多边形的外角和教学实录与评析

实际问题与二元一次方程组教案

教学目标

1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用．

2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．

重点难点

重点

能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．

难点

正确找出问题中的两个等量关系．

教学设计

一、创设情境，引入新课

复习提问：

列方程解应用题的步骤是什么？

学生回答：

审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．

教师讲述：

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．

教师出示问题：

养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18 kg～20 kg，每头小牛1天约需用饲料7 kg～8 kg.你能否通过计算检验他的估计是否正确吗？

二、探索分析，解决问题

根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？

主要思路：

实际问题列方程组――→设未知数

数学问题

（二元一次方程组）学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．

问题：

1．题中有哪些已知量？哪些未知量．

2．题中的等量关系有哪些？

3．如何解这个应用题？

解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x

kg和y

kg.

找出相等关系列方程组：

30x＋15y＝

675，解这个方程组，得

42x＋20y＝

940.x＝20，

y＝5.这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．

教师请同学们好好思考：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？

(个别学生可能会列出如下方程组：

30x＋15y＝675，但结果一致．) 12x＋5y＝265.思考题：

《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的1鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树3上、树下各有多少只鸽子吗？

三、巩固练习

1.某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？

2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

【答案】

1.解：设现在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．

根据题意列方程，得



x＋y＝4200，解这个方程组，得

x（1＋8%）＋y（1＋11%）＝4200（1＋10%）.

x＝1400，

y＝2800.

答：现在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．

2.解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x吨和y吨．

根据题意列方程，得

2x＋3y＝15.5，

5x＋6y＝35.解这个方程组，得

x＝4，

y＝2.5.

则3x＋5y＝24.5. 答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．

8．3

实际问题与二元一次方程组(2)

教学目标

1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．

2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．

3．学会开放性地寻求设计方案，培养分析能力．

重点难点

重点

经历和体验用方程组解决实际问题的过程．

难点

用方程组刻画和解决实际问题．

教学设计

一、创设情境，引入新课

前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．

教师出示问题：

据以往的统计资料，甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5.现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比是3∶4.(结果取整数)

问题：

1.“甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5”是什么意思？

2.“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？

3.本题中有哪些等量关系？

提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物的单位产量是多少？

二、例题讲解

教师提问：

以上问题有哪些解法？

学生自主探索、合作交流、整理思路：

1.先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置．

2.先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．

3.设未知数，列方程组求解．

如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝x

m，BE＝y

m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：

x＋y＝200，

100x∶（1.5×100y）＝3∶4解这个方程组，得

x＝10517，

2y＝9417.

过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分为两个长方形，较大的一块地种甲作物，较小的一块地种乙作物．

教师提问：

你还能设计别的种植方案吗？

(用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．) 教师巡视、指导，师生共同讲评．

三、巩固练习

某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：

农作物品种

水稻

棉花

每公顷需劳动力

4人

8人

每公顷需投入资金

1万元

1万元

15蔬菜

5人

2万元

已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？

【答案】

解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花，则安排(51－x－y)公顷种蔬菜．

根据题意列方程组，得

4x＋8y＋5（51－x－y）＝300，

x＋y＋2（51－x－y）＝67.解这个方程组，得

x＝15，

y＝20.那么种蔬菜的面积为51－15－20＝16(公顷)．

答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜．

8．3

实际问题与二元一次方程组(3)

教学目标

1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．

2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．

重点难点

重点

用列表、画图的方法分析题意，建立模型．

难点

如何应用列表法、图象法分析问题，建立模型．

教学设计

一、例题讲解

教师出示例题：

如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

学生自主探索、合作交流．

设问1：

如何设未知数？

销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．

设问2：

如何确定题中的数量关系？

列表分析：

公路运费(元) 铁路运费(元) 价值(元)

由上表可列方程组

产品x吨

原料y吨

合计

（

20x＋10y）

＝15000，1.5×

1.2×（110x＋120y）＝97200.解这个方程组，得

x＝300，

y＝400.因为毛利润＝销售款－原料费－运输费，所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．

教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路：

合理设定未知数，找出相等关系．

二、巩固练习

1．某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，求x、y所满足的方程．

2.学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，请列方程组并求解．

3.有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则这个两位数是多少？

【答案】

1．y＝150＋2.5x. x＝20，x＋y＝35，2.解得

y＝15.8x＋6y＝250，

x＝6，x＋y＝14，3．设这个两位数为xy，则由题意可得解得则这个两位10y＋x＝10x＋y＋18，y＝8.数为68.

三、课堂小结

1．在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？

2．试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．

学生思考、讨论、整理．