作轴对称图形第二课时教学实录

人教版初中数学八年级上册第十三章《轴对称》

一、教学目标

1.复习公理：两点之间线段最短．

2.掌握利用轴对称图形的特点构造对应点，解决最短路径问题。

3.经历探索最短路径问题的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程。体验解决实际问题的成就感。

二、教学重点

1.掌握利用轴对称图形的特点构造对应点，解决最短路径问题。

2.体会数学是解决实际问题的一门学科，增强学习兴趣。

三、教学难点

1.将实际问题转化为数学问题。

2.探索如何利用轴对称图形的特点构造对应点，解决最短路径问题。

四、教学用具

教师：三角板、课件

学生：三角板、

五、课时：1课时

六、教学过程：

1.导入新课

历史上有这样一个著名的数学问题，名字叫“将军饮马问题”，

一听这个名字，就知道是个很有趣的问题，这是怎样一个问题呢？

2.新授课

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久

负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中（图略，见课件）的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

你能将像海伦一样解决这个问题吗？

3.教学流程

1.轴对称图形，两个图形成轴对称；

巩固复习○2.找对称轴和画轴对称图形；

○3.等腰三角形的性质和判定。

○4.如图所示，○从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路C最近？你的理由是什么？

学生思考后作答

选②理由：

两点之间,线段最短

引入关键问题

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

A①

②

③

DEBFl

探究活动一，将实际问题转化为数学问题。

从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？

提示：

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直

线．

学生思考后画出图形。

（再提示：还缺少问题怎么办？）

从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最

短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就可以转化为？

结论：转化为当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小。

导学置疑：点A，B 在直线l 的

A·

A··

l

B ·

·

l

B 同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

C

如果A、B在l的两侧，直接连起来就可以了，现在是同侧，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

教师提示：利用画轴对称图形的方法。

探究活动二，找到B’的位置。

作法：

B作点B 关于直线l 的对称点B′；

A提示：现在变成了两侧，是不是容易了？

连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求点．

探究活动三,证明

ClB'这样做有科学依据吗，你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

学生思考

教师演示讲解

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），(图中选了C’’、C’’’三个点) 连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，

BC =B′C，BC′=B′C′．

∴

AC +BC B'AC'''C'CC''lB = AC +B′C = AB′，

AC′+BC′

= AC′+B′C′

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴

AC +BC＜AC′+BC′．

即

AC +BC 最短。

巩固练习，变换对称点

刚才我们选的是B点的对应点，如果选A点，结果会不会不一样呢？同学们动手在原图上，画一画，试一试。（图略，见课件）

思路分析：回顾刚才的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？

利用轴对称图形能够重合（即相等）的特点构造对应点。改变问题方向，也就是新问题转化为旧知识。

巩固练习

小组内讲解探究活动二、三的做法和理由。

4.小结

利用轴对称图形能够重合（即相等）的特点构造对应点，解决“将军饮马问题”，也就是最短路径问题。

转化思想：将新问题转换为学过的知识，进而得到解决。

5.作业与拓展

6.板书

“将军饮马问题”

两点之间线段最短

思路：变换与转化。