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鸽巢问题

朔州市第四小学：党海荣

教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。

教材分析：

鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。

学情分析：

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。

设计理念：

在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。

教学目标：

1、理解“鸽巢原理”的基本形式,并能初步运用“鸽巢原理”解

决相关的实际问题或解释相关的现象。

2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历鸽巢原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的兴趣。

教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

教学准备：多媒体课件

教学过程：

一、谈话引入：

1、谈话：你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗？今天老师也能做到“料事如神”，你们信不信？现在老师任意点13位同学，我就可以肯定，至少有2个同学的生日在同一个月。你们信吗？

2、设疑：你们想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。

二、合作探究

（一）初步感知

1、你们知道什么叫“鸽巢问题”吗？

抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄里克雷（Dirichlet）提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理称作“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢

至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。

2、出示题目：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？可以怎样放呢？

动手操作要求：

（1）把4支铅笔放进3个笔筒中，看看能有几种放法。

（2）同桌俩人为一组，合作完成。一个人放，一个人记录放的结果。（用圆圈代表笔筒，用斜线代表铅笔）

哪一组同学能把你们的放法汇报一下？

（1）4支铅笔全部放一个笔筒里。

（2）3支放一个笔筒，另一支放一个笔筒。

（3）2支放一个笔筒，另2支一个笔筒

（4）先每个笔筒放1支铅笔，剩下的1支放在其中的一个笔筒。

交流后明确：

（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）

（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。

（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。

我们发现如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个笔筒里,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

为什么要平均分？

要想发现存在着“总有一个笔筒里一定至少有2枝”,先平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个笔筒里一定至少有2支”。

3、提出问题：“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？

学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个笔筒”是什么意思？（一定有，不确定是哪个笔筒，最多的笔筒）。这句话里“至少有2支”是什么意思？（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）

4、得到结论：

小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？

5、假设法

（1）、学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截图）

语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。（指名说，互相说）

2、引导发现：

（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）

（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行）

（3）怎样用算式表示这种方法？（4÷3=1支……1支

1+1＝2支）

算式中的两个“1”是什么意思？

（二）进一步验证

过渡：如果现在有5支铅笔放进4个笔筒，还会出现这样的结论吗？

1、小组合作：

（1）画一画：借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来；

（2）找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；

（3）我们发现：总有一个笔筒至少放进了（

）支铅笔。

2、引伸拓展：

把6枝铅笔放进5个文具盒里呢？

把100枝铅笔放进99个文具盒里呢？

把n+1枝铅笔放进n个文具盒里呢？

学生列出算式，依据算式说理。

3、发现规律：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了，现在会用简便方法求“至少数”吗？

（三）、建立模型

小结：刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗？把苹果放入抽屉，把书放入书架，高速路口同时有4辆车通过3个收费口……，类似的问题我们都可以用这种方法解答。

练习：

1、老师上课时提出的生日问题，现在你能解释吗？

2、随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？