线段的垂直平分线的作图优质公开课教案

15.2

线段的垂直平分线

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题; 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.

【过程与方法】

在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

【情感、态度与价值观】

通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.

◇教学重难点◇

【教学重点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.

【教学难点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.

◇教学过程◇

一、情境导入

什么是线段的垂直平分线? 二、合作探究

(一)用尺规作线段的垂直平分线

已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.

作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点E,F.

(2)过点E,F作直线.

则直线EF就是线段AB的垂直平分线.

说明:因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

(二)线段的垂直平分线的性质

把准备好的方方正正的纸拿出来,按照如图进行对折,并比较对折之后的折痕EB和EB',FB和FB'的关系.

结果:EB'=EB,FB'=FB.

【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

(三)线段的垂直平分线的判定

1

先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理.得出线段的垂直平分线的判定定理.

【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

(四)两个定理的应用

典例

已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.

求证:点P在BC的垂直平分线上.

[解析]

连接PA,PB,PC.

∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知) ∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) ∴PB=PC.(等量代换) ∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.

三、板书设计

线段的垂直平分线

1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

◇教学反思◇

由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后带领学生对这个定理进行严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.

教案二(备用)

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决一些问题; 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.

【过程与方法】

在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明的意识和能力.

【情感、态度与价值观】

通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.

◇教学重难点◇

【教学重点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.

【教学难点】

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.

◇教学过程◇

一、情境导入

什么是线段的垂直平分线?

2

二、合作探究

(一)线段垂直平分线的性质定理

问题1:怎样作出线段的垂直平分线? 方法一:通过白纸可以作出线段的垂直平分线.在一张半透明的纸上,画一条线段AA',折叠使点A与点A'重合,得到的折痕l所在的直线就是线段AA'的垂直平分线.

方法二:用尺规作图,作出线段AB的垂直平分线.

作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,交于点E,F.

(2)过点E,F作直线.

则直线EF就是线段AB的垂直平分线.

问题2:为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分线呢?设所作直线EF交线段AB于点O.

(1)连接AE,BE,AF,BF,构造△AEF和△BEF.

由作法知△AEF≌△BEF(SSS),所以∠AEO=∠BEO(全等三角形的对应角相等).

继而可证△AEO≌△BEO(SAS),所以∠AOE=∠BOE=90°(全等三角形的对应角相等),AO=BO(全等三角形的对应边相等),所以EF⊥AB,EF平分AB.

(2)因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

问题3:如图MN是线段AB的垂直平分线,点P在MN上,则PA,PB有什么数量关系?

a.规范写出证明过程(略).

b.用文字语言总结出线段垂直平分线的性质定理.

【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

(二)线段垂直平分线性质定理的逆定理

问题4:写出上面定理的逆命题.它是真命题吗?给出证明.

说明:(1)逆命题:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

(2)结合命题画出图形,写出已知、求证.

3

已知:如图,PA=PB,点P在直线MN上, 求证:MN⊥AB,MN平分AB(OA=OB).

证明略.

(3)总结得线段垂直平分线逆定理.

【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

(三)两个定理的应用

典例

已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.

求证:点P在BC的垂直平分线上.

[解析]

连接PA,PB,PC, ∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知) ∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) ∴PB=PC.(等量代换) ∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.

三、板书设计

线段的垂直平分线

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

◇教学反思◇

本节课先复***分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思索为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣,达到事半功倍的效果.

4