有理数比较大小教学目标

1.能说出有理数大小的比较法则.

2.能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小,特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小,能利用数轴对多个有理数进行有序排列.

经历由实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小,特别是比较两个负数的大小的过程,渗透数形结合思想.

通过学生自己动手操作、观察、思考,使学生亲身体验探索的乐趣,培养学生合作交流能力和观察、归纳、用数学语言表达数学规律的能力.同时培养学生逻辑思维能力和推理论证能力.

【重点】

有理数大小比较的方法和步骤.

【难点】

有理数大小比较的方法的灵活选择与两个负数的大小比较.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习数轴、绝对值的内容.

导入一:

1.复习绝对值的几何意义和代数意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.

【课件】

2.某一天我国5个城市的最低气温分别是:

哈尔滨

- 20 ℃

北京

- 10 ℃

武汉5 ℃

上海0 ℃

广州10 ℃

(1)从上面的图片中你获得了哪些信息?

(2)完成以下填空:比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)和所对应的数的大小.(填“>”或“<”)

武汉

广州5

10

广州

上海10

0 上海

北京0

- 10

武汉

哈尔滨5

- 20 北京

哈尔滨

- 10

- 20 生:在第一组中,武汉气温为5 ℃,广州气温为10 ℃,武汉气温低于广州气温,因此5<10,同理可得10>0.在第三组中,上海气温为0 ℃,北京气温为零下10 ℃,上海气温高于北京气温,因此0> - 10,同理可得5> - 20, - 10> - 20.

3.画一画:

(1)把上述5个城市最低气温的数表示在数轴上;(如图所示)

(2)观察这5个数在数轴上的位置,从中你发现了什么?

(在学生回答不清楚时作以下的提示:观察这5个数在数轴上的位置,哪个在左哪个在右;思考数的大小与数在数轴上的位置有什么关系?)

(3)温度的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系?(在数轴上表示两个数,左边的数总比右边的数小)

[设计意图]

通过学生自己动手操作,观察、思考,发现原点左边的数都是负数,原点右边的数都是正数;同时也发现5在0右边,5比0大,10在5右边,10比5大,初步感受在数轴上原点右边的两个数,右边的数总比左边的数大.教师趁机追问:原点左边的数也有这样的规律吗?从而激发学生探索知识的欲望,进一步验证了原点左边的数也有这样的规律,从而使学生亲身体验探索的乐趣,在探究中不知不觉获得了知识.

导入二:

如图所示,菲菲和蓝猫从同一点O出发,菲菲向西走了4 km到达A点,蓝猫向西走了2 km到达B点,如果规定向东为正,则A点所对应的数为

- 4,B点所对应的数为

- 2,因为蓝猫比菲菲走的路程少,所以

- 2> - 4,你认为这种说法对吗?

导入三:

教室里,小刚和小亮两个好朋友就“

- 3 ℃”与“

- 8 ℃”到底哪个高而吵得不可开交.小刚认为

- 3 ℃比0 ℃低3 ℃,而

- 8 ℃比0 ℃低8 ℃,故

- 3 ℃高于

- 8 ℃;而小亮则认为一个和3有关,一个和8有关,而8大于3,故

- 8 ℃大于

- 3 ℃.请你为他俩解释一下到底谁正确.

[设计意图]

导入二与导入三以小动物和现实生活中的人物这样的实际情境引入教学过程,形象生动,富于生活气息,学生乐于接受,极大地激发了学生的学习兴趣,调动了学生的求知欲望.

一、形成结论

[过渡语]

通过刚才的探索我们不难发现并得出结论:在数轴上表示的两个数,右边的数

总比左边的数大,也就是左边的数比右边的数小.

思路一

问题

【课件】

想一想:如果在数轴上有a,b两点,如图所示(原点未标出),则a,b的大小关系是a

b.(a

[知识拓展]

比较两个正数或两个负数的大小,要看这两个数在数轴上的相对位置,哪个数在右边,那个数就大.

练一练:(1)在数轴上表示数5,0,

- 4,

- 1,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”连接.(师生共同完成)

分析:本题有几层含义?应分几步?

要点总结:小组讨论归纳,本题解题时的一般步骤:

①画数轴;

②描点;

③有序排列;

④不等号连接.

(2)在数轴上表示下列各对数,并比较它们的大小.

①2

7;

② - 6

- 1;

③ - 6

- 36;

④ -

- 1.5.

[过渡语]

通过上面的学习,我们知道了借助数轴比较两数大小是一种好方法,但每次都要画数轴总是比较麻烦的,请问有无更好的方法?下面请同学们讨论:对于正数、0和负数这三类数,它们之间有什么大小关系?前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗?

引导学生分步讨论:(1)正数

0;0

负数;正数

负数.(用“>”或“<”连接)

(2)与前面我们探究温度的大小得到的结论一致吗?

小结:正数大于0,0大于负数,正数大于负数.

