整式的乘除教学目标

华章文化

第十四章

整式的乘法与因式分解

14.1 整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

word版习题

基础题

知识点1 直接运用法则计算

mnm＋n知识提要：a·a＝a(m，n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 1.下列各项中，两个幂是同底数幂的是(D) 2253 A.x与a B.(－a)与a

2223 C.(x－y)与(x＋y) D.x与x

2352.(黔西南中考)计算：a·a＝a. 3.计算：

9(1)a·a；

1＋910解：原式＝a＝a.

3n2n－2(2)x·x；

3n＋2n－25n－2解：原式＝x＝x.

1213(3)(－)×(－)；

2212＋3151解：原式＝(－)＝(－)＝－5. 222

32(4)(x－y)·(x－y). 3＋25解：原式＝(x－y)＝(x－y).

知识点2 灵活运用法则计算

m＋nmn知识提要：a＝a·a(m，n都是正整数). mnm＋n4.已知a＝2，a＝5，求a的值. m＋nmn解：a＝a·a＝2×5＝10.

中档题

5.下列计算错误的是(A) 23 A.(－a)·(－a)＝a

224 B.(－a)·(－a)＝a

325 C.(－a)·(－a)＝－a

336 D.(－a)·(－a)＝a

2m＋36.式子a不能写成(C) 2m3mm＋3 A.a·a B.a·a

2mm＋1m＋2 C.a＋3 D.a·a

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38x

word版习题

7.若8×2×32×(－2)＝2，则x＝19. 8.计算：

243(1)－x·(－x)·(－x)；

243解：原式＝－x·x·(－x) 243＝x·x·x

9＝x.

34(2)(m－n)·(n－m)·(n－m)；

34解：原式＝－(n－m)·(n－m)·(n－m)

1＋3＋4＝－(n－m)

8＝－(n－m).

3921038(3)3x·x＋x·x－2x·x·x. 121212解：原式＝3x＋x－2x

12＝2x.

综合题

ab5a＋44－b7ab9.已知(a＋b)·(b＋a)＝(a＋b)，且(a－b)·(a－b)＝(a－b)，求ab的值. ab5解：∵(a＋b)·(b＋a)＝(a＋b)，

a＋44－b7(a－b)·(a－b)＝(a－b)，

a＋b＝5，a＝2，∴解得

a＋4＋4－b＝7.b＝3.∴ab＝2×3＝108.

14.1.2 幂的乘方

基础题

知识点1 直接运用幂的乘方计算

mnmn知识提要：(a)＝a(m，n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 321.(钦州中考)计算(a)的结果是(B) 965 A.a B.a C.a D.a 42.在下列各式的括号内，应填入b的是(C) 128126 A.b＝(

) B.b＝(

)

123122 C.b＝(

) D.b＝(

)

3.计算：

28(1)(10)；

2×816解：原式＝10＝10.

35(2)(－a)；

3×51515解：原式＝(－a)＝(－a)＝－a.

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ab23

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m2(3)(x)；

m×22m解：原式＝x＝x.

2m(4)－(x). 2×m2m解：原式＝－x＝－x.

知识点2 幂的乘方法则的拓展

mnn知识提要：a＝(a)m(m，n都是正整数) mn3m2n3m＋2n4.已知：10＝3，10＝2，求10，10和10的值. 3mm33解：10＝(10)＝3＝27；

2nn2210＝(10)＝2＝4；

3m＋2n3m2n10＝10×10＝27×4＝108.

中档题

n2125.如果(9)＝3，那么n的值是(B) A.4 B.3 C.2 D.1 43n6.如果128×8＝2，那么n＝37. 7.计算：

3462(1)5(a)－13(a)；

121212解：原式＝5a－13a＝－8a.

4574482(2)x·x·(－x)＋5(x)－(x)；

16161616解：原式＝－x＋5x－x＝3x.

3692(3)[(x＋y)]＋[(x＋y)]. 181818解：原式＝(x＋y)＋(x＋y)＝2(x＋y).

综合题

16128.在比较2和3的大小时，我们可以这样来处理：

1644412344∵2＝(2)＝16，3＝(3)＝27，

441612又∵16＜27，∴16＜27，即2＜3. 你能类似地比较下列各组数的大小吗？

10075(1)2与3；

555444333(2)3，4与5. 100425257532525解：(1)∵2＝(2)＝16，3＝(3)＝27，

又∵16＜27，

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∴16＜27，即2＜3. 5555111111(2)∵3＝(3)＝243，

444411111133331111114＝(4)＝256，5＝(5)＝125，

又∵125＜243＜256，

111111111∴125＜243＜256，

333555444即5＜3＜4. 252510075

word版习题

14.1.3 积的乘方

基础题

知识点1 直接运用法则计算

nnn知识提要：(ab)＝ab(n为正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 21.(东莞中考)计算：(－4x)＝(D) 2222 A.－8x B.8x C.－16x D.16x

2.(保山期末)计算(－2)2 01712 017·()等于(C) 2 A.－2 B.2 C.－1 D.1 3.计算：

3(1)(2ab)；

333解：原式＝2·a·b

33＝8ab.

4(2)(－3x)；

44解：原式＝(－3)·x

4＝81x.

mn2(3)(xy)；

m2n2解：原式＝(x)·(y)

2m2n＝xy.

24(4)(－3×10). 424解：原式＝(－3)×(10)

8＝81×10

9＝8.1×10.

知识点2 灵活运用法则计算

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知识提要：ab＝(ab)(n为正整数). 122 0182 0174.已知|a－3|＋(b＋)＝0，则ab的值为－3. 3nnn

word版习题

中档题

mn39125.如果(ab)＝ab，那么m，n的值分别为(B) A.9，4 B.3，4 C.4，3 D.9，6 x＋1x＋12x－16.若2·3＝6，则x的值为2. 7.计算：

2332(1)[(－3ab)]；

323332解：原式＝[(－3)×(a)×(b)]

692＝(－27ab)

1218＝729ab.

26243(2)(－2xy)＋(－3xy)；

612612解：原式＝64xy－27xy

612＝37xy.

12 0161 008(3)(－)×16. 412 0162 016解：原式＝(－)×4

412 016＝(－×4)

4＝1.

3n3n32n38.已知n是正整数，且x＝2，求(3x)＋(－2x)的值. 3n32n3解：(3x)＋(－2x)

33n333n2＝3×(x)＋(－2)×(x)

＝27×8＋(－8)×4 ＝184.

专题训练(十) 幂的运算

1.同底数幂的乘法计算：

23(1)a·a；

5解：原式＝a.

113(2)(－)·(－)；

221解：原式＝. 16www.sjhzhb.com

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3n＋12n－1(3)x·x；

5n解：原式＝x. 35(4)(x－y)·(x－y). 8解：原式＝(x－y).

2.幂的乘方计算：

34(1)(a)；

12解：原式＝a.

3223(2)(－a)·(－a). 6612解：原式＝a·(－a)＝－a.

3.积的乘方计算：

4(1)(xy)；

44解：原式＝xy.

