本章复习与测试教学目标

第4 讲

运动图象

追及、相遇问题

运动图象问题的应用[学生用书P8] 【题型解读】

运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：

一般意义

图象描述哪两个轴

物理量之间的关系

表示物理量y随线

物理量x的变化过程和规律

Δyk＝，定性表Δx斜率

示y随x变化的快慢

两线交点表示对点

应纵、横坐标轴物理量相等

图线和时间轴所围的面积，也往面积

往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义

图线在坐标轴上截距

的截距一般表示物理过程的“初始”情况

在纵轴上的截距表示t＝0时的位移

【典题例析】

在纵轴上的截距表示t＝0时的速度

在纵轴上的截距表示t＝0时的加速度

无意义

图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移

图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量

两线交点表示两物体相遇

两线交点表示两物体该时刻速度相同

x－t图象

纵轴—位移

横轴—时间

v－t图象

纵轴—速度

横轴—时间

a－t图象

纵轴—加速度

横轴—时间

运动物体的位移与时间的关系

运动物体的速度与时间的关系

运动物体的加速度与时间的关系

某点的斜率表示某点的斜率表示某点的斜率表示该点加速度的变化率

两线交点表示两物体该时刻加速度相同

该点的瞬时速度

该点的加速度

(多选)(2016·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(

) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m [审题指导]

由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息，再根据3 s时并排寻找两车间的相对运动情况，从而解决问题．

[解析]

根据题述，两车在t＝3 s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1 s时，甲车和乙车并排行驶，选项A、C错误．由图象可知，在t＝1 s时甲车速度为10 m/s，乙车速度为15 m/s，0～1 s时间内，甲车行驶位移为x1＝5 m，乙车行驶位移为x2＝12.5 m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m，选项1B正确．从t＝1 s到t＝3 s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝×(10＋30)×2 m＝240 m，选项D正确．

[答案]

BD 【迁移题组】

迁移1

x－t图象

1．甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移－时间图象如图所示．下列表述正确的是(

)

A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大

B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大

C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小

D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

解析：选B.在0.2～0.5小时内，位移－时间图象是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的加速度都为零，选项A错误；位移－时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小，斜率绝对值越大，速度越大，故0.2～0.5小时内甲的速度大于乙的速度，选项B正确；由位移－时间图象可知，0.6～0.8小时内甲的位移大于乙的位移，选项C错误；由位移－时间图象可知，0.8小时内甲、乙往返运动过程中，甲运动的路程大于乙运动的路程，选项D错误．

迁移2

v－t图象

2．(多选)如图所示为一个质点做直线运动的v－t图象，则下列说法中正确的是(

)

A．质点在0～5 s内的位移为5 m B．质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大

C．质点在10 s末离出发点最远

D．质点在8～12 s内的平均速度为4 m/s 1解析：选AB.根据速度图象中图线与时间轴所围的面积表示位移可知，质点在0～5 s内的位移x＝×2×5 22m＝5 m，选项A正确；由v－t图象的斜率表示加速度可知，0～5 s内的加速度大小a1＝

m/s2，8～10 s内的56－2加速度大小a2＝

m/s2＝2 m/s2，10～12 s内的加速度大小a3＝6 m/s2，所以质点在整个运动过程中，10～10－812 s内的加速度最大，选项B正确；质点在11 s末离出发点最远，选项C错误；质点在8～12 s内的位移x＝8－8 m，平均速度为v＝

m/s＝2 m/s，选项D错误．

12－8

迁移3

a－t图象

3．一辆摩托车在t＝0时刻由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的a－t图象如图所示，根据已知信息，可知(

)

A．摩托车的最大动能

B．摩托车在30 s末的速度大小

C．在0～30 s的时间内牵引力对摩托车做的功

D．10 s末摩托车开始反向运动

解析：选B.由图可知，摩托车在0～10 s内做匀加速运动，在10～30 s内做减速运动，故10 s末速度最大，动能最大，由v＝at可求出最大速度，但摩托车的质量未知，故不能求最大动能，A错误；根据a－t图线与t轴所围的面积表示速度变化量，可求出30 s内速度的变化量，由于初速度为0，则可求摩托车在30 s末的速度大小，B正确；在10～30 s内牵引力是变力，由于不能求出位移，故不能求出牵引力对摩托车做的功，C错误；由图线与时间轴围成的面积表示速度变化量可知，30 s内速度变化量为零，所以摩托车一直沿同一方向运动，D错误．

