阅读与思考 容器中的水能倒完吗教学设计及说课稿

人教版八上15.2阅读与思考

《容器中的水能倒完吗》教学设计

东莞市东城初级中学

柯少孟

一、内容和内容解析

1.内容

利用分式运算的知识研究某些无限变化的问题。

2.内容解析

这篇“阅读与思考”通过从一个容器里按一定量逐次把水倒出的实验问题，讨论如何用数学方法分析实验结果。教材这样设计，其目的之一在于渗透建模思想:即对于一些通过实验难以探寻答案的问题，可以排除操作因素，不计干扰变量，将实际问题抽象为数学模型加以解决；而此数学问题的解决则需要灵活利用分式运算的知识，可见教材的目的之二则是通过解决问题提升分式的运算水平以及应用能力。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：（1）将无限变化的倒水实验问题抽象成数学模型；（2）利用分式运算的知识进行某些复杂的计算。

二、目标和目标解析

1.目标

能利用分式运算的知识解决无限变化的倒水问题，掌握将实际问题抽象为数学问题的方法，体会问题解决的过程，感悟建模思想、转化思想。

2.目标解析

达成目标的标志是：（1）学生能用数学的观点理解问题中的“水倒完了”，即为“倒出的总水量=1”或“剩余水量=0”，能将问题转化为“倒出的总水量”或“剩余水量”的计算以及计算结果与“1”或“0”的比较大小；（2）能利用分式的减法法则证明等式；（3）能运用证明的结论将式子的项进行一分为二的变形；（4）经历观察联想、学以致用的学习过程。

三、教学问题诊断分析

倒水实验问题从本质上说是无限变化的极限问题，学生在此之前很少接触此类问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的问题，更是感到陌生，无从下手。

在解答数学问题的过程中，需要将算式中的项1进行一分为二的拆分转化，这不n(n1)仅要求学生对分式运算的熟练掌握，还需要具备一定程度的逆向思维和转化思想，因此不少学生会存在理解上和操作上的困难。

教学中，教师应先引导学生从数学的角度理解“水倒完了”的含义，找到解题的思路和方法。在探究算式的解法时，充分让学生经历认真观察、仔细思考、大胆猜想的学习过程，体验知识的运用和思想的渗透过程。

本节课的教学难点是：利用分式运算的知识对算式进行计算。

四、教学过程设计

引言

教材在本章节的“阅读与思考”栏目安排了一篇精彩的文章，给我们提出了一个有趣的倒水问题，本节课我们运用所学的分式运算的知识探究这个无限变化的倒水问题——容器中的水能倒完吗.

1.将实际问题抽象为数学问题

问题：一个容器中装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出1L水，第2次倒2出的水量是111111L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第2334451n1……按照这样倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？

n1n次倒出的水量是L的思考：这是一个无法操作的实验问题，你能将它抽象为数学问题吗？

设计意图：让学生理解，事实上，很难严格按照这样的规则倒水，即使能够做到，通过有限次实验也不能断定以后是否能将水全部倒出，这就是说，完全依靠实验来验证预测的结论是有困难的，依靠数学方法分析这个问题具有精确性和优越性。

探究1：

怎样从数学的角度理解“倒完了”？

师生活动：

教师引导学生理解“倒完了”的含义，学生交流，达成共识：即是“倒出的总水量等于1”或是“剩余的水量为0”。

探究2：倒出的总水量为多少？

师生活动:学生回答，列式表示每次倒出的水量，然后把每次的水量进行相加，得出总水量。教师启发学生，理解原问题可转化为：当n为何值时，①式的值为1？

第1次倒出的水：1；

2111，即；

2323111，即；

3434111，即；

4545第2次倒出的水：第3次倒出的水：第4次倒出的水：

……

第n次倒出的水：111，即。

nn1n(n1)经过n次倒水后，倒出的总水量为

111111 ①

2233445(n1)nn(n1)问题转化为：当n为何值时，①式的值为1？

设计意图：让学生充分体验问题的探究过程，由简单到复杂，使学生产生浓厚的兴趣，同时促进学生思维活动的展开，也培养学生乐于探索和发现的创造精神。同时顺利将实际问题抽象为数学问题，培养学生数学抽象的数学素养。

2.探索数学问题的解决方法

计算：111111

2233445(n1)nn(n1)师生活动：学生观察思考，教师适时点拨。以“1111=”为突破口，提出“2323n(n1)=11”的猜想，进而对猜想的结论给予证明。

nn1探究3：

（1）计算：

111= ，= ；

1212111= ，= ；

2323111= ，= ；

3434111= ，= ；

4545……

（2）猜想：1= ； ②

n(n1)（3）请证明你的猜想。

11n1n1==

nn1n(n1)n(n1)n(n1)（4）运用式子②，式子①可以改写为

11111111111）+（+（）+（）+（）++（） ③

2233445n1nnn1（5）化简式子③，可得11n=。

n1n1设计意图：让学生经历认真观察、仔细思考、大胆猜想的学习过程，体验知识的运用和思想的感悟过程。点拨学生掌握证明等式的方法，从等式的右端开始，进行分式的减法运算，顺利完成证明。

3．解决实际问题

师生活动：教师引导学生运用数学问题的结果解释倒水问题，得出结论。

通过计算，经过n次倒水后，倒出的总水量为n。

n1n也不断增加，n1可以发现，从数学上看，随着倒水次数n的不断增加，倒出的总水量然而，不论倒水次数n有多大，倒出的总水量n总小于1.因此，按这种方法，容器中的n11L水是倒不完的。

设计意图：让学生体会解决实际问题的过程，培养学生数学建模的核心素养。

4.巩固练习

1.计算：

11111

12233445201720182.观察下列等式：

第1个等式：a11111()；

242241111()；

462461111()；

682681111()；

8102810第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4……

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；

（3）求a1a2a3a4a2018的值。

设计意图：让学生熟练掌握算式的变形和运算，体会分式运算的知识在解题中的作用，巩固解决问题的基本方法。

5.拓展提升

（1）按思路2“剩余的水量=0”解决倒水问题

（2）永远截不完的木棒

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”出自于战国哲学家庄周《庄子·天下篇》

。

问题：

一根长为一尺的木棒，每天截去一半，第3天后还剩下多少？第n天后呢？

师生活动：学生独立完成，相互交流，寻找无限变化问题中的规律，丰富数学活动经验。

6.课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）分式的运算在研究问题中起什么作用？ 设计意图：引导学生从学习过程、知识内容、思想方法总结自己的收获，把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法。

7.布置作业

课本习题15.2第15、16题。

五、目标检测设计

（1）计算：22222

12233445n(n1)（2）计算：1111

13355720172019设计意图：考查学生解决问题的能力。