123(2)(－xy). 2163解：原式＝－xy. 8

word版习题

m＋nmnmnmnmmm4.由幂的运算逆向思维可以得到a＝a•a，a＝(a)，ab＝(ab)，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果.请解决以下问题：

(1)计算：52 01912 017×()；

5m11(2)若3×9×27＝3，求m的值；

55443322(3)比较大小：a＝2，b＝3，c＝5，d＝6，请确定a、b、c、d的大小关系.(提示：如果a＞b＞0，n为正整数，nn那么a＞b) 解：(1)原式＝52 017m12 0172×()×5

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12 0172＝(5×)×5

5＝1×25 ＝25. 2m3m(2)原式＝3×(3)×(3)

2m3m＝3×3×3

1＋5m＝3

11＝3，

∴1＋5m＝11.解得m＝2. 5551111(3)a＝2＝(2)＝32，

4441111b＝3＝(3)＝81，

3331111c＝5＝(5)＝125，

2221111d＝6＝(6)＝36，

∵32<36<81<125，

11111111∴32<36<81<125. ∴a

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14.1.4 整式的乘法

第1课时

单项式与单项式相乘

基础题

知识点1 直接运用法则计算

知识提要：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 231.计算－3a·a的结果为(A) 5665 A.－3a

B.3a

C.－3a

D.3a

2.下列计算正确的是(D) 23 A.6x·3xy＝9xy 223 B.(2ab)·(－3ab)＝－ab

2233 C.(mn)·(－mn)＝－mn

232 D.(－3xy)·(－3xy)＝9xy

3.计算：

23(1)2xy·(－4xyz)；

23解：原式＝[2×(－4)](x·x)·(y·y)·z 34＝－8xyz.

232(2)5a·(3a). 26解：原式＝5a·9a

8＝45a.

知识点2 运用法则解决问题

4.如图为小李家住房的结构图，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算(单位：m)，他至少应买木地板(A) www.sjhzhb.com

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A.12xy m B.10xy m C.8xy m D.6xy m

325.某市环保局欲将一个长为2×10 dm，宽为4×10 dm，高为8×10 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体储水池净化，求长方体废水池的容积. 3273解：长方体废水池的容积为(2×10)×(4×10)×(8×10)＝6.4×10(dm). 中档题

6.计算：

23222(1)(－3xy)·(－xyz)·xz；

3423242解：原式＝9xy·(－xyz)·xz

349633＝－xyz. 2

11223(2)(－4ab)·(－ab)－(ab). 82124124解：原式＝ab－ab

24124＝ab. 4

12233227.先化简，再求值：2xy·(－2xy)＋(2xy)·(－xy)，其中x＝4，y＝. 4解：原式＝－2xy·8xy＋8xy·xy

5757＝－16xy＋8xy

57＝－8xy. 11当x＝4，y＝时，原式＝－. 42

综合题

b2cb－11178.已知(－2axy)(3xy)＝12xy，求a＋b＋c的值. b2cb－1117解：∵(－2axy)(3xy)＝12xy，

2b－12c＋1117∴－6axy＝12xy. ∴－6a＝12，2b－1＝11，2c＋1＝7. ∴a＝－2，b＝6，c＝3. ∴a＋b＋c＝－2＋6＋3＝7.

第2课时

单项式与多项式相乘

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23633242222

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基础题

知识点1 直接运用法则计算

知识提要：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 21.计算2x(3x＋1)，正确的结果是(C) 33 A.5x＋2x B.6x＋1 32 C.6x＋2x D.6x＋2x 2.计算：

2(1)(2xy－3xy)·2xy；

2解：原式＝2xy·2xy－3xy·2xy 2322＝4xy－6xy.

2(2)－x(2x＋3x－2)；

2解：原式＝－x·2x＋(－x)·3x＋(－x)×(－2) 23＝－2x－3x＋2x.

2(3)－2ab(ab－3ab－1)；

2解：原式＝－2ab·ab＋(－2ab)·(－3ab)＋(－2ab)×(－1) 2223＝－2ab＋6ab＋2ab.

3n＋1b(4)(a－)·ab. 423n＋1b解：原式＝a·ab－·ab 423n＋212＝ab－ab. 42

知识点2 运用法则解决问题

3.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为(C) 322 A.3x－4x B.6x－8x 323 C.6x－8x D.6x－8x

中档题

2344.要使(x＋ax＋5)·(－6x)的展开式中不含x项，则a应等于(D) 1 A.1 B.－1 C. D.0 65.计算：

22(1)x(3－x)＋x(x－2x)；

2332解：原式＝3x－x＋x－2x

2＝x. 1224(2)(－ab)(ab－2ab＋b＋1). 2331221141解：原式＝(－ab)·ab＋(－ab)·(－2ab)＋(－ab)·b＋(－ab)×1 232232www.sjhzhb.com

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12322122＝－ab＋ab－ab－ab. 332

26.解方程：5(x＋x－3)－4x(6＋x)＋x(－x＋4)＝0. 222解：5x＋5x－15－24x－4x－x＋4x＝0，

－15x＝15，

x＝－1.

综合题

word版习题

12227.某同学在计算一个多项式乘－3x时，算成了加上－3x，得到的答案是x－x＋1，那么正确的计算结果是多少？

2解：设这个多项式为A，则

122A＋(－3x)＝x－x＋1，

212∴A＝4x－x＋1. 2∴A·(－3x) 122＝(4x－x＋1)·(－3x) 23342＝－12x＋x－3x. 2

第3课时

多项式与多项式相乘

基础题

知识点1 直接运用法则计算

知识提要：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 1.填空：

2(1)(a＋4)(a＋3)＝a·a＋a×3＋4×a＋4×3＝a＋7a＋12；

22(2)(2x－5y)(3x－y)＝2x·3x＋2x·(－y)＋(－5y)·3x＋(－5y)·(－y)＝6x－17xy＋5y. 22.计算：(x＋5)(x－7)＝x－2x－35；

2(2x－1)(5x＋2)＝10x－x－2. 3.计算：

(1)(m＋1)(2m－1)；

2解：原式＝2m－m＋2m－1 2＝2m＋m－1.

(2)(2a－3b)(3a＋2b)；

22解：原式＝6a＋4ab－9ab－6b

22＝6a－5ab－6b.

2(3)(y＋1). 解：原式＝(y＋1)(y＋1) 2＝y＋y＋y＋1 2＝y＋2y＋1. www.sjhzhb.com

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4.先化简，再求值：(x－5)(x＋2)－(x＋1)(x－2)，其中x＝－4. 22解：原式＝x＋2x－5x－10－x＋2x－x＋2 ＝－2x－8. 当x＝－4时，原式＝－2×(－4)－8 ＝0.

知识点2 多项式乘多项式的应用

5.若一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x－1和x，则它的体积是(B)

A.6x－5x＋4x B.6x－11x＋4x 3232 C.6x－4x D.6x－4x＋x＋4 6.为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长为a厘米，宽为33a厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是(44a＋7a＋16)平方厘米. 7.我校操场原来的长是2x米，宽比长少10米，现在把操场的长与宽都增加了5米，则整个操场面积增加了(20x－25)平方米. 2知识点3 (x＋p)(x＋q)＝x＋(p＋q)x＋pq 8.计算：

(1)(x＋1)(x＋4)；

2解：原式＝x＋5x＋4.

