习题训练多媒体教学设计及其点评

第十五章

分式

章末复习（付桂兰）

一、典型例题

例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

5x13x2y2a2，，，y，，，x2y.

x522a22【知识点】分式的概念

【思路点拨】根据整式和分式的概念进行判断．在这里要认识到：(1) π表示圆周率，是一个无限不循环小数，即无理数；(2)单独的一个数是单项式，单项式3是整式，所以2是整式；(3)给定一个式子不能化简后再去判断，要根据原来的a2形式进行判断，如是分式，不能约分成a，误认为是整式．

ax1253x2y2a2【解答过程】解：整式有，，y，，xy；分式有，. 52x2a22例2

计算：(1) ab1；

abba2a2a21(2) ；

(a1)2a1a2a1

(3) y35(y2)．

4y8y2【知识点】分式的运算

【思路点拨】(1)因为b－a＝－(a－b)，而1＝ab，所以通分时最简公分母为aab－b，也可首先把前两项进行运算．(2)把最后一个分式化简后再进行混合运算．(3)可把y＋2视作一个整体，首先进行括号内的运算，再进行括号外的运算．

【解答过程】解：(1)原式＝＝2(ab)＝2. abababab(ab)2a2b＝＝

ababababab或者原式＝abab1＝1＝1＋1＝2. ababab1

(2)原式＝＝2a12(a1)1(a1)(a1)＝

2a1a1a1a1(a1)2(a1)a1a1＝==-1. a1a1a1y3(y24)5y3y29(3)原式＝＝

4(y2)y24(y2)y2＝y3y211＝＝. 4(y2)(y3)(y3)4y124(y3)例3

解下列分式方程：

(1) x211221；

(2) . x1x16x2213x【知识点】分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】

(1)方程中分母x2－1＝(x＋1)(x－1)，所以方程两边同乘最简公分母(x＋1)(x－1)，注意不含分母的常数项1也要乘(x＋1)(x－1)；(2)中方程的分母6x－2＝2(3x－1)，又因为1－3x＝－(3x－1)，所以方程两边同乘最简公分母2(3x－1)，注意常数项1也要乘2(3x－1)．

2【解答过程】解：(1)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得

x(x＋1)－2＝(x＋1)(x－1)．

去括号，得x2＋x－2＝x2－1. 移项、合并同类项，得x＝1. 检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，所以原分式方程无解．

(2)原方程化为112

2(3x1)23x1方程两边同乘2(3x－1)，得1＝(3x－1)－4. 解得x＝2. 检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0，所以x＝2是原分式方程的解．

例4

甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：

(1)根据题意，填写下表：

2

车间

生产零件总个数

平均每小时生产零件的个数

x ________ 所用时间

600

x甲车间

乙车间

600 900 ________ (2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？

【知识点】分式方程的应用

【数学思想】转化思想

【思路点拨】

先用x表示乙车间平均每小时生产的零件个数，再用x表示乙车间生产900个零件所用的时间，根据“时间相等”列方程．

【解答过程】解：(1)依次填入30＋x，(2)依题意列方程，得600900，

x30x900. 30x解得x＝60，30＋x＝90. 当x＝60时，x与30＋x均不为0，且符合实际意义．

所以甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．

二、章末检测题

（一）选择题：

14xx2y25x2,

, 1.

下列各式：1x, 其中分式共有（

）

532x

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【知识点】分式的定义

【思路点拨】依据分式的概念进行判断．

14xx2y25x2,

【解答过程】1x, 都是整式，是分式．故选A．

532x【答案】A 2. 若分式

x2的值为0，则x的值为(

)

x13

A．2或－1

B．0

C．2

D．－1 【知识点】分式的有关概念

【思路点拨】分式的值为0，则分子为0而分母不为0．

【解答过程】由题意可知x－2＝0，得x＝2.由x＋1≠0，得x≠－1，所以x＝2，故选C. 【答案】C 3．分式A. 2可变形为(

)

2x2222

B．

C.

D．

2x2xx2x2【知识点】分式的基本性质

【思路点拨】分子、分母、分式本身的符号，只要同时改变其中的两个，分式的值不变．

【答案】D 4.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（

）

3x23x3x33xA.

B.2

C.

