多边形的外角和课时教案

多边形的外角和

刘生旺

教学目标

经历探索多边形的外角和公式的过程，感悟从特殊到一般的思想方法，能运用多边形的外角和公式解决相关的计算问题。

教学重点

多边形外角和公式的探索和应用。

教学难点

灵活运用多边形的外角和公式与内角和公式解决简单的实际问题，感悟守恒量的作用。

教学过程

一、温故出新，提出猜想

1．小李从正三角形ABC的一个顶点A面向顶点B开始出发，沿正三角形ABC的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在整个过程中共转过多少度的角？

2．小李从长方形ABCD的一个顶点A面向顶点B开始出发，沿长方形ABCD的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在整个过程中共转过多少度的角？

3．小李从正六边形ABCDEF的一个顶点A面向顶点B开始出发，沿正六边形ABCDEF的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在整个过程中共转过多少度的角？

你是怎样做出判断的？说出来。首先明确小明从一条边转到下一条边时，身体转过的角是哪个角。

由多边形的内角和公式易知，正三角形、长方形、正六边形的每一个内角分别是60°、90°、120°．沿正三角形、长方形、正六边形的各边走过各顶点，然后转向，每次转向时分别转过120°、90°、60°，在整个过程中分别共转过角度120°×3、90°×4、60°×6，即都共转过360°的角。

由于小李在行程后刚好转回出发时的方向，所转过的各个角的和也就等于一个周角，所以共转过360°的角。

由此你发现了什么？由此你会有怎样的猜想？

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。

我们发现正三角形、长方形、正六边形的外角和都是360°．而所有的三角形内角和都相等，所有的四边形内角和都相等，所有的六边形的内角和都相等，由此提出猜想：所有的三角形外角和都相等，所有的四边形外角和都相等，所有的六边形的外角和都相等。以至提出猜想：多边形外角和都等于360°．

二、探究新知，解决问题

从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在整个过程中所转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周后刚好转回出发时的方向，所转过的各个角的和也就等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．

播放GIF图像，在多边形缩小而边的延长线增长的过程中感受多边形外角和等于

360°．

三、知识深化

利用多边形的外角和公式，能否推导出多边形的内角和公式？

n边形有n个顶点，每个顶点处的一个外角与相邻的内角组成一个平角，即二者之和为180°．n边形的n个内角与各自的一个相邻外角总和为n﹒180°，减去外角和360°，就得到内角和（n－2）﹒180°．

多边形的外角和是个不随多边形边数n变化的守恒量，多边形的外角和恒等于360°，抓住这一守恒量，也就容易得知多边形的内角和公式，即多边形的内角和随多边形顶点数n变化的规律。也就是说，抓不变可以应万变。

四、巩固练习

例1：

一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为（n－2）﹒180°．外角和为360°，则根据题意，得

（n－2）﹒180°＝3×360°，

解得n＝8．

所以这个多边形是八边形。

例2：一个多边形的各个内角都等于108°，它是几边形？

解法一：设这个多边形是n边形，则它有n个内角，它的内角和为n﹒108°，又由内角和公式知它的内角和为（n－2）﹒180°，得

n﹒108°＝（n－2）﹒180°，

解得n＝5．

所以这个多边形是五边形。

解法二：一个多边形的各个内角都等于108°，则它的各个外角的大小为

180°－108°＝72°．

多边形的外角和为360°，所以多边形边数n为

360°÷72°＝5．

所以这个多边形是五边形。

五、作业