(2)(m－2)(m＋3)；

2解：原式＝m＋m－6.

(3)(y＋4)(y＋5)；

2解：原式＝y＋9y＋20.

(4)(t－3)(t＋4). 2解：原式＝t＋t－12.

中档题

29.(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x＋mx＋n，则m＋n＝(C) A.1 B.－2 C.－1 D.2 10.计算：

(1)(m－2n)(－m－n)；

22解：原式＝－m－mn＋2mn＋2n

22＝－m＋mn＋2n.

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23232

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33232(2)(x－2)(x＋3)－(x)＋x·x；

6363解：原式＝x＋x－6－x＋x

3＝2x－6.

2222(3)(－7x－8y)·(－x＋3y)；

422224解：原式＝7x－21xy＋8xy－24y

4224＝7x－13xy－24y.

(4)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y). 2222解：原式＝3xy－9x－2y＋6xy－6x－2xy＋3xy＋y

22＝－15x＋10xy－y.

word版习题

12112211.已知|2a＋3b－7|＋(a－9b＋7)＝0，试求(a－ab＋b)(a＋b)的值. 4222a＋3b＝7，a＝2，解：由题意，得解得

a－9b＝－7.b＝1.133∴原式＝a＋b

8133＝×2＋1

8＝2.

223212.若多项式(x＋mx＋n)(x－3x＋4)展开后不含x和x项，求m和n的值. 432322解：原式＝x－3x＋4x＋mx－3mx＋4mx＋nx－3nx＋4n 432＝x＋(m－3)x＋(4－3m＋n)x＋(4m－3n)x＋4n. 32∵多项式展开后不含x和x项，

∴m－3＝0，4－3m＋n＝0. ∴m＝3，n＝5.

13.一个正方形的一边增加3 cm，相邻的一边减少3 cm，得到的长方形的面积与这个正方形每一边减少1 cm所得的正方形的面积相等，求这个长方形的面积. 解：设正方形的边长为x cm.依题意，得

(x＋3)(x－3)＝(x－1)(x－1). 解得x＝5. 2∴长方形的面积为(5＋3)×(5－3)＝16(cm).

综合题

14.由课本第100页的问题3可知，一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示. www.sjhzhb.com

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word版习题

如：(2a＋b)(a＋b)＝2a＋3ab＋b，就可以用如图1的图形的面积表示.

(1)请直接写出图形2表示的代数恒等式：(a＋2b)(2a＋b)＝2a＋5ab＋2b；

22(2)试画出一个几何图形，使它的面积表示为(a＋b)(a＋3b)＝a＋4ab＋3b. 解：如图所示. 22

第4课时

整式的除法

基础题

知识点1 同底数幂的除法

mnm－n知识提要：a÷a＝a(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 626－24如：a÷a＝a＝a. 1.计算：

62(1)(－a)÷(－a)；

44解：原式＝(－a)＝a.

52(2)(x－y)÷(y－x). 523解：原式＝(x－y)÷(x－y)＝(x－y).

知识点2 零指数幂

0知识提要：规定a＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 02.若(a－2)＝1，则a的取值范围是(D) A.a>2 B.a＝2 C.a<2 D.a≠2 1210223.设a＝－0.3，b＝－3，c＝(－)，d＝(－)，则a，b，c，d的大小关系是(B) 33 A.a

知识点3 单项式除以单项式

知识提要：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指www.sjhzhb.com

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数作为商的一个因式. 6.计算：

23(1)2xy÷(－3xy)；

22解：原式＝－xy. 3

232(2)10xy÷2xy；

2解：原式＝5y.

2245(3)3xy÷(－xy). 3933解：原式＝－xy. 2

word版习题

知识点4 多项式除以单项式

知识提要：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 7.计算：

2534235(1)(xy－2xy＋3xy)÷(－xy)；

3222534235解：原式＝xy÷(－xy)－2xy÷(－xy)＋3xy÷(－xy) 3333429243＝－xy＋3xy－xy. 22

342333(2)(6xyz－4xyz＋2xy)÷2xy. 34323333解：原式＝6xyz÷2xy－4xyz÷2xy＋2xy÷2xy

2＝3xyz－2xz＋1.

中档题

8.下列说法正确的是(D) 0 A.(π－3.14)没有意义

B.任何数的0次幂都等于1 693 C.(8×10)÷(2×10)＝4×10

0 D.若(x＋4)＝1，则x≠－4 9.下列算式中，不正确的是(C) 54 A.(－12ab)÷(－3ab)＝4a

B.9xymn－11m－2n－322÷xy＝27xy

3123112 C.ab÷ab＝ab

242 D.x(x－y)÷(y－x)＝－x(x－y) 210.长方形的面积为4a－6ab＋2a，若它的一条边长为2a，则它的周长是8a－6b＋2. mn2m－n11.(保山期末)已知x＝6，x＝3，则x的值为12. x12.已知(x－5)＝1，则整数x的值可能为0，6，4. www.sjhzhb.com

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13.计算：

85(1)(－a)÷(－a)；

3解：原式＝－a.

76(2)(x－y)÷(y－x)；

解：原式＝x－y.

437(3)(－m)÷(－m)；

5解：原式＝m.

753(4)x÷(x÷x). 5解：原式＝x.

14.计算：

22412(1)(－ab)÷(－ab)÷(－10ab)；

544解：原式＝－b. 25

3453(2)－32abc÷(－2ab)·(－ac)；

4解：原式＝－3abc.

2325222(3)(n－7mn＋n)÷n；

333213解：原式＝n－m＋n. 2222

word版习题

46243523(4)(12xy－8xy－16xy)÷4xy. 232解：原式＝3xy－2y－4xy.

3315.先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4xy－8xy)÷2xy，其中x＝1，y＝－3. 222222解：原式＝x－y－2x＋4y＝－x＋3y. 当x＝1，y＝－3时，

22原式＝－1＋3×(－3)＝－1＋27＝26.

综合题

16.如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯www.sjhzhb.com

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子吗？(单位：cm)【导学号：81014011】

word版习题

1211122解：[π(a)h＋π(×2a)H]÷[π(×a)×8] 2222122＝(πah＋πaH)÷41＝h＋2H. 21答：需要(h＋2H)个这样的杯子. 2

周周练(14.1) (时间：45分钟

满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共18分) 01.在0，2，(－3)，－5这四个数中，最大的数是(B) A.0 B.2 0 C.(－3) D.－5 2.下列计算，正确的是(C) 3412336 A.x·x＝x B.(x)＝x

22 C.(3x)＝9x D.2x÷x＝x 3.下列运算正确的是(D) 55753 A.a·a＝a B.a÷a＝a

3332 C.(2a)＝6a D.10ab÷(－5ab)＝－2b

4.下列运算正确的是(A) 23326233212 A.(x)＋(x)＝2x B.(x)·(x)＝2x

426325 C.x·(2x)＝2x D.(2x)·(－x)＝－8x

xyx－2y5.若3＝4，9＝7，则3的值为(A) 47 A. B.

