习题训练优质课教案设计

专题突破 线段最值问题

授课教师：如皋经济技术开发区实验初中

谢培培

教材：人教版数学八年级上册

【教学目标】

1.能根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；

2.能根据“垂线段最短”，通过构造几何图形求运动中的某一条线段的最值；

3.通过运用几何模型求最值的问题体会转化思想和数形结合思想. 【教学重点、难点】

重点：求线段之和最小，变化中的一条线段的最值. 难点：求变化中的一条线段的最值.

【教学方法与教学手段】

以活动单为载体，让学生独立思考、交流、合作、展示，教师适当激励、引导、点拨提升，借助于多媒体教学. 【教学过程】

教学流程

设计流程

设计思路及反思

最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类

本节课主要是复习线问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密回忆总结

切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方段最值问题，今天我们通引入新课

法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线过学生在已有知识基础上

段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个复习巩固知识点，并说出问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是自己的已有认知。让学生数学中一种常用的重要思想方法．

明白最短路径的本质！

教学流程

设计流程

设计思路及反思

基本模型：1.如图1，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找“两点之间线段最短”与轴对称结合. 利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．

一点P，使AP＋BP的值最小

2.

如图2，点A、B位于直线MN同侧，在直线MN上找一点P，使∠BPN=∠APM (尺规作图，保留作图痕迹）

3.如图3，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝ .

4.如图4，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是 ；

5.如图5，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），点P

为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为 .

6.如图6，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是 .

“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可

拓展应用

7.某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：

此题设计让学生将数学知识应用到实际问题中，如何应用直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点数形结合，构造平面直角坐标鉴P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直系应用函数思想解决问题！于最值问题难度较大，学生理线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l解慢，没能在当节课跟学生一综合提升

起去分析，实属遗憾！

的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的

直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

；

（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；

（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．

2.若32a1与313b互为相反数，求32a3b的值.

教学流程

设计流程

（与导入结合）

课堂小结

本节课复习的求最值的问题依据是什么？解决此类问题的关键是什么？

设计思路及反思

学生交流本节课的收获，并在交流中激发再次总结提升.让学生回忆，边总结边提升！一节课让学生掌握一点也属有进步！