用等式的性质解方程教学实录与评析

3.1.2 《等式的性质》第二课时

用等式的性质解方程

一、教学目标

（一）学习目标

知识与技能：掌握等式的两条性质，会用等式的性质解简单的一元一次方程；

过程与方法：通过观察、分析、概括等方法，感受

“类比”、“化归”的思想；

情感、态度与价值观：培养数学运算、数学建模的核心素养；体会数学与生活的紧密联系，树立学好数学的信心。

（二）学习重点

理解等式的性质，能运用这两条性质解一元一次方程．

（三）学习难点

由具体实例抽象出等式的性质．

（四）教学目标分析

等式的性质在解方程过程中是依据和关键，但是后面还要学移项、合并等方法，所以两条性质只为了解层面，重要的是要学会应用等式性质，渗透“化归”的思想解一元一次方程，把方程化归为X=a的形式。了解和掌握等式的两条性质是掌握一元一次方程的解法的关键。借助天平直观图示归纳得出等式的性质，应用等式的性质解简单的一元一次方程。

（五）问题诊断分析

同学们在应用等式的性质把简单的方程化归为x=a形式的过程可能会遇到困难，特别在减法或（除法上有困难）是加（减）含字母的式子；符号遇到负号变换有难点。

解决方法：组织学生认真观察分析、概括，让学生在已有的合并同类项，有理数的加减乘除认知的基础上，从具体例子出发，将新知识转化为已学过的知识。

二、教学设计

教学过程设计

1

(一)

预习任务

1.等式的性质：

（1）等式的性质1：等式两边同时加（或减）

同一个数（或式子

），结果仍相等，用式子表示为如果，那么．

（2）等式的性质2：等式两边乘以同一个数，或除以同一个 不为0 的数，结果仍相等，用式子表示为如果2.预习自测

（1）下列等式变形错误的是（ ）

A.由C.由得得

B.由得得

，那么

或．

D.由【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：A.根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.可知A选项正确；

B.根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.可知B选项正确. C.根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.可知C选项正确. D.根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.可知D选项不正确. 故选择D.

2

【思路点拨】等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 【答案】D. (二)课堂设计

1.展示目标：

找学生读本节课的学习目标。

2.复习导入：

（1）用等号来表示相等关系的式子叫等式．•我们可以用3.自主探究

探究一

●活动①

回顾旧知，

师问：什么是等式？

学生举手抢答. 师问：填空：① 2+1；②a+b；③

+2

=3

；④

+

=

+

；⑤3

+1=5

； ⑥3×3+1=5×2上述这组式子中，

是等式，

不是等式. 学生举手抢答. 师问：你能说出方程

+2=5、的解吗？

仅表示一般的等式．

总结：对

+2=5通过观察可以直接看出简单一元一次方程的解，但是复杂如仅靠观察求解是困难的，因此，我们要讨论怎么解方程. 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. ●活动② 探究等式的基本性质.▲

师问1：观察课本图3.1-1，由它你能发现什么规律？能用你的语言叙述这个规律吗？

生答：如果平衡的天平两边同时都加（或减）同样的量，天平还保持平衡. 师问2：等式就像平衡的天平，你能用式子表示这个规律吗？

生答：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等. 师问3：你能用一些具体的数字等式来验证这条性质吗？

3

生答：学生举手抢答. 师问4：你能用式子表达这个规律吗？

生答：如果，那么

然后，及时安排一些小的习题巩固所学。

问题5：观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？能用你的语言叙述这个规律吗？

生答：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 问题6：你能用式子表示这个规律吗？

生答：如果，那么；如果（），那么.

师追问：性质2中为什么相乘时没有限制，而在相除时生答：学生讨论交流并举手回答. 然后，及时安排一些小的习题巩固所学。

.

总结：

等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．

如果，那么．

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．

如果，那么；如果（），那么．

归纳：用等式的性质时,应注意：

1．两边必须同时进行计算；

2．加（或减），乘（或除以）的数必须是同一个数或式；

3．两边不能除以0. 【设计意图】利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质，鼓励学生独立自主解决问题，引导学生由观察得到的感性认识，到归纳分析，能够用文字、式子准确的叙述等式的两条性质. 4.合作交流

用等式性质的解方程

4

例1：利用等式的性质解下列方程

（1）x+7=26 （2）-5x=20 （3）x-5=4 分析：解方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7。

解：（1）两边同减7得

x+7-7=26-7 于是x=19 （2）、（3）同理可得

在讲完（3）后，引导学生进行检验：

把x =-27代入左边=×（−27）−5=9−5=4=右边，所以x=-27是原方程的解。

【设计意图】通过应用等式的性质解决问题，推进同学对性质本质的理解。

接下来，进一步剖析（3）

明确 两边加5 是利用了等式的性质1，两边同乘以-3，是利用了等式的性质2.加强对等式的性质理解。

最后归纳：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，方程的左右两边相等，所以是方程的解．

5.随堂练习

填空：

（1）如果x－5=6，那么x ＝

，依据

；

（2）如果2x=x＋3，那么x ＝ ，依据

；

（3）如果5x=－20，那么x＝

，依据

．

（4）如果－ｘ＝８，那么ｘ＝

，依据

；

【设计意图】利用等式的性质对式子进行恒等变形，培养学生观察条件、结论，分析问题解决问题的能力，让学生较为熟练地运用等式的性质进行恒等变形. 利用等式的性质解下列方程：

(1) x+6 = 17 ; (2) -3x = 15 ; (3) 2x-1 = -3（4）

5

【设计意图】利用等式的性质对简单的一元一次方程进行恒等变形，让学生感知解方程，就是把方程变形，变为6.课堂总结

本节课你学会了什么?有什么收获？

知识梳理

（1）等式的性质：

性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子), 结果仍相等. 性质2: 等式两边乘同一个数, 或除以同一个不为0的数, 结果仍相等. 注意：①等式两边都要参加运算，且是同一种运算. ②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．

