整式的乘除设计意图

14.1.4 整式的乘法（1）

教学目标

1．知识与技能

理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．

2．过程与方法

经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．

重点难点

1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．

2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．

教学方法

采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．

教学过程

一、创设情境，操作导入

【手工比赛】

让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．

【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．

【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．

【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？

【学生回答】加一个美丽的像框．

【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？

【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？

【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．

22 实际上mx·x=m（x·x）=m·x=mx．

【拓展延伸】请同学们继续计算mx·5x=？

4 【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．

mx·555252x=m·x·x=m·x=mx．

4444 【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．

232 【继续探究】计算：（1）x·mx；

（2）2ab·3ab；

（3）（abc）·bc．

【学生活动】独立完成，再与同学交流．

【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运

算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．

二、范例学习，应用所学

【例1】计算．

23232 （1）3xy·（－2xy） （2）（－5ab）·（－4bc）

【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．

3 【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×10米/秒，•则卫星运行23×10秒所走的路程约是多少？

【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．

【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．

三、问题讨论，加深理解

【问题牵引】

1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？

2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？

【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．

【学生活动】分四人小组，合作学习．

四、随堂练习，巩固深化

课本P99练习第1、2题．

五、课堂总结，发展潜能

本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．

提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？

六、布置作业，专题突破

1．课本P104习题15．1第3题．

2．选用课时作业设计．

板书设计

14.1.4整式的乘法（1）

1、单项式乘以单项式的乘法法则 例：

练习：

14.1.4整式的乘法（2）

教学目标

1．知识与技能

让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．

2．过程与方法

经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力．

3．情感、态度与价值观

培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．

重点难点

1．重点：单项式与多项式相乘的法则．

2．难点：整式乘法法则的推导与应用．应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．

教学方法

采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．

教学过程

一、回顾交流，课堂演练

1．口述单项式乘以单项式法则．

2．口述乘法分配律．

3．课堂演练，计算：

122 （1）（－5x）·（3x） （2）（－3x）·（－x） （3）xy·xy

332 （4）－5m·（－211461252mn） （5）－xy－2xy·（－xy）

352 【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．

【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．

二、创设情境，引入新课

小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了请同学们列出这幅画的画面面积是多少？

【学生活动】小组合作，讨论．

1a米的空白，6

【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．

【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n•（单位：元／台）销售A牌空

调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．

【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．

方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），•再计算出总的收入（单位：元）．

即：n（x+y+z）．

方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．

即：nx+ny+nz． 由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．

【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．

三、范例学习，应用所学

223 【例1】计算：（－2a）·（3ab－5ab）．

2223 解：原式＝（－2a）（3ab）－（－2a）·（5ab）

3233 =－6ab+10ab

【例2】化简：－3x·（32221222xy－y）－10x·（xy－xy）

3322 解：原式=－xy+3xy－10xy+10xy

322 =－11xy+13xy

【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）

22 40x－8x=19－8x+6x 40x－6x=19 34x=19 x=19

34 四、随堂练习，巩固深化

课本P100练习．

【探研时空】

2232 计算：（1）5x（2x－3x+8） （2）－16x（x－3y）

（3）－2a（222312412ab+b） （4）（xy－16xy）·xy

322 【教师活动】巡视，关注中差生．

五、课堂总结，发展潜能

1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．

六、布置作业，专题突破

课本P105习题14．1第4、6题．

板书设计

14.1.4整式的乘法（2）

1、单项式乘以多项式的乘法法则 例：

练习：

14.1.4 整式的乘法（3）

教学目标

1．知识与技能

让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．

2．过程与方法

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．

3．情感、态度与价值观

通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．

重点难点

1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．