742 C.－3 D.

76.如图，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为(D)

12πa

2

A.(2a＋5a)cm B.(3a＋15)cm

22 C.(6a＋9)cm D.(6a＋15)cm

二、填空题(每小题4分，共16分) 322537.计算：－3xy·2xy＝－6xy. 28.一个正方形的边长若增加3 cm，则它的面积就增加39 cm，这个正方形原来的边长是5cm. www.sjhzhb.com

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222

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9.已知x＝3，x＝5，则x54mn2m＋3n

＝1__125，x2m－nword版习题

9＝. 510.如果(x－1)÷(1－x)＝3x＋5，那么x的值为－3. 三、解答题(共66分) 11.(24分)计算：

32242(1)(a)·a－(2a)；

628解：原式＝a·a－4a

88＝a－4a

8＝－3a.

(2)22 01712 018×()；

212 0171解：原式＝(2×)×

221＝1×

21＝. 2(3)[(a)·(－a)]÷(－a)；

664解：原式＝(a·a)÷a

124＝a÷a

8＝a.

(4)(2x＋3)(3x－2)－(2x－3)(x－2)；

22解：原式＝6x＋9x－4x－6－(2x－3x－4x＋6) 22＝6x＋5x－6－2x＋7x－6 2＝4x＋12x－12.

(5)(x－2y＋3)(x＋2y＋1)；

22解：原式＝x＋2xy＋x－2xy－4y－2y＋3x＋6y＋3 22＝x－4y＋4x＋4y＋3.

27391213(6)(－0.125)×(－1)×(－8)×(－). 35112573913解：原式＝(－)×(－)×(－8)×(－)

835112573913＝[(－)×(－8)]×[(－)×(－)] 83532＝(－8)×(－)

59＝－8×

2572＝－. 25www.sjhzhb.com

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233222

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32212.(10分)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab－8ab)÷4ab，其中a＝2，b＝1. 222解：原式＝a－b＋b－2ab 2＝a－2ab. 2当a＝2，b＝1时，原式＝2－2×2×1 ＝0.

1313.(10分)一种被污染的液体每升含有2.4×10个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，10发现1滴杀菌剂可以杀死4×10个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？(注：15滴＝1毫升) 解：依题意，得

1310(2.4×10)÷(4×10)＝600(滴). 600÷15＝40(毫升). 答：需要这种杀菌剂40毫升.

14.(10分)如果2x－y＋|y＋2|＝0，求[(x＋y)＋2y(x－y)－(x－y)(x＋3y)]÷4y的值. 22解：由2x－y＋|y＋2|＝0，得

2x－y＝0，x＝－1，解得

y＋2＝0.y＝－2.原式＝[x＋y＋2xy－2y－(x＋3xy－xy－3y)]÷4y 22222＝(x＋y＋2xy－2y－x－3xy＋xy＋3y)÷4y 2＝2y÷4y ＝0.5y. 当y＝－2时，原式＝0.5×(－2) ＝－1.

15.(12分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图：

22222

(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义. 22这个长方形的代数意义是a＋3ab＋2b＝(a＋b)(a＋2b)；

22(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a＋3b)·(2a＋b)＝2a＋7ab＋3b，那么需用2号卡片3张，3号卡片7张. www.sjhzhb.com

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解：如图.

或

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

基础题

知识点1 用面积法证明平方差公式

1.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是(a＋b)·(a－b)＝22a－b.

图1

图2 2.如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.

图1

图2

(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式. 22解：(1)S1＝a－b，

1S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b). 2(2)(a＋b)(a－b)＝a－b.

知识点2 直接利用平方差公式计算

22知识提要：(a＋b)(a－b)＝a－b.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做平方差公式. 3.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是(B) 11 A.(x＋1)(1＋x) B.(a＋b)(b－a) 22 C.(－a＋b)(a－b) D.(x－y)(x＋y) 4.计算：

(1)(x＋3)(x－3)；

2解：原式＝x－9.

(2)(a＋2b)(a－2b)；

2222解：原式＝a－(2b)＝a－4b.

11(3)(a－1)(a＋1)；

442222www.sjhzhb.com

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12解：原式＝a－1. 16

(4)(2m＋3n)(2m－3n). 22解：原式＝(2m)－(3n)

22＝4m－9n.

word版习题

15.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝. 2解：原式＝1－9x＋9x＋2x－1＝2x. 11当x＝时，原式＝2×＝1. 22

知识点3 利用平方差公式解决问题

6.计算：

(1)1 007×993；

解：原式＝(1 000＋7)×(1 000－7) 22＝1 000－7

＝999 951.

2(2)2 016×2 018－2 017. 2解：原式＝(2 017－1)×(2 017＋1)－2 017

22＝2 017－1－2 017

＝－1.

中档题

7.对于任意正整数n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是(D) A.2 B.3 C.4 D.5 11128.计算(x＋)(x＋)(x－)的结果为(B) 4221144 A.x＋ B.x－

161612112144 C.x－x＋ D.x－x＋

2168169.已知(a＋b－3)＋(a－b＋5)＝0，则a－b＝－15. 10.计算：

1212(1)(－x＋2)(－x－2)；

221222解：原式＝(－x)－2

2222222www.sjhzhb.com

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14＝x－4. 4

(2)(－x－y)(x－y)；

22解：原式＝(－y)－x

22＝y－x.

1(3)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；

21222解：原式＝a－(2b)－ab＋4b

212＝a－ab. 2

word版习题

2(4)213－214×212. 2解：原式＝213－(213＋1)×(213－1) 22＝213－(213－1) ＝1.

2311.(贵阳中考)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(1－x)＋x，其中x＝2. 22332解：原式＝x－1＋x－x＋x＝2x－1. 2当x＝2时，原式＝2×2－1＝7.

212.解方程：(3x)－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2). 222解：9x－(6x－4x＋3x－2)＝3(x－4)，

2229x－6x＋4x－3x＋2＝3x－12，

x＝－14.

综合题

22323413.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x，(1－x)(1＋x＋x)＝1－x，(1－x)(1＋x＋x＋x)＝1－x. 2nn＋1(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x＋…＋x)＝1－x；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算：

2345①(1－2)(1＋2＋2＋2＋2＋2)＝－63；

23nn＋1②2＋2＋2＋…＋2＝2－2(n为正整数)；

9998972100③(x－1)(x＋x＋x＋…＋x＋x＋1)＝x－1；

(3)通过以上规律请你进行下面的探索：

22①(a－b)(a＋b)＝a－b；

2233②(a－b)(a＋ab＋b)＝a－b；

322344③(a－b)(a＋ab＋ab＋b)＝a－b. 2n－1提示：(2)②原式＝2(1＋2＋2＋…＋2) 2n－1＝－2(1－2)(1＋2＋2＋…＋2) www.sjhzhb.com

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＝－2(1－2) n＝－2＋2·2

n＋1＝2－2. 2979899③原式＝－(1－x)(1＋x＋x＋…＋x＋x＋x) 100＝－(1－x) 100＝x－1. n

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14.2.2 完全平方公式

第1课时

完全平方公式

基础题

知识点1 完全平方公式的几何意义

1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为(D)