迁移4

非常规运动图象

4．(多选)

x一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的－t的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为t0.5 m/s和－1 s，由此可知(

) A．物体做匀加速直线运动

B．物体做变加速直线运动

C．物体的初速度大小为0.5 m/s D．物体的初速度大小为1 m/s 1解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x＝v0t＋at2两边除以对应运动时间21x1t为＝v0＋at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半2a.所以t2物体做初速度为v0＝0.5 m/s，加速度大小为a＝1 m/s2的匀加速直线运动．

(1)图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程：

(2)处理特殊图象的问题时，在必要时可将该图象所反映的物理过程转换为常见的x－t或v－t图象进行处理．

对追及、相遇问题的分析[学生用书P9] 【题型解读】

1．方法概述

(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．

(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．

(3)图象法：①若用位移图象求解，分别作出两物体的位移图象，如果两物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．

2．追及、相遇问题常见情景

(1)速度小者追速度大者

追及类型

匀加速

追匀速

图象描述

相关结论

设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：

①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大

②t＝t0时，两物体相距最远，

为x0＋Δx

③t＝t0以后，后面物体与前面匀速追

匀减速

匀加速追

匀减速

(2)速度大者追速度小者

追及类型

匀减速

追匀速

匀速追

匀加速

图象描述

物体间的距离减小

④一定能追上且只能相遇一次

相关结论

设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：

①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件

②若Δx

匀加速

－Δx

③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇

【典题例析】

在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．

[审题指导]

两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等．

[解析]

法一：临界条件法

设两车运动速度相等时，所用时间为t，

v0由v0－(2a)t＝at得，t＝

3a1A车位移：xA＝v0t－(2a)t2

21B车位移：xB＝at2

2两车不相撞的条件：xB＋x≥xA

1即：at2＋x≥v0t－at2 2联立①②得：v0≤6ax.

法二：二次函数极值法

设两车运动了时间t，则

xA＝v0t－at2

1xB＝at2

2两车不相撞需要满足

3Δx＝xB＋x－xA＝at2－v0t＋x≥0

23ax－v24×02则Δxmin＝≥0

34×2a解得v0≤6ax.

①

②

法三：图象法

利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vt＝v0－2at，

对B车有vt＝at

v0以上两式联立解得t＝

3a经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知xv0v2110＝v0t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.

223a6a法四：相对运动法

巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v20＝2ax得：

02－v2(－3a)·x

0＝2·所以v0＝6ax.

故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.

[答案]

v0≤6ax

【跟进题组】

1．(2018·贵州凯里高三模拟)一辆卡车以vB＝10 m/s的初速度沿直线方向做匀减速直线运动，加速度的大小为a＝2 m/s2，在其后方一辆小汽车以vA＝4 m/s 的速度向相同方向做匀速直线运动，小汽车在卡车后方相距x0＝7 m 处，从此时开始计时，求：

(1)小汽车追上卡车前，两车间的最大距离d是多大？

(2)经过多长时间小汽车追上卡车？

解析：(1)设两车速度相等经历的时间为t1有：

vA＝vB－at1

汽车与卡车的最远距离d，有：

2v2B－vA＝2axB1

xA1＝vAt1

两者间的最大距离为：

d＝x0＋xB1－xA1

代入数据解得：d＝16 m.

(2)卡车速度减为零的时间为t2，有：

0＝vB－at2得：t2＝5 s

卡车速度减为零的位移为：2axB＝v2B

得xB＝25 m

此时汽车的位移为：

xA＝vAt2＝4×5 m＝20 m，

因为xA＜xB＋x0，可知卡车速度减为零时，汽车还未追上卡车．

xB＋x0－xA还需追及的时间：t3＝，得t3＝3 s

vA则有：t＝t2＋t3＝5 s＋3 s＝8 s.

