习题训练优质课教案设计

第3课时教学设计

福州金山中学

林鸿剑

课题

课型

平行再构等边三角形

新授课□章/单元复习课□专题复习课□ 习题/试卷讲评课☑ 学科实践活动课□ 其他□

1.学习者分析

本节课的授课对象是八年级的学生，学生在先前知识的学习中，已经掌握了全等三角形和等边三角形的性质与判定，并能运用它们解决问题，同时掌握了基本的尺规作图方法，具备一定的作图能力.通过之前学习的积累，学生已经具有一定的独立思考、分析问题和解决问题、归纳概括的能力，同时对于知识的渴求度高，愿意从多角度来学习、探究知识.

2.学习目标确定

知识与技能：复习全等三角形的性质与判定；巩固等边三角形的性质与判定；掌握作平行线构造等边三角形的辅助线添加方法.

过程与方法：经历在等边三角形的背景下探究线段数量关系的过程，通过交流、讨论等方式，体会转化、化归的思想方法.

情感态度与价值观：培养独立思考，分析、解决问题的能力，在克服困难中体验成功的喜悦，调动学习数学的热情.

3.学习重点难点

重点：掌握作平行线构造等边三角形的辅助线添加方法.

难点：运用作平行线构造等边三角形的辅助线添加方法解决问题.

4.学习评价设计

本节课通过教师引入问题，引导学生分析问题、解决问题，通过设计的五个环节，考查学生运用有关知识解决问题的能力，让学生在证明猜想的过程中复习巩固全等三角形和等边三角形的性质与判定，同时为在等边三角形背景下证明线段相等提供思考方向.教师在活动中要对学生的任务完成情况，分析问题、解决问题和归纳概括的能力进行观察，关注学生的思维过程，及时对学生的方法进行总结，由此体会转化、化归的思想，达到探究、提升的效益.

5.学习活动设计

引入问题——分析问题——解决问题

环节一：引入问题

问题：如图，在等边△ABC中，点E是AB边上一动点，连接EC，点D在射线CB上，使得ED=EC.试探究AE与DB之间的数量关系：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）.

教师活动1 教师引入问题，通过读题，让学生能整体审视问题，引导学生思考，对学生在审题的过程中遇到的困难，及时给予帮助和指导.

教师根据学生口述的猜想进行记录，同时对猜想的依据及时进行梳理、归纳.

学生活动1 按照要求，学生独立思考并认真审题，在大胆提出猜想的过程中回顾所学知识，运用有效的方法证明猜想.

学生口述自己的猜想及其依据.

活动意图说明：

通过活动考查学生的审题能力，考查学生对于全等三角形的性质与判定的掌握和运用能力.通过将问题层层剖析，让学生经历图形由特殊到一般的一个过程，形成几何证明的方法.同时引导学生总结概括证明线段相等的常见方法，调动学习数学的热情.

环节二：分析问题

思路1：将AE，DB放到同一个三角形中通过证明其为等腰三角形来证明两边相等.

特例

如图，在等边△ABC中，点E是AB边上一动点，连接EC，点D在射线CB上，使得ED=EC.当E为AB中点时，AE DB（填“＞”，“＜”或“=”），请说明理由.

思路2：将AE，DB放到两个三角形中通过证明这两个三角形全等得到对应边相等.

引例 （教材P80）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，

E.求证：△ADE是等边三角形.（此外，如果将点D移到AB或BA的延长线上，保持其他条件不变，那么△ADE的形状会发生变化吗？）

教师活动2 教师学生总结概括证明线段相等的常见方法提出思路1和2，并引导学生思考并解决对应的特例和引例.

学生活动2 学生根据教师提出的思路，进行思考并解决对应的特例和引例.

活动意图说明：

教师通过提出思路1和特例，引导学生在特殊化情况下证明自己的猜想.通过提出思路2和引例，引导学生归纳概括过等边三角形一边或其延长线上一点作一边的平行线，和第三边（或其延长线）相交，可构造出一个等边三角形.通过活动考查学生对于等边三角形的性质与判定的掌握和运用能力，同时让学生体会利用等边三角形的边等关系，对所要证明的两条相等线段进行代换、转移，即产生中间量.

环节三：解决问题

根据引例讨论以下四种作法：

方法1：过点E作EF∥BC交AC于F，证明△BDE≌△FEC，从而有AE=FE=BD（FE作为中间量）. 方法2：过点E作EF∥AC交BC于F，证明△BDE≌△FCE，从而有AE=FC=BD（FC作为中间量）. 方法3：过点D作DF∥AC交AB延长线于F，证明△DFE≌△EAC，从而有AE=FD=BD（FD作为中间量）.

方法4：过点D作DF∥AB交CA延长线于F，连接EF，证明△DFE≌△CFE及等腰△AEF，从而有AE=AF=BD（AF作为中间量）.