③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母．

重难点归纳

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：•同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．

（2）等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．

（3）利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．

（是常数）的形式．体会数学化归的思想. （三）课后作业

基础型 自主突破

1.下列说法不正确的是（

）

A.等式两边都减去同一个数或式子，结果仍相等；

B.等式两边都乘以同一个数，结果仍是等式；

C.等式两边都除以同一个数，结果仍是等式；

D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，结果仍相等. 【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：A.等式两边都减去同一个数或式子，结果仍相等，所以A选项的说法正确；

B.等式两边都乘以同一个数，结果仍是等式，所以B选项的说法正确；

C.等式两边乘或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以C选项的说法不正确；

D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，结果仍相等，所以D选项的说法正确．

6

由于该题选择不正确的，故选C．

【思路点拨】根据等式的性质可对A、B、C进行判断；根据等量加等量和相等可对D进行判断．

【答案】C．

2.把方程变形为，其依据是（

）

A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分式的基本性质

D.不等式的性质1 【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：把方程变形为，其依据是等式的性质2，故选：B．

【思路点拨】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．

【答案】B．

3.在下列方程的变形中，错误的是（

）

A.由得 B.由得

C.由得 D.由得

【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：A.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；B.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；

C.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断错误；D.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；故选：C．

【思路点拨】根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断. 【答案】C．

4.下列判断错误的是（

）

A.若C.若，则，则

； B.若； D.若，则，则；

. 【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：A.利用等式的基本性质2，两边都乘以c；利用等式性质1，两边都减去3，

7

所以A成立；B. 由于>0，利用等式性质2，两边都除以，所以B成立；C.利用等式的基本性质2，两边都乘以x，所以C成立；D.当 =0时，等式不成立，所以不成立，故选D．

【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案

【答案】D．

5.利用等式的性质解方程：

（1）； （2）. 【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：（1）两边同加上6，得（2）两边同除以0.5，得．

. 【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案

【答案】(1) ； (2) .

6.利用等式的基本性质解方程：【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：方程两边都减去2，得；整理，得. 方程两边都减去x，得：；整理，得：. 方程两边同时乘以，得：，即. 【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案

【答案】．

能力型 师生共研

1.若等式A.可以变形为，则有（

）

D.为任意有理数

B. C.【知识点】等式的性质.

8

【解题过程】解：根据等式的两边都乘或都除以同一个不为0的整式，结果不变，可知故选C. 【思路点拨】根据等式的两边都乘或都除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案

【答案】C.

. 2.如图和图分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对，，三种物体的质量判断正确的是（

）.

A. B.

C. D.b. 【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：由图可知，，即，可知，

由图可知，，即，可知，∴．故选B．

【思路点拨】根据等式的基本性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．分别列出等式，再进行变形，即可解决．

【答案】B.

探究型 多维突破

1.在公式，已知，，，那么 =（

）

A.﹣1 B.11 C.5 【知识点】等式的基本性质．

【解题过程】解：根据题意，得：∴

D.25 ，∴，∴，故选C．

【思路点拨】把

，，（3b）4，利用等式的基本性，代入公式可得160.59

质即可解得的值．

【答案】C．

2.下列结论中正确的是（

）

A.在等式B.如果C.在等式D.在等式，那么的两边都除以3，可得等式；

；

. ；

的两边都除以0.1，可得等式的两边都减去，可得等式【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：A.根据等式性质2，在等式；B.根据等式的对称性可得都除以0.1，可得等式可得等式的两边都除以3，可得等式；C.根据等式的性质2，在等式的两边都减去的两边，；D.根据等式性质1，在等式；综上所述，故选B．

【思路点拨】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．

【答案】B．

自助餐

1.下面的说法中，正确的是（

）

A.若，则

；

B.若，则；

C.若，则； D.若，则. 【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：A.根据等式性质2，需条件据等式性质2可知该式子成立；C.若，则时，该式不成立；B.隐含条件是；该式不成立；D.若，根，则．该式不成立；故选B．

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【思路点拨】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．

【答案】B．

2.运用等式性质的变形，正确的是（

）

A.如果，那么； B.如果，那么；

C.如果，那么

； D.如果，那么. 【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：A.利用等式性质1，两边都加，得到用等式性质2，两边都乘以，得到D.因为，，所以，所以A不成立；B.利，所以B成立；C.不成立，因为必需不为0；

；故选B．

【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．

【答案】B．

3.已知A.，

B.，则与的关系是 . C. D.

【知识点】等式的基本性质. 【解题过程】解：∵【思路点拨】利用【答案】A 4.利用等式性质解方程：

（1）

， ；（2），

. ，，，∴．故．

，直接将两式左右相加得出即可．

【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：（1）方程两边同时乘以-2，得：；整理，得：. （2）方程两边同时减去5，得：得：

；整理，得：；方程两边同时乘以-3，. 11

【思路点拨】利用等式的性质进行求解即可. 【答案】(1)；(2). 5.利用等式性质解方程：

（1）； （2）. 【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：（1）方程两边同时减去方程两边同时减去1，得：. (2)方程两边同时加上，得：

，得：

；方程两边同时除以-1，得：；整理，得：方程两边同时减去2，得：；整理，得：；方程两边同时除以，得：. 【思路点拨】利用等式的性质变形即可. 【答案】（1）；（2）. 6.利用等式性质解方程：【知识点】等式的性质. 【解题过程】解：方程两边同时加上

，得：

方程两边同时加上2，得：；整理，得：；方程两边同时除以2，得：. 【思路点拨】根据等式的性质求解即可. 【答案】.

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