答案：见解析

2．A车在直线公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当司机发现正前方有一辆静止的B车时，两车距离仅有76 m，A车司机立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)．

(1)通过计算判断A能否撞上B车？若能，求A车从刹车开始到撞上B车的时间(假设B车一直静止)；

(2)为了避免碰撞，A车在刹车的同时，如果向B车发出信号，B车收到信号经Δt＝2 s的反应时间才开始匀加速向前行驶，问：B车加速度a2至少为多大才能避免事故．

解析：(1)设A车从刹车到停止所用的时间为t0、位移为x

由速度时间公式v0＝a1t0

解得t0＝10 s

由速度位移关系有0－v20＝－2a1x

代入数据解得x＝100 m>76 m，所以A车能撞上B车

1设撞上B车的时间为t1，有x0＝v0t1－a1t2，其中x0＝76 m

21解得t1＝(10－26) s，t′1＝(10＋26) s，

(10＋26) s大于10 s，故舍去

故时间为(10－26) s.

(2)假设A车恰能追上B车，设B车运动时间为t，则A车运动时间为t＋Δt，此时两车速度相等，即v0－a1(t＋Δt)＝a2t

v0－a1Δt解得t＝

a2＋a1由位移关系xA＝x0＋xB

11可知v0(t＋Δt)－a1(t＋Δt)2＝x0＋a2t2

222v0（t＋Δt）－a1（t＋Δt）2－2x0整理得a2＝

t2解得a2＝1.2 m/s2

因此欲使A、B两车不相撞，B车的最小加速度为a2＝1.2 m/s2.

答案：见解析

1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”

(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．

(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．能否追上的判断方法

(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．

(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．

3．注意三类追及、相遇情况

(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．

(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．

(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．

[学生用书P11] 1．甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v0，则(

)

A．甲车先经过下一个路标

B．乙车先经过下一个路标

C．丙车先经过下一个路标

D．无法判断谁先经过下一个路标

解析：

选B.由题意画出v－t图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．

2.

(高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(

) A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

v1＋v2

2C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

解析：选A.根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项xC错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移xt乙v1＋v2小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根2据v－t图象的斜率大小反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．

3．(2018·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(

) xA．v＝

t2xC．v＞

t解析：

2xB．v＝

tx2xD．＜v＜

tt

选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”vv2x表示的位移为：t.应有：t＞x，所以v＞，所以选项C正确．

22t4．(2016·高考江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是(

)

解析：选A.小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g(h－x)，A项正确．

5．(多选)(2018·江西上高高三月考)平直公路上行驶的a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a＝－2 m/s2，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是(

)

A．a车的速度是2 m/s B．t＝3 s时，a、b两车的速度相等，相距最远

C．b车的初速度是8 m/s D．t＝0 s时a车和b车之间的距离为9 m 解析：选ACD.x－t图象的斜率等于速度，由题图可知，a车的速度不变，做匀速直线运动，速度为：va8－2＝

m/s＝2 m/s，故A正确；t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇．斜率相等，3此时两车的速度相等，则t＝3 s，b车的速度为：vb＝va＝2 m/s，设b车的初速度为v0，对b车，由v0＋at＝v0＋vbvb，解得：v0＝8 m/s，故B错误，C正确；t＝3 s时，a车的位移为：xa＝vat＝6 m，b车的位移为：xb＝28＋2t＝×3 m＝15 m，t＝3 s时，a车和b车到达同一位置，所以t＝0时两车相距x0＝xb－xa＝9 m，故D正确．

26．(2018·湖北八校联考)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．

(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．

(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？

2v甲－v20解析：(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1＝＝91 m

2a甲x2＝x0＋x1＝100 m

即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车．

(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，

解得t＝8 s

相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s＜6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件

乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为

x＝v＋v2乙－v203乙t02a＝157 m

乙所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x3－x1＝66 m.

答案：(1)100 m

(2)66 m