有理数比较大小教学设计思路

1.2.1 有理数

一、教学目标

(一) 学习目标

1.理解并掌握有理数的概念，能识别生活中的有理数；

2.会对有理数按一定标准进行分类；

3.初步了解“集合”的含义. （二）学习重点

有理数的概念及识别

（三）学习难点

会对有理数按一定标准进行分类

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）所有的正整数组合在一起叫正整数集合，所有的负整数组合在一起叫负整数集合. （2）正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数. （3）整数和分数统称有理数. 2.预习自测

（1）下列说法正确的是（ ）

A．整数就是正整数和负整数

B．分数包括正分数和负分数

C．正有理数和负有理数组成全体有理数

D．一个数不是正数就是负数

【知识点】有理数

【解题过程】解:整数除了正整数、负整数还包括0，故A错误；B正确；有理数按正负分除了正有理数、负有理数，还有0，故C错误；一个数除了是正数、负数还可以是0，故D错

误. 【思路点拨】整数包括正整数、0、负整数，故可判断A；分数包括正分数和负分数，故可判断B；有理数按正负分可分为正有理数、0、负有理数，故可判断C；一个数可以是正数、负1

数还可以是0，故可判断D. 【答案】B （2）在0，5，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是（ ）

A．0 B．5 C．－2 D．－3.5 【知识点】有理数

【解题过程】解：在0，5，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是－2. 【思路点拨】根据负整数即为负有理数中的整数即可判断求解. 【答案】C （3）分别写出一个符合下列条件的有理数：是负数但不是整数 ；是整数但不是负数 ；是分数但不是正数 ；

【知识点】有理数

【解题过程】是负数但不是整数是负分数，如：如：1；是分数但不是正数指负分数，如：2. 31；是整数但不是负数是指非负整数，2【思路点拨】是负数但不是整数的是负分数；是整数但不是负数的是自然数；是分数但不是正数的是负分数. 【答案】12；1；. 23（4）指出下列各数中的正数、负数、整数、分数；

31 －15，+6，－2，－0.9，1，，0，3，0.63，－4.95 54【知识点】有理数

31【解题过程】解：正数：+6，1，，3，0.63；

负数：－15，－2，－0.9，－4.95；

5413整数：

－15，+6，－2，1，0 ；

分数：－0.9，3，0.63，－4.95，

45【思路点拨】根据有理数的分类即可求解. 31【答案】正数：+6，1，，3，0.63；

负数：－15，－2，－0.9，－4.95；

5413整数：

－15，+6，－2，1，0 ；

分数：－0.9，3，0.63，－4.95，

45（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）正数：大于0的数；

2

（2）负数：在正数前添加“－”号的数；

（3）0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界. 2．问题探究

探究一

有理数的概念★

●活动

师问：通过前面的学习，我们知道数的范围已经扩大了，请你举出三个不同类型的数？

学生积极举手回答；

师将学生的回答有意识的归类；

师生共同归纳总结：

正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；

整数和分数统称有理数. 有理数还可按正负分类：

正整数正有理数正分数

有理数零负整数负有理数负分数注：（1）正整数和0可称非负整数，也称自然数，负整数和0可称非正整数；正数和0叫非负数，负数和0叫非正数. （2）奇数、偶数的概念也扩展到了负数，例如：－1、－3等是奇数，－2、－4等是偶数. （3）π是正数，但不是有理数，也不是分数. 【设计意图】通过师生互动、小组合作等形式，共同总结提炼出相关的知识，让学生对有理数的认识更加充分，为后面的练习打下良好的基础.

探究二 会对有理数进行分类★

●活动

例1．下列说法正确的是

（ ）

A．有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B．一个有理数不是正数就是负数

C．一个有理数不是整数就是分数 D．0是整数，不是自然数

【知识点】有理数

【解题过程】根据有理数的分类可知，分两类为整数和分数，分三类为正有理数、0、负有理数，故A、B均错误，0是整数，也是自然数，还是有理数，故D错误，所以应选C 3

【思路点拨】根据有理数的分类即可求解. 【答案】C 练习：下列说法正确的是（

）

A．非负数包括零和整数

C．零是最小的整数 【知识点】有理数

【解题过程】解：非负数包括零和正数，A错误；

正整数指大于0的整数，B错误；

没有最小的整数，C错误；

整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确．

【思路点拨】根据有理数的分类，利用排除法即可求解. 【答案】D 【设计意图】通过练习，让学生对有理数的分类中易混淆的地方能有更加清晰的认识.同时加深对有理数的理解，锻炼学生的分析归纳能力.