2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．

教学方法

采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．

教学过程

一、创设情境，操作感知

【动手操作】

首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1•所示的四部分，标上字母．

【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．

【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．

【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．

【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．

【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．

【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，•然后再求这四块长方形的面积．

【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，•它们的和为S=mn+nb+am+ab．

【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？

【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．

（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．

【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．

字母呈现：

=ma+mb+na+nb．

二、范例学习，应用所学

【例1】计算：

（1）（x+2）（x－3） （2）（3x－1）（2x+1）

【例2】计算：

（1）（x－3y）（x+7y） （2）（2x+5y）（3x－2y）

【例3】先化简，再求值：

2222 （a－3b）+（3a+b）－（a+5b）+（a－5b），其中a=－8，b=－6．

【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．

【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．

三、随堂练习，巩固新知

课本P102练习第1、2题．

【探究时空】

一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？

四、课堂总结，发展潜能

1．多项式与多项式相乘，•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．

2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．

五、布置作业，专题突破

课本P105习题14．1第5、6、7（2）、9、10题．

板书设计

14.1.4整式的乘法（3）

1、多项式乘以多项式的乘法法则 例：

练习：

14.1.4 整式的乘法（4）

教学目标

1．知识与技能

会进行单项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力．

2．过程与方法

经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程，掌握整式除法运算．

3．情感、态度与价值观

培养学生探索的勇气和信念，增强挑战困难的勇气和信心．

重点难点

1．重点：单项式除以单项式的运算法则．

2．难点：理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算．运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中．

教学方法

采用“引导──发现”法进行教学．

教学过程

一、创设情境，导入新知

【激趣引入】

问题提出：林宁今年刚刚3岁，是幼儿园里最聪明的孩子，•李老师教他做算术，告诉他5×6=30后，他马就知道30÷5=6，你说他是怎样计算的呢？

【学生活动】回答上述问题：林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果．

【教师活动】提出话题：我们前几天学习了整式的乘法，现在，不用老师讲解，你们能开始解决整式的除法运算吗？谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则？

【学生活动】思考回答：把它们的系数先相除，然后再把相同字母的幂相除，其他的字母连同它的指数不变，作为商的因式．

【教师活动】引入课题，引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目．

【课堂演练】计算：

53222（1）（xy）÷x；

（2）（16mn）÷（2mn）； 422（3）（xyz）÷（3xy）

【学生活动】开始计算，然后总结归纳，上台演示，引入课题．

【归纳法则】

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

二、范例学习，应用所学

【例】计算：

7332644 （1）63xy÷7xy；

（2）－25abc÷10ab．

三、随堂练习，巩固深化

课本P104练习第1、2题．

【探研时空】

mn2m－3n 已知10=5，10=4，求10的值．

四、课堂总结，发展潜能

单项式除以单项式运算时，要注意：

1．系数相除与同底数的幂相除的区别：后者运算时是将指数相减，•然而前者是有理数的除法．

2．对于单项式除以单项式，仅仅考虑整除的情况．

五、布置作业，专题突破

课本P105习题15．3第6题（1）、（2）、（3）、（4）．

板书设计

14.1.4 整式的乘法（4）

1、单项式除以单项式的除法法则 例：

练习：

14.1.4 整式的乘法（5）

教学目标

1．知识与技能

要求学生能够进行多项式除以单项式的运算，并且理解除法运算的算理，发展思维能力和表达能力．

2．过程与方法

利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则，掌握整式除法的运算．

3．情感、态度与价值观

通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式．

重点难点

1．重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用．

2．难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用．从逆运算入手，•利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则．

教学方法

采用“激趣──导学”的教学法．

教学过程

一、小组合作，激趣导学

【课堂演练】

222 1．（－4ab）÷（2ab）

2．－16（xy）÷（－3431452xy）；

2 3．（2xy）·（－221532324xyz）÷（－2xyz）；

52 4．18xy÷（－3xy）－4xy÷（－2xy）． 【教师提问】

“（6xy+8y）÷（2y）”如何计算？

【学生活动】相互讨论，大多数学生没有找到计算思路．

【教师活动】铺垫一道题目：计算（ad+bd）÷d，

计算：

323 （1）（xy+4xy）÷x （2）（xy－2xy）÷（xy）

【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则：多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除，再利用单项式与单项式相除的法则进行计算．

【师生共识】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．

二、范例学习，应用所学

【例】计算：

42 （1）（18x－4x－2x）÷2x 4332222 （2）（36xy－14xy－7xy）÷（－7xy）

2 （3）[（m－n）－n（2m+n）－8m]÷2m 三、随堂练习，巩固深化

课本P104练习第3题．

【探研时空】下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？

2322 （1）－4ab÷2ab=2b （2）（14a－2a+a）÷a=14a－2a．

四、课堂总结，发展潜能

多项式除以单项式时应注意运算中的问题：一是所除的商要写成省略括号的代数和，二是除式与被除式不能交换，还要注意运算顺序，应灵活地运用有关运算公式．

五、布置作业，专题突破

课本P105第6题（5）、（6）．

板书设计

14.1.4 整式的乘法（5）

1、多项式除以单项式的除法法则 例：

练习：