A.(a＋b)＝a＋2ab＋b

222 B.(a－b)＝a－2ab＋b

22 C.a－b＝(a＋b)(a－b) 22 D.(a＋b)＝(a－b)＋4ab 2.下列四个图形中，图1是长方形，图2、3、4是正方形.把图1、2、3三个图形拼在一起(不重合)，其面积为S，222则S＝a＋b＋2ab；图4的面积P＝(a＋b)；则P＝S. 222

图1

图2 图3

图4

知识点2 运用完全平方公式计算

222知识提要：(a±b)＝a±2ab＋b.即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍. 2222如：(2a＋1)＝(2a)＋2×2a×1＋(1)＝4a＋4a＋1. 223.下列计算结果为2ab－a－b的是(D) 22 A.(a－b) B.(－a－b)

22 C.－(a＋b) D.－(a－b)

224.若关于x的多项式x－8x＋m是(x－4)的展开式，则m的值为(B) A.4 B.16 C.±4 D.±16 5.填空：

222(1)(a＋b)＝a＋2ab＋b；

222(2)(a－b)＝a－2ab＋b；

22(3)(5＋3p)＝25＋30p＋9p；

222(4)(2x－7y)＝4x－28xy＋49y. 226.化简代数式(x＋1)－2x，所得的结果是x＋1. 7.直接运用公式计算：

2(1)(3＋5p)；

2解：原式＝9＋30p＋25p. www.sjhzhb.com

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2(2)(7x－2)；

2解：原式＝49x－28x＋4.

2(3)(－2a－5)；

2解：原式＝4a＋20a＋25.

2(4)(－2x＋3y). 22解：原式＝4x－12xy＋9y.

8.运用完全平方公式计算：

2(1)201；

2解：原式＝(200＋1)

22＝200＋2×200×1＋1

＝40 000＋400＋1 ＝40 401.

2(2)99.8. 2解：原式＝(100－0.2)

22＝100－2×100×0.2＋0.2

＝10 000－40＋0.04 ＝9 960.04.

中档题

9.下列运算中，正确的运算有(B)

word版习题

12211222222222①(x＋2y)＝x＋4y；②(a－2b)＝a－4ab＋4b；③(x＋y)＝x－2xy＋y；④(x－)＝x－x＋. 4216 A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

222210.已知(m－n)＝8，(m＋n)＝2，则m＋n＝(C) A.10 B.6 C.5 D.3 211.(包头中考)计算：(x＋1)－(x＋2)(x－2)＝2x＋5. 2212.若(x－1)＝2，则代数式x－2x＋5的值为6. 22213.由完全平方公式可知：3＋2×3×5＋5＝(3＋5)＝64，运用这一方法计算：

224.321 0＋8.642×0.679 0＋0.679 0＝25. 14.计算：

2(1)(－2m－3n)；

2解：原式＝(2m＋3n)

22＝(2m)＋2×2m×3n＋(3n)

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＝4m＋12mn＋9n.

22(2)(a－b)(a＋b)；

2解：原式＝[(a－b)(a＋b)]

222＝(a－b)

4224＝a－2ab＋b.

22(3)(x＋y)(－x＋y)(x－y)；

222解：原式＝－(x－y)

4224＝－x＋2xy－y.

22(4)(a＋3b)－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b). 222222解：原式＝a＋6ab＋9b－2a＋18b＋a－6ab＋9b

2＝36b.

22

word版习题

12215.先化简，再求值：2b＋(a＋b)(a－b)－(a－b)，其中a＝－3，b＝. 2解：原式＝2b＋a－b－a－b＋2ab ＝2ab. 1当a＝－3，b＝时，

21原式＝2×(－3)×

2＝－3.

综合题

n16.(罗平县期末)如图是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了(a＋b)(n为非负整数)的展开式的项数及各项554322345系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：(a－b)＝a－5ab＋10ab－10ab＋5ab－b. 22222www.sjhzhb.com

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第2课时

添括号法则

基础题

知识点1 添括号法则

知识提要：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 1.在下列去括号或添括号的变形中，错误的是(C) A.a－(b－c)＝a－b＋c B.a－b－c＝a－(b＋c) C.(a＋1)－(－b＋c)＝－1＋b－a＋c D.a－b＋c－d＝a－(b＋d－c) 2.在括号里填上适当的项. (1)a＋2b－c＝a＋(2b－c)；

(2)a－b－c＋d＝a－(b＋c－d)；

(3)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－c)][a－(b－c)]. 2223.已知2a－3b＝5，则10－2a＋3b＝10－(2a－3b)＝5. 知识点2 添括号后运用乘法公式计算

4.运用乘法公式计算：

(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；

解：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)] 22＝(3a)－(b－2)

22＝9a－b＋4b－4.

2(2)(a＋b－c)；

22解：原式＝a＋2a(b－c)＋(b－c)

222＝a＋2ab－2ac＋b－2bc＋c. (3)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n). 解：原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] 22＝(x－y)－(m－n)

2222＝x－2xy＋y－m＋2mn－n.

中档题

5.3ab－4bc＋1＝3ab－(

)，括号中所填入的整式应是(C) A.－4bc＋1 B.4bc＋1 C.4bc－1 D.－4bc－1 326.将多项式3x－2x＋4x－5添括号后正确的是(B) www.sjhzhb.com

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32

word版习题

A.3x－(2x＋4x－5) 32 B.(3x＋4x)－(2x＋5) 32 C.(3x－5)＋(－2x－4x) 23 D.2x＋(3x＋4x－5) 227.把多项式－3x－2x＋y－xy＋y一次项结合起来，放在前面带有“＋”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“－”号的括号里，等于(D) 22 A.(－2x＋y－xy)－(3x－y) 22 B.(2x＋y)－(3x－xy＋y) 22 C.(－2x＋y)－(－3x－xy＋y) 22 D.(－2x＋y)－(3x＋xy－y) 8.已知a－3b＝3，则8－a＋3b的值为5. 9.运用乘法公式计算：

2(1)(x－y＋z)；

2解：原式＝[x－(y－z)]

22＝x－2x(y－z)＋(y－z)

222＝x－2xy＋2xz＋y－2yz＋z.

(2)(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b). 解：原式＝[(2a＋3b)－1][1＋(2a＋3b)] 2＝(2a＋3b)－1 22＝4a＋12ab＋9b－1.

综合题

2210.已知a△b＝(a－b)，a※b＝(a＋b)(a－b)，例如：1△2＝(1－2)＝1，1※2＝(1＋2)(1－2)＝－3.根据以上规定，求10△6＋3※2的值. 2解：原式＝(10－6)＋(3＋2)(3－2) 22＝16＋(3)－(2)

＝16＋3－2 ＝17.

专题训练(十一) 乘法公式的应用

类型1 乘法公式的灵活应用

1.已知a，b都是正数，且a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝(B) A.－3 B.3 C.±3 D.9 222.已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a－b的值为－3. 223.(罗平县模拟)已知x＋y＝10，xy＝20，则x＋y＝60. 224.(保山期末)已知a－b＝14，ab＝6，则a＋b＝208. 22225.已知a＋b＝13，(a－b)＝1，则(a＋b)＝25. 226.已知(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，则a＋2ab＋b的值是64. 7.计算：

2(1)(a＋b－c)；

222解：原式＝a＋b＋c＋2ab－2ac－2bc.