探究三

初步了解“集合”的含义★▲

●活动

例2 将下列各数填入相应的集合中：

24－26，0，1，0.34，3500，

，－51，，15%．

35B．正整数包括自然数和零

D．整数和分数统称为有理数

正数集合{ } 负数集合{ } 整数集合{ } 分数集合{ } 自然数集合{ } 负分数集合{ } 有理数集合{ } 【知识点】有理数

【数学思想】分类思想

【解题过程】

42，15%} 负数集合{ －26，1

，－51} 3524整数集合{ －26，0，3500，－51 } 分数集合{ 1 ，0.34，

，15%} 352自然数集合{ 0， 3500} 负分数集合{ 1} 3

解：正数集合{ 0.34，3500，

，4

24有理数集合{－26，0，1，0.34，3500，－51，，15%} 35【思路点拨】根据有理数的分类即可求解. 【答案】

42，15%} 负数集合{ －26，1

，－51} 3524整数集合{－26，0，3500，－51} 分数集合{ 1 ，0.34，

，15%} 352自然数集合{ 0， 3500} 负分数集合{ 1} 324有理数集合{ －26，0，1，0.34，3500，－51，，15%} 35正数集合{ 0.34，3500，

，

练习：将下列各数填入相应的集合中：

－11，4，8.6，32，，+12，6.4，，0， 10%，

57整数集合{ } 分数集合{ } 自然数集合{ } 负分数集合{ } 正有理数集合{ } 非正数集合{ } 【知识点】有理数

【解题过程】

解：整数集合{ －11，4， +12，0} 分数集合{ 8.6，非负整数集合{ 4，+12 ，0} 负分数集合{ 正有理数集合{ 4，8.6，非正数集合{ －11，2，+12， 10%} 732，，6.4， 10%} 573，6.4 } 53，6.4，，0} 5【思路点拨】根据有理数的分类即可求解. 【答案】

整数集合{ －11，4， +12，0 } 分数集合{ 8.6，非负整数集合{ 4，+12 ，0 } 负分数集合{ 正有理数集合{ 4，8.6，非正数集合{ －11，2，+12， 10%} 732，，6.4， 10% } 573，6.4 } 53，6.4，，0} 55

【设计意图】通过练习，让学生对有理数的分类有非常充分且清晰的认识，并能熟练的对有理数进行分类. 3.课堂总结

知识梳理

（1）正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数，整数和分数统称有理数，即所有整数都是有理数，所有的分数也都是有理数. （2）有理数分类的方法有两种：一是按整数和分数分类，二是按正负分类；

（3）奇数、偶数的概念也扩展到了负数，例如：－1、－3等是奇数，－2、－4等是偶数. 重难点归纳

（1）非负数与非负整数、非正数与非正整数的区别；

（2）π是正数，但不是有理数，也不是分数.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1．下列各数中，不是有理数的是（ ）

A．2 B． C．3.14 D．0 3【知识点】有理数的分类

【解题过程】解：由题意知：不是有理数的是

【思路点拨】因为整数和分数统称有理数，而不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

【答案】B

2．下列说法错误的是( ) A.所有的分数都是有理数 B．有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 C．负整数与负分数统称负有理数 D．一个有理数不是整数就是分数

【知识点】有理数的分类

【解题过程】解：因为分数和整数统称有理数，所以所有的分数都是有理数，所有的整数也是有理数，故A、D正确；由分类可知负有理数包括负整数和负分数，故C正确，所以应选择B. 【思路点拨】由有理数的分类即可判断. 【答案】B 6

3．在0，1，－2，－3.5这四个数中，是正整数的是（ ）

A．0 B．1 C．－2 D．－3.5 【知识点】有理数的分类

【解题过程】解：A.是整数但不是正整数; B.是正整数; C.是负整数; D.是负分数;故选B 【思路点拨】根据正整数既是正数又是整数即判断. 【答案】B

1224．给出下列各数： 0，4，3.1159，－100，，其中有理数和非负数的个数分别是（ ）

87A．5和5

B．6和5 C．5和3 D．4和4 【知识点】有理数

122【解题过程】解：由题意知，有理数有： 0，4，3.1159，－100，共5个，非负数有：

87220，3.1159，，共3个.故选C 7【思路点拨】有理数指整数和分数，非负数指正数和0，由此即可求解. 【答案】C

5．关于0的说法正确的是（ ）

①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．

A．① ④ B．② ③ C．① ② D．① ③

【知识点】有理数

【解题过程】解：

①是整数，也是有理数，正确；②不是正数，也不是负数，正确；③不是整数，是有理数，错误；④是整数，不是自然数，错误，0是最小的自然数.故选C

【思路点拨】由0是整数，也是自然数，还是有理数，即可判断求解. 【答案】C

7

816.把下列各数填入相应的集合里：－14，，0，3.6，+37，，8120，4，

92－3.14．

（1）负数集合{ } （2）整数集合{ } （3）分数集合{ } （4）非负数集合{ } 【知识点】有理数的分类

【解题过程】解：由题意得：

1（1）负数集合{－14，

4

，－3.14 } 2 （2）整数集合{ －14，0，+37，8120 } 81 （3）分数集合{ ，3.6，－3.14，

4} 928 （4）非负数集合{ ，0，3.6，+37，，8120 } 9

【思路点拨】根据有理数的分类即可求出答案. 1【答案】（1）负数集合{－14，

4

，－3.14 } 2 （2）整数集合{ －14,0,+37,8120 } 81 （3）分数集合{ ，3.6，-3.14，

4} 928 （4）非负数集合{ ，0，3.6，+37，，8120 } 9

能力型 师生共研

1．给出下列说法：①0是整数；②－3.2是负分数；③5.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【知识点】有理数

