是学生认识的盲点。虽然小学生受知识和思维特征的限制,还不可能从这样的高度去建构与理解,但是,这并不意味着教师不可以做相应的渗透。事实上,这正是本次教学重构的“响鼓重锤”的地方。学生的学习应像呼吸一样自然!教师的教学更应该是自然而然的!