习题训练教案3

等腰三角形的性质和判定

教学目标

一、基本目标

1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质和等角对等边的判定．

2．能根据等腰三角形的性质和判定解决一些简单的问题．

二、重难点目标

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的性质和判定的应用．

【教学难点】

等腰三角形、等边三角形的性质及判定的应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；

(3)等腰三角形的两个底角相等. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC．

(1)因为AD⊥BC，

所以∠BAD＝∠CAD，BD＝CD；

(2)因为AD是中线，

所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；

(3)因为AD是角平分线，

所以AD⊥BC，BD＝CD；

(4)因为AB＝AC，

所以∠B＝∠C. 3．完成教材P121“想一想”：

解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴．

(2)等边三角形的特征：①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60°；②是轴对称图形；③具有等腰三角形的一切特征．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D．求证：∠BAD＝2∠DBC．

【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”证明结论．

【证明】过点A作AE⊥BC于点E. 因为AB＝AC，AE⊥BC，

所以∠BAD＝2∠2. 因为BD⊥AC于点D，

所以∠BDC＝90°，

所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，

所以∠DBC＝∠2，

所以∠BAD＝2∠DBC．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(

D

) A．20°

C．10°

B．50°或80°

D．20°或80°

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝3 cm.

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°，则BC＝5. 4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.

证明：因为AB＝AC，CN＝AC，

所以AB＝CN，∠N＝∠CAN. 又因为AB∥CN，

所以∠BAM＝∠N，

所以∠BAM＝∠CAM，

所以AM为∠BAC的平分线．

又因为AB＝AC，

所以AM为△ABC的边BC上的中线，

所以BM＝CM. 活动3

判定的得出

教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的?

[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评) (证明略) [师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判ABC

定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，

∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC(等角对等边)．

活动4

拓展应用

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.

.

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?

环节3

课堂小结，当堂达标

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

M B D N C A A12DBC