【解题过程】解:正确的有：①②⑤，故选C 【思路点拨】根据0是整数，也是自然数，还是有理数，可判断①；根据分数即有限小数和无限循环小数的统称，可判断②③；根据自然数包括0和正整数，可判断④；根据负分数和负整数统称负有理数可判断⑤. 8

【答案】C

2.图中两个圈表示正数集合和分数集合，在每个圈里填入4个数，其中2个既在正数集合内，又在分数集合内．

…

正数集合

…

…

分数集合

【知识点】有理数

【解题过程】解：由题意得

2，3 …

正数集合

－2.1，

－3.2

…

11.1，

2…

分数集合

【思路点拨】根据有理数的分类即可求出答案. 【答案】

探究型 多维突破

1.按一定规律排列的一列数依次为：数与第16个数的积是

．

【知识点】有理数

121【解题过程】解：第10个数为，第16个数为，故两个数之积为. 82510024414444【思路点拨】把、化成、，所以规律为，，，，…，分子不变，分母的75281481114121规律为3n2，所以第10个为，第16个为，所以乘积为. 8251009 2，3 …

11.1，

2…

－2.1，

－3.2

…

正数集合

分数集合

4142，，，，…，按此规律，这列数中的第10个52117

【答案】

1

1002.观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，…，将这列数排成下列形式：

－1

2

－3

4

－5

6

－7

8

－9

10

－11

12

－13

14

－15

16

…

按照上述规律排下去，那么第10行从左边起第4个数是` ；第12行中间一个数比第10行从左边起第4个数大多少？

【知识点】有理数

【解题过程】解：根据规律，第10行从左边起第4个数是－85，第12行共有23个数，最中间一个数为－133，(133)(85)48. 【思路点拨】根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；故第9行最后一个数为－81，第10行从左起第四个数为－85，第12行最中间一个数为－133，由此可求解. 【答案】－85；－48

自助餐

1．下列说法中，错误的有（ ）

分数是无限小数；0是偶数；自然数就是正整数；④一个有理数，不是正有理数，就是负有理数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【知识点】有理数

【解题过程】解：分数是无限小数，错误；0是偶数，正确；自然数就是正整数，错误；④一个有理数，不是正有理数，就是负有理数，错误.故应选C 【思路点拨】分数是无限循环小数和有限小数的统称，故可判断；能被2整除的数是偶数，故可判断；自然数包括0和正整数，故可判断；有理数按正负分可分为正有理数、0、负有理数，故可判断④；

【答案】C

10

2.下列各数：0，+4，，－1.5，其中是分数的有（ ）

3A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【知识点】有理数

【解题过程】解：由题意知，分数有：+4，－1.5，故选C 3【思路点拨】根据分数指有限小数和无限循环小数，也可以是有理数中，除整数以外的数是分数，由此可求解. 【答案】C

3．在测量电冰箱内的温度时，发现温度计的刻度在零下2℃和零下3℃的正中间，则此时冰箱的温度是 ℃．

【知识点】有理数

【解题过程】解:在测量电冰箱内的温度时，发现温度计的刻度在零下2℃和零下3℃的正中间，则此时冰箱的温度是－2.5℃. 【思路点拨】根据有理数的大小即可求解. 【答案】－2.5

4.有理数中，是负数而不是分数的是 . 【知识点】有理数

【解题过程】解:有理数中，是负数而不是分数的是负整数. 【思路点拨】根据负有理数包括负分数和负整数即可求解. 【答案】负整数

5.把下列各数填在相应的大括号里.

2212，－5%，，－0.3，0，－1.7，21，，1，1.01001 723（1）正整数集合{ } （2）整数集合{ } （3）分数集合{ } （4）非负整数集合{ } （5）负有理数集合{ } （6）正数集合{ } 【知识点】有理数

11

【解题过程】解:（1）正整数集合{ 21 } （2）整数集合{ 0，21 } （3）分数集合{ 2212

，

－5%，，－0.3，－1.7，1，1.01001} 7232} 3

（4）非负整数集合{ 0，21 } （5）负有理数集合{ －5%，－0.3，－1.7，1（6）正数集合{

【思路点拨】根据有理数的分类即可求解. 【答案】正整数集合{ 21 } （2）整数集合{ 0，21 } （3）分数集合{ 2212 , －5%，，－0.3，－1.7，1，1.01001} 723221，，21，，1.01001} 72（4）非负整数集合{ 0，21 } 2（5）负有理数集合{ －5%，－0.3，－1.7，1} 3221（6）正数集合{ ，，21，，1.01001 } 72

6.按规律填空：

（1）－1，－2，3，－4，－5，6， ， ，…

（2）1，1234，，，， ， ，…

2345【知识点】有理数的规律探究

【解题过程】解:（1）－1，－2，3，－4，－5，6，－7，－8，…

（2）1，123456，，，，，，…

234567【思路点拨】（1）根据能被3整除的数为正，其余为负即可求解；（2）可发现规律为分母为n，分子为n1，奇数个时为正，偶数个时为负即可求解. 【答案】（1）－7，－8 （2）

12 56，

67