整式的乘除优秀教学实录

课题：

《14．2．1 平方差公式》

教学目标：

知识与技能：会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 过程与方法：在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力. 情感态度与价值观：在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美. 教学重点：平方差公式的推导和应用. 教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式. 教学方法与手段：探究与讲练相结合.

教学过程：

一．提出问题，创设情境

1.

多项式与多项式是如何相乘的？想一想（见课件）

2. [师]你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999

（2）998×1002

[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．

[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．

[师]很好，请同学们自己动手运算一下．

[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）2

=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2

=20002-12

=10002-22

=4000000-1

=1000000-4

=3999999．

=1999996．

[师]2001×1999=20002-12

998×1002=10002-22

它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．

二．导入新课

[师]出示投影

计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．

（学生讨论，教师引导）

[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．

[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．

解：（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

22

=x+x-x-1

=m+2m-2m-2×2 =x2-12

=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

=（2x）2+2x-2x-12

=x2+5y·x-x·5y-（5y）2 =（2x）2-12

=x2-（5y）2

[生]从刚才的运算我发现：

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

[师]能不能再举例验证你的发现？

[生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-12=502-12．

即（50+1）（50-1）=502-12．

（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

[师]为什么会是这样的呢？

[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．

[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．

[生]这个规律用符号表示为：

（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？

[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？

[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．

（出示投影）

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

即：（a+b）（a-b）=a2-b2

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．

在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算

（出示投影）

例1、

用平方差公式计算：计算：（x+2y)(x-2y)

2 2 解：原式＝

x- (2y)

＝x2 - 4y2

例2：运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

例3：计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

在例2的（1）中可以把3x看作a，2看作b．

即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

（a+b）（a-b）=a2-b2

同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：

（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

[例2]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

[例3]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）

=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1．

三．随堂练习及拓展延伸：

见课件

教师小结：

通过本节学习我们掌握了如下知识．

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．•这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的结构特征：①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

布置作业：课本习题14.2第1题，

练习1、2 板书设计：

14．2．1 平方差公式

归纳规律──平方差公式；

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2

应用、升华：

教学反思：