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3(2)(a＋b)；

3223解：原式＝a＋3ab＋3ab＋b.

3(3)(a－b)；

3223解：原式＝a－3ab＋3ab－b.

(4)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n). 2222解：原式＝x－2xy＋y－m＋2mn－n.

类型2 运用乘法公式进行简便计算

8.用简便方法计算：

22(1)200－400×199＋199；

解：原式＝1.

(2)999×1 001；

解：原式＝999 999.

12(3)40×39；

338解：原式＝1 599. 9

2222222(4)100－99＋98－97＋96－95＋…＋2－1；

解：原式＝5 050.

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24(5)(2＋1)(2＋1)(2＋1)＋1. 8解：原式＝2.

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专题训练(十二) 整式的运算

1.计算：

3223(1)(－3a)·(－2a)；

12解：原式＝－72a.

23222(2)(－3xy)·(－xyz)·xz. 349633解：原式＝－xyz. 2

2.计算：

(1)－6x(x－3y)；

2解：原式＝－6x＋18xy.

(2)(3x－1)(2x＋1)；

2解：原式＝6x＋x－1.

2(3)(x－1)(x＋x＋1). 3解：原式＝x－1.

3.计算：

85(1)(－x)÷(－x)；

3解：原式＝－x.

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(2)21xy÷3xy；

解：原式＝7y.

247126132(3)(ab－ab)÷(－ab). 396解：原式＝24ab－4.

4.计算：

2(1)(x＋1)－2(x－2)；

22解：原式＝x＋2x＋1－2x＋4＝x＋5.

23235(2)(－2ab)·(－ab)÷4ab；

1解：原式＝－a. 2

2(3)5x(x＋2x＋1)－(2x＋3)(x－5). 32解：原式＝5x＋8x＋12x＋15.

5.先化简，再求值：

1(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)－1，其中x＝；

2解：原式＝1－x＋x＋2x－1＝2x. 11当x＝时，原式＝2×＝1. 22

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2(2)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)，其中a＝－2，b＝；

32解：原式＝－2ab.当a＝－2，b＝时，

328原式＝(－2)×(－2)×＝. 33

1212413222(3)(－ab)·(ab)－(－ab)·(－b)，其中a＝－，b＝4. 2447361解：原式＝ab.当a＝－，b＝4时，

847136原式＝×(－)×4＝－56. 846.已知|m＋n|＋(3m－n－4)＝0，求代数式－2mn(5m－7n)＋3mn(4m－5n)的值. 2解：由|m＋n|＋(3m－n－4)＝0，

m＋n＝0，m＝1，得解得

3m－n－4＝0.n＝－1.2原式＝－10mn＋14mn＋12mn－15mn

22＝2mn－mn. 当m＝1，n＝－1时，原式＝2×(－1)－1＝－3.

2227.已知3x－y＝1，求代数式[(x＋y)－(x－y)＋2y(2x－y)]÷4y的值. 22222解：原式＝(x＋y－x＋2xy－y＋4xy－2y)÷4y 2＝(6xy－2y)÷4y 1＝(3x－y). 211当3x－y＝1时，原式＝×1＝. 228.已知(x＋a)(x－x＋c)的积中不含x项和x项，求(x＋a)(x－x＋c)的值. 2解：∵(x＋a)(x－x＋c) 322＝x－x＋cx＋ax－ax＋ac，

32＝x＋(a－1)x＋(c－a)x＋ac，

2又∵积中不含x项和x项，

∴a－1＝0，c－a＝0. 解得a＝1，c＝1. 23∴(x＋a)(x－x＋c)＝x＋1.

9.(罗平县期末)眉山市三苏雕像广场是为了纪念三苏父子而修建的.原是一块长为(4a＋2b)米，宽为(3a－b)米的长方形地块，现在政府对广场进行改造，计划将如图四周阴影部分进行绿化，中间将保留边长为(a＋b)米的正方形三苏父子雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝20，b＝10时的绿化面积. 2222222www.sjhzhb.com

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解：(4a＋2b)(3a－b)－(a＋b)

2222＝12a－4ab＋6ab－2b－(a＋2ab＋b) 2222＝12a＋2ab－2b－a－2ab－b

22＝11a－3b. 22当a＝20，b＝10时，原式＝11×20－3×10＝4 400－300＝4 100. 22答：绿化的面积是(11a－3b)平方米，当a＝20，b＝10时，绿化面积为4 100平方米.

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

基础题

知识点1 因式分解的定义

知识提要：把一个多项式化成N个整式的积的形式叫做这个多项式的因式分解. 1.(昆明官渡区期末)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(C) A.a(x＋y)＝ax＋ay 2 B.x－4x＋4＝x(x－4)＋4 2 C.10x－5x＝5x(2x－1) 2 D.x－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x 知识点2 用提公因式法分解因式

知识提要：多项式的各项中都含有公共的因式叫做这个多项式的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 32322.多项式8ab＋12abc－4ab中，各项的公因式是(B) 22 A.ab B.4ab 222 C.－4ab D.－ab 3.(南宁中考)因式分解：ax＋ay＝a(x＋y). 4.用提公因式法分解因式：

34(1)3x＋6x；

3解：原式＝3x(1＋2x).

323(2)4ab－10abc；

22解：原式＝2ab(2a－5bc).

32(3)－3ma＋6ma－12ma；

2解：原式＝－3ma(a－2a＋4).

(4)6p(p＋q)－4q(p＋q). 解：原式＝2(p＋q)(3p－2q).

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中档题

25.(威海中考)若m－n＝－1，则(m－n)－2m＋2n的值是(A) A.3 B.2 C.1 D.－1 6.将下列各式分解因式：

(1)x(x－y)＋y(y－x)；

解：原式＝x(x－y)－y(x－y) ＝(x－y)(x－y) 2＝(x－y).

2(2)(a－ab)＋c(a－b)；

解：原式＝a(a－b)＋c(a－b) ＝(a＋c)(a－b).

32(3)4q(1－p)＋2(p－1). 32解：原式＝4q(1－p)＋2(1－p)

2＝2(1－p)(2q－2pq＋1).

综合题

7.△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由. 解：△ABC是等腰三角形.理由：

∵a＋2ab＝c＋2bc，

∴(a－c)＋2b(a－c)＝0. ∴(a－c)(1＋2b)＝0. 故a＝c或1＋2b＝0. 1显然b≠－，

2故a＝c. ∴此三角形为等腰三角形.

14.3.2 公式法

第1课时

运用平方差公式因式分解

基础题

知识点1 直接运用平方差公式因式分解

22知识提要：a－b＝(a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 21.(云南中考)因式分解：x－1＝(x＋1)(x－1). 2.分解因式：

22(1)4x－y；

解：原式＝(2x＋y)(2x－y).

22(2)－16＋ab；

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解：原式＝(ab＋4)(ab－4).

x2(3)－25y；

100xx解：原式＝(＋5y)(－5y). 1010

22(4)(x＋2y)－(x－y). 解：原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)] ＝3y(2x＋y).

知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解

3.分解因式：

3(1)a－9a；

2解：原式＝a(a－9) ＝a(a＋3)(a－3).