D.2

2y2y2y2y【知识点】分式的基本性质

【思路点拨】

．

【解答过程】

【答案】A 5. 下列约分正确的是（

）

A．mmxyy1

B．1

m33x22

C．xabx9b3b

D．6a32a1ybay【知识点】分式的基本性质

【思路点拨】分式的分子、分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．

【答案】C 6.计算11的正确结果是（

）

x11x

4

A.0

B.2x22

C.

D.

1x21x2x21【知识点】分式的通分

【思路点拨】最简公分母为(1x)(1x)，通分可得．

【解答过程】【答案】C 7．下列计算正确的是（

）

A.xmxmx2m

B.2xnxn2

C.x3x32x3

D.x2x6x4

【知识点】分式的运算

【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除的运算法则进行检查．

xmxm2xm，2xnxnxn，【解答过程】则A错误的；则B错误的；x3x3x6，1x1x11112+==

=

x11x1x1x(1x)(1x)(1x)(1x)1x2则C错误的；x2x6x4是正确的；故选D．

【答案】D 8．下列分式中，最简分式是（

）

x1x22xyy2x21x236A．2

B．2

C．

D．

2x1xxyx12x12【知识点】最简分式

【思路点拨】利用最简分式的定义判断即可．

【解答过程】解：A原式为最简分式，符合题意；B原式=x11=，(x1)(x1)x1(x6)(x6)x6(xy)2xy不合题意；C原式==，不合题意；D原式==，x22(x6)x(xy)不合题意，故选A 【答案】A

9．解分式方程2x23时，去分母后变形正确的为(

) x11xA．2＋(x＋2)＝3(x－1)

B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3

D．2－(x＋2)＝3(x－1) 【知识点】分式方程的解法

【数学思想】化归思想

5

【思路点拨】两边都乘以x-1可得结果．

【解答过程】原方程可化为2x22x23，在方程3的两边同乘x1x1x1x1以(x－1)，得2－(x＋2)＝3(x－1)，故选D. 【答案】D 10．A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（

）

A．1601601601601160116016030

B．

C．

D．30

4x5x4x5x24x24x5x【知识点】分式方程的应用

【数学思想】转化思想

【思路点拨】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．

【解答过程】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得，【答案】B 11．若关于x的分式方程m12的解为非负数，则m的取值范围是(

) x-11601601．故选B．

4x5x2A．m＞－1

B．m≥－1

C．m＞－1且m≠1

D．m≥－1且m≠1

【知识点】分式方程的解、分式方程的解法

【数学思想】转化思想

【思路点拨】此题解题的关键是用关于m的式子表示出分式方程的解；先对原分式方程去分母转化为整式方程，可用含m的代数式表示出x＝m1；又由于2该分式方程的解为非负数，于是可以得出关于m的不等式，从而求出m的值；

又根据已知分式方程可知x-1≠0，则有即可使问题得解. 【解答过程】方程两边都乘以（x－1），得m－1＝2(x－1)，所以x＝m1. 2m1≠1，对其求解得到m不能取到的值，2

6

∵x为非负数，∴

又∵x－1≠0，即【答案】D．

m1≥0.解得m≥－1.

2m1≠1，∴m≠1，故选D. 212.小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（ab），则谁走完全程所用的时间较少？（

）

A．小明

B.小刚

C.时间相同

D.无法确定

【知识点】分式的应用

【数学思想】转化思想

【思路点拨】把全程看作单位“1”．根据时间=路程÷速度，表示出小明、小刚所用的总时间；为了比较它们的大小，用做差法，看差的正负性．

111ab)，小刚所用【解答过程】解：设全程为1，小明所用总时间是22＝(2abab总时间是11ab1)－，小明所用时间减去小刚所用时间得(＝2ababab112(ab)2ab(ab2)2＝2＞0，显然小刚所用的时间较少.故选B ab(ab)ab(ab)【答案】B （二）填空题：

13. 当式子1有意义时，x应满足的条件为________．

x1【知识点】分式有意义

【思路点拨】分式有意义的条件是分母不能为0．

【解答过程】解：∵分母不能为0，∴x10，即x1，则x≠±1.

【答案】x≠±1.

14.

杨絮纤维的直径约为0.