教师紧接着提问:对于两个正数的大小在小学我们已经会比较了,实际对于两个正数来说,绝对值大的那个数就大;那对于两个负数的大小如果不用数轴又应该怎样进行比较呢?请同学们对照刚才我们所画的数轴思考:两个负数的大小和这两个负数的绝对值的大小有什么关系?(小组合作完成)

[方法归纳]

两个负数比较大小,绝对值大的反而小.

[知识拓展]

两个负数的大小比较要注意:绝对值大,说明离原点远,而负数在原点左边,数轴上的点表示的数是“左小右大”,所以绝对值大的反而小.(数轴比较法适合多个有理数大小比较,法则适合两个有理数大小比较)

想一想:我们有几种方法来比较有理数的大小?你认为它们各有什么特点?

由学生讨论后,得出比较有理数的大小共有两种方法,一种是法则,另一种是利用数轴,用数轴比较有理数的大小比较直观,一目了然,但比较麻烦,而利用法则进行比较有理数的大小比较方便.

思路二

师:布置自主学习内容:“教材12~13页”,同时布置学习目标:

1.数轴上的数的排列规律是什么?

2.正数和0,0和负数,正数和负数之间的大小关系如何?

3.如果是正数,可以怎样用数学式子表示?负数呢?非负数呢?

4.两个正数之间如何比较大小,两个负数之间如何比较大小?

学生自主学习,并讨论解决以上问题.

过程中教师应当重点关注学生能否正确找到两个负数的比较方法.

师生共同归纳出:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.继而进一步归纳得出结论:

1.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.

2.两个负数,绝对值大的反而小.

3.正数可以表示为a>0,a是非负数可以表示为a≥0,反之亦然.

[设计意图]

通过逐步设疑,让学生一步步地认识到利用数轴比较有理数大小的方法.在数轴法的基础上,通过探究正数与0,负数与0,正数与负数,正数与正数,负数与负数的大小关系,让学生经历知识的形成过程,最后归纳概括,达到对知识的进一步理解,从中体验学习中成功的快乐.

二、例题讲解

我们已经知道了两个负数比较大小的方法,那么在实际问题中怎样进行书写呢?两个负数比较大小时的一般步骤:

例如,比较两个负数

- 和

- 的大小.(教师边讲解边板书)

①先分别求出它们的绝对值:,.

②比较绝对值的大小:因为,所以.

③比较负数大小: - < - .

练习:

【课件】

用符号“<”或“>”填空.

(1)因为| - 10|

| - 100|,所以

- 10

- 100.

(2)因为

,所以

-

- .

试一试:比较两个负数

- 和

- 的大小.

注意:教师在这一环节要巡视指导,纠正学生在做题过程中出现的步骤上的错误.

教师说明:在比较两个有理数大小的过程中,我们应该先确定两个有理数的符号,然后再根据法则进行比较.

比较下列各对数的大小:

(1) - ( - 1)和

- (+2);

(2) - 和

- ;

(3) - ( - 0.3)和.

解:(1)先化简, - ( - 1)=1, - (+2)= - 2.因为正数大于负数,所以1> - 2,即

- ( - 1)> - (+2).

(2)这是两个负数比较大小,先求它们的绝对值.因为,,且,所以

- > - .

(3)因为

- ( - 0.3)=0.3,,且0.3<,所以

- ( - 0.3)<.

[方法归纳]

异号两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值.

[设计意图]

通过例题的引导,培养学生的逻辑推理能力;同时让学生明确对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行;对于异分母分数比较大小时要先通分化为同分母分数,然后再进行比较.

1.数轴比较法:在数轴上右边的数比左边的数大.

2.法则比较法:

(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数.

(2)两个负数,绝对值大的反而小.

3.比较两个负数的大小的步骤:

(1)先分别求出两个负数的绝对值.

(2)比较两个绝对值的大小.

(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.

1.在四个数

- 0.5,,, - ( - 2)中,最大的数是

(

)

A. - 0.5 B.

C.

D. - ( - 2)

解析:正数比负数大,所以最大的数是其中的正数,选D.

2.下列式子正确的是

(

)

, - (

- 2)=2,<2.故A. - >0 B. - ( - 4)= - | - 4| C. - > -

D. - 3.14> - π

解析: - <0,故A错误; - ( - 4)=4≠

- | - 4|,故B错误;因为,所以

- < - ,故C错误;因为| - 3.14|<| - π|,所以

- 3.14> - π,故D正确.故选D.

3.比较大小.

(1) - 2

+6;

(2)0

- 1.8;

(3) -

- .

答案:(1)<

(2)>

(3)< 4.把下列各数画在数轴上,并按从小到大的顺序用“<”把它们连接起来.

- 4,0, - | - 7|, - ( - 1), - ( - 7).

解析:把各数在数轴上表示出来,根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数即可把它们按从小到大的顺序用“<”连接起来.

解:因为

- | - 7|= - 7, - ( - 1)=1, - ( - 7)=7.

所以在数轴上画出各数如下:

所以

- | - 7|< - 4<0< - ( - 1)< - ( - 7).

第2课时

一、形成结论

右大左小

比较方法:

(1)数轴比较法:

(2)比较法则:

比较两个负数大小的步骤:

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第13页练习.

【选做题】

教材第14页习题1.2第6,7题.