22(2)3m(2x－y)－3mn；

22解：原式＝3m[(2x－y)－n] ＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n).

2(3)(a－b)b－4(a－b). 2解：原式＝(a－b)(b－4) ＝(a－b)(b＋2)(b－2).

中档题

24.(云南中考)分解因式：3x－12＝3(x－2)(x＋2). 35.分解因式：m－m＝m(m＋1)(m－1). 226.若a－b＝1，则代数式a－b－2b的值为1. 7.在实数范围内因式分解：

2(1)x－3；

解：原式＝(x－3)(x＋3).

4(2)x－4. 22解：原式＝(x＋2)(x－2) ＝(x＋2)(x＋2)(x－2).

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综合题

2222228.老师在黑板上写出三个算式：5－3＝8×2，9－7＝8×4，15－3＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律2222的算式：11－5＝8×12，15－7＝8×22，…

(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；

(2)用文字写出反映上述算式的规律；

(3)证明这个规律的正确性. 解：(1)答案不唯一，如：

222211－9＝8×5，13－11＝8×6. (2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数. (3)证明：设m，n为整数(m＞0，n≥0，且m＞n)，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则

22(2m＋1)－(2n＋1)＝4(m－n)(m＋n＋1). ①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，

∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；

②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，

∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数. 综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数.

第2课时

运用完全平方公式因式分解

基础题

知识点1 完全平方式

22知识提要：我们把a±2ab＋b这样的式子叫做完全平方式. 1.下列式子为完全平方式的是(D) 222 A.a＋ab＋b B.a＋2a＋2 222 C.a－2b＋b D.a＋2a＋1 22.(曲靖模拟)若x＋6x＋k是完全平方式，则k＝9. 23.(罗平县期末)若x＋mx＋4是完全平方式，则m的值是±4. 知识点2 直接运用完全平方公式因式分解

222222知识提要：a＋2ab＋b＝(a＋b)；a－2ab＋b＝(a－b).即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 4.因式分解：

2(1)a－4a＋4；

2解：原式＝(a－2).

22(2)4x＋y－4xy；

22解：原式＝(2x)＋y－2×2x·y 2＝(2x－y).

2(3)9－12a＋4a；

22解：原式＝3－2×3×2a＋(2a)

2＝(3－2a).

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2(4)2a－4a＋2. 2解：原式＝2(a－2a＋1) 2＝2(a－1).

中档题

2235.(贺州中考)把多项式4xy－4xy－x分解因式的结果是(B) 32 A.4xy(x－y)－x B.－x(x－2y)

2222 C.x(4xy－4y－x) D.－x(－4xy＋4y＋x) 226.(保山期末)已知x＋kxy＋16y是一个完全平方式，则k的值是(B) A.8 B.±8 C.16 D.±16 227.(泰州中考)若m＝2n＋1，则m－4mn＋4n的值是1. 8.因式分解：

22(1)3ax－6axy＋3ay；

22解：原式＝3a(x－2xy＋y) 2＝3a(x－y).

2(2)(m＋n)－6(m＋n)＋9. 2解：原式＝(m＋n－3).

32239.(保山期末)已知a－b＝4，ab＝3，求ab－2ab＋ab的值. 22解：原式＝ab(a－2ab＋b) 2＝ab(a－b). 当a－b＝4，ab＝3时，

2原式＝3×4＝48.

综合题

22210.在三个整式x＋2xy，y＋2xy，x中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解. 解：答案不唯一，如：

222(x＋2xy)＋x＝2x＋2xy＝2x(x＋y)；

222(y＋2xy)＋x＝(x＋y)；

2222(x＋2xy)－(y＋2xy)＝x－y＝(x＋y)(x－y)；

2222(y＋2xy)－(x＋2xy)＝y－x＝(y＋x)(y－x).

专题训练(十三) 因式分解

类型1 只提不套型

1.因式分解：

2(1)a－2a；

解：原式＝a(a－2).

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22(2)3ab＋ab；

解：原式＝ab(3b＋a).

(3)m(5－m)＋2(m－5). 解：原式＝(m－2)(5－m).

类型2 只套不提型

2.因式分解：

2(1)x－49；

解：原式＝(x＋7)(x－7).

2(2)a＋4a＋4；

2解：原式＝(a＋2).

22(3)(a－b)－4b；

解：原式＝(a＋b)(a－3b).

2(4)(x－1)－6(x－1)＋9；

2解：原式＝(x－4).

4(5)a－16. 22解：原式＝(a＋4)(a－4) 2＝(a＋4)(a＋2)(a－2).

类型3 先提后套型

3.因式分解：

3(1)x－x；

解：原式＝x(x＋1)(x－1).

2(2)4x＋8x＋4；

2解：原式＝4(x＋1).

32(3)2a－8a＋8a；

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解：原式＝2a(a－2).

2(4)－2xy＋12xy－18y；

2解：原式＝－2y(x－3).

4(5)2x－2；

2解：原式＝2(x＋1)(x＋1)(x－1).

22(6)3m(2x－y)－3mn. 解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n).

类型4 先破后立型

4.因式分解：

(1)x(x－1)－3x＋4；

2解：原式＝(x－2).

2(2)(x－2y)＋8xy. 2解：原式＝(x＋2y). 2

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周周练(14.2～14.3) (时间：45分钟

满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共18分) 1.(罗平县期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是(B) 2 A.(x＋2)(x－2)＝x－4 2 B.x－4＝(x＋2)(x－2) 2 C.x－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x 22 D.x＋4＝(x＋2)

2.(贵港中考)下列因式分解错误的是(C) A.2a－2b＝2(a－b) 2 B.x－9＝(x＋3)(x－3) 22 C.a＋4a－4＝(a＋2) 2 D.－x－x＋2＝－(x－1)(x＋2) 23.计算(a－1)(a＋1)(a－1)的结果为(B) 442 A.a－1 B.a－2a＋1 442 C.a＋1 D.a－2a－1 4.下列运算中，错误的有(D) 222①(2x＋y)＝4x＋y；

222②(a－3b)＝a－9b；

222③(－x－y)＝x－2xy＋y；

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1221④(x－)＝x－2x＋. 24

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A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

5.如图1是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(C)

22 A.2mn B.(m＋n) C.(m－n) D.m－n

226.若m＋n＝3，则2m＋4mn＋2n－6的值为(A) A.12 B.6 C.3 D.0

二、填空题(每小题4分，共16分) 27.(梧州中考)因式分解：ax－4a＝a(x＋2)(x－2). 22111228.若a－b＝，a－b＝，则a＋b＝. 4221129.(保山期末)已知x＋＝5，那么x＋2＝23. xx11122提示：∵x＋＝5，∴x＋2＝(x＋)－2＝25－2＝23. xxx10.如果(a＋b＋1)(a＋b－1)＝15，那么a＋b的值为±4.

三、解答题(共66分) 11.(6分)计算：

22(1)(a＋b)(a－b)；

4224解：原式＝a－2ab＋b.

(2)(2a＋b－2)(2a－b＋2). 22解：原式＝4a－b＋4b－4.

12.(6分)将下列各式因式分解：

2(1)3x－6x＋3；

2解：原式＝3(x－1).