教师活动3 教师启发学生根据引例进行辅助线添加，并引导学生多方位思考，关注学生的完成情况，对于学生在证明过程中遇到的困难及时进行帮助和解决. 教师选取学生代表的证明步骤进行投屏和批注. 学生活动3 学生通过独立思考和小组合作交流，解决环节一所引入问题，根据环节二中的引例所积累的经验，寻求更多解决问题的方法，同时对辅助线添加方法进行归纳和总结.

学生书写自己的证明步骤.

活动意图说明：

通过证明的过程，进一步复习巩固全等三角形和等边三角形的性质与判定.此外通过多种方法作平行线构造等边三角形达到线段代换、转移的效果，提供给学生多方位思考问题的方向，让学生体会在等边三角形背景下此种辅助线添加的作用，并归纳和总结出一般方法：作平行线→构造等边三角形→线段代换、转移（中间量）→三角形全等→线段相等.

备用练习（根据前面活动的完成情况决定是否选用，时间不够可作为课后作业完成）

如图，在等边△ABC中，点E是AB或BA的延长线上一动点，连接EC，点D在射线CB上，使得ED=EC. （1）请根据题意补全图形；

（2）试说明AE=DB是否仍成立.若结论仍成立，请说明理由；若结论不成立，请直接写出AE和DB之间的大小关系.

教师活动4 引导学生学会根据题意画图，对于学生讲述的方法及时进行总结，鼓励学生多角度思考问题，对于学生的表现及时给予肯定和鼓励.

学生活动4 学生独立思考，运用先前总结的辅助线添加方法解决问题，表达自己的证明思路.

活动意图说明：

这是环节一所引入问题的变式，通过所设置的2个小问，逐一考查学生的几何作图能力以及对作平行线构造等边三角形的辅助线添加方法的掌握和运用能力，同时进一步体会过等边三角形一边或其延长线上一点作一边的平行线，和第三边（或其延长线）相交，可构造出一个等边三角形，为在等边三角形背景下证明线段相等提供思考方向.

环节四：课堂小结

通过本节课，我们学习了哪种辅助线添加方法？

教师活动5 通过提出问题，引导学生回顾本节课的学习内容，教师进行总结归纳.

学生活动5 在教师的引导下，进一步认识平行再构等边三角形的方法.

设计意图说明：

引导学生回顾本节课所学内容，帮助学生归纳和总结一般方法.

环节五：课后思考

思考1：等腰三角形+60°角在哪里见过？

真题回顾（2016·厦门）如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，点O在DE上，OA=OC，OD=1，OE=2.5，则BE= ，AE= . 思考2：等边三角形是特殊的等腰三角形，能否将今天所学辅助线添加方法应用

到等腰三角形内，即平行再构等腰三角形？

设计意图说明：

思考1中的问题可连接OB得到等腰△AOB和∠OEB=60°，过点O作OF⊥AB于F，从而解决问题.环节一所引入问题与此题有共同特征：等腰三角形+60°角，那么是否也能通过作垂线来解决？思考2将问题由等边三角形转向等腰三角形，即从特殊到一般.通过思考1和2，鼓励学生积极思考，并将所学知识和方法进行迁移应用.

6.板书设计

平行再构等边三角形

一、引入问题

二、分析问题

思路1 思路2 三、解决问题

方法1 方法2 方法3 方法4 7.作业与拓展学习设计

思考1：等腰三角形+60°角在哪里见过？

真题回顾（2016·厦门）如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，点O在DE上，OA=OC，OD=1，OE=2.5，则BE= ，AE= . 思考2：等边三角形是特殊的等腰三角形，能否将今天所学辅助线添加方法应用到等腰三角形内，即平行再构等腰三角形？

意图：通过思考1和2，鼓励学生积极思考，并将所学知识和方法进行迁移应用.

8.特色学习资源分析、技术手段应用说明

多媒体，几何画板

9.教学反思与改进

通过引入问题，分析问题，解决问题的环节，培养了学生独立思考的能力.在课堂中运用现代化的教学手段，将几何图形的“静”变成“动”，在动态课件演示中，增强了趣

味性，并且可以充分调动学生的学习兴趣，使数学知识充满新鲜感，增强学生对几何图形的敏感性.不过在实际授课中发现，大部分学生虽能理解作平行线构造等边三角形的辅助线添加方法，但在证明猜想和解决问题的过程中暴露出问题，一是学生通过引例能够顺利添加出辅助线，但未能正确找到转移的线段或判定三角形全等的条件；二是学生未能够多方位思考问题，灵活添加辅助线，即对过等边三角形一边或其延长线上一点作一边的平行线中的“延长线上一点”的认识不够透彻.因此在平时的教学中要逐步渗透一些这样的方法，基于学生有一定程度的认识和体验后，再进行探究、学习及总结.