22222(2)(x＋y)－4xy. 2222解：原式＝(x＋y＋2xy)(x＋y－2xy) 22＝(x＋y)(x－y).

213.(8分)(梅州中考改编)已知a＋b＝－2，求代数式(a－1)＋b(2a＋b)＋2a的值. 22解：原式＝a－2a＋1＋2ab＋b＋2a 2＝(a＋b)＋1. www.sjhzhb.com

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当a＋b＝－2时，原式＝4＋1＝5.

23214.(8分)若|2a＋18|＋(4－b)＝0，将am＋bmn分解因式. 2解：∵|2a＋18|＋(4－b)＝0，

∴2a＋18＝0，4－b＝0. ∴a＝－9，b＝4. 3232∴am＋bmn＝－9m＋4mn

＝m(2n＋3m)(2n－3m).

142332415.(8分)已知a－2b＝，ab＝2，求－ab＋4ab－4ab的值. 2解：原式＝－ab(a－4ab＋4b) 22＝－(ab)·(a－2b). 1当a－2b＝，ab＝2时，

2122原式＝－2×()＝－1. 2

216.(10分)若(a＋b)－6(a＋b)＋9＝1，则a＋b的值是多少？

2解：∵(a＋b)－6(a＋b)＋9＝1，

22∴(a＋b－3)＝1，即(a＋b－3)－1＝0. ∴(a＋b－3＋1)(a＋b－3－1)＝0. ∴a＋b－2＝0或a＋b－4＝0. ∴a＋b＝2或a＋b＝4.

17.(10分)如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成大长方形，则整个图形中可表示一些多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式. 2222

解：答案不唯一，如：a＋2ab＝a(a＋2b)；

a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)；

a(a＋2b)－a(a＋b)＝ab等.

18.(10分)(黔南中考)先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式. mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)；也可以mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)(x＋y). 3322以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a－b＋ab－ab. 3322解：a－b＋ab－ab

3232＝a＋ab－(b＋ab) 22＝a(a＋b)－b(a＋b) 22＝(a＋b)(a－b) www.sjhzhb.com

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＝(a＋b)(a－b).

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章末复习(四) 整式的乘法与因式分解

分点突破

命题点1 幂的运算

1.下列计算正确的是(D) 235 A.(a)＝a B.2a－a＝2 234 C.(2a)＝4a D.a·a＝a

2.(铜仁中考)下列计算正确的是(D) 224236 A.a＋a＝2a B.2a·a＝2a

236 C.3a－2a＝1 D.(a)＝a

57632343.计算：x·x＋x·(－x)＋2(x). 126612解：原式＝x＋x·x＋2x

121212＝x＋x＋2x

12＝4x.

命题点2 整式的乘法

4.下列运算正确的是(C) 236 A.3a·a＝3a 422 B.5x－x＝4x

237 C.(2a)·(－ab)＝－8ab 22 D.2x÷2x＝0 25.计算：(3x－1)(2x＋1)＝6x＋x－1. 6.计算：

233(1)(－3xy)·(－2xy)；

633解：原式＝－27xy·(－2xy) 76＝54xy.

32122(2)(xy－xy)·(－4xy). 42321222解：原式＝xy·(－4xy)－xy·(－4xy) 42＝－3xy＋2xy.

命题点3 整式的除法

37.计算8a÷(－2a)的结果是(D) 22 A.4a B.－4a C.4a D.－4a

2n22523m8.若5ab÷ab＝b，则m＝4，n＝3. 529.化简：(ab－2ab－b)÷b－(a－b). 22222解：原式＝a－2ab－b－a＋2ab－b＝－2b.

命题点4 乘法公式

10.下列关系式中，正确的是(C) 222 A.(a＋b)＝a－2ab＋b www.sjhzhb.com

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B.(a－b)＝a－b

22 C.(a＋b)(－a＋b)＝b－a 22 D.(a＋b)(－a－b)＝a－b

2211.已知(x＋m)＝x＋nx＋36，则n的值为(B) A.±6 B.±12 C.±18 D.±72 12.计算：

2(1)(－2m＋5)；

2解：原式＝4m－20m＋25.

2(2)(a＋3)(a－3)(a＋9)；

224解：原式＝(a－9)(a＋9)＝a－81.

2(3)(a－1)(a＋1)－(a－1). 22解：原式＝a－1－a＋2a－1＝2a－2.

命题点5 因式分解

13.(罗平县期末)下列从左到右的运算是因式分解的是(C) 2 A.2a－2a＋1＝2a(a－1)＋1 22 B.(x－y)(x＋y)＝x－y

22 C.9x－6x＋1＝(3x－1)

222 D.x＋y＝(x－y)＋2xy 2214.多项式mx－m与多项式x－2x＋1的公因式是(A) A.x－1 B.x＋1 22 C.x－1 D.(x－1)

2215.(黔西南中考)分解因式：4x＋8x＋4＝4(x＋1). 2216.若x－2y＝－5，xy＝－2，则2xy－4xy＝20.

综合训练

17.下列运算正确的是(C) 222 A.(－3mn)＝－6mn 4444 B.4x＋2x＋x＝6x

2 C.(xy)÷(－xy)＝－xy 22 D.(a－b)(－a－b)＝a－b

18.(毕节中考)下列因式分解正确的是(B) 43222 A.ab－6ab＋9ab＝ab(a－6a＋9) 1122 B.x－x＋＝(x－)

42 C.x－2x＋4＝(x－2)

22 D.4x－y＝(4x＋y)(4x－y) 19.若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4__900. 20.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab(用a、b的代数式表示). 22www.sjhzhb.com

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图1

图2 21.在实数范围内因式分解：xy－3y＝y(x－3)(x＋3). 22.(崇左中考)4个数a，b，c，d排列成2a ba b，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为：＝ad－bc.c dc dx＋3 x－3若＝12，则x＝1. x－3 x＋323.计算：

322(1)5ab·(－3b)＋(－ab)(－6ab)；

3222解：原式＝5ab·9b＋(－ab)·36ab

3333＝45ab－36ab

33＝9ab.

222(2)x(x＋3)＋x(x－3)－3x(x－x－1). 33232解：原式＝x＋3x＋x－3x－3x＋3x＋3x 3＝－x＋6x.

24.把下列各式因式分解：

(1)2m(a－b)－3n(b－a)；

解：原式＝(a－b)(2m＋3n).

2(2)16x－64；

解：原式＝16(x＋2)(x－2).

2(3)－4a＋24a－36. 2解：原式＝－4(a－3).

22325.先化简(ab－2ab－b)÷b－(a＋b)(a－b)，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值. 2222解：原式＝a－2ab－b－(a－b) 2222 ＝a－2ab－b－a＋b

＝－2ab. 如选择一个喜欢的数为a＝1，b＝－1，则原式＝2.

ab4326.我们约定：a⊗b＝10÷10，如4⊗3＝10÷10＝10. (1)试求12⊗3和10⊗4的值；

2(2)试求(21⊗5)×10的值. www.sjhzhb.com

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解：(1)12⊗3＝10÷10＝10，

104610⊗4＝10÷10＝10. 2215218(2)(21⊗5)×10＝(10÷10)×10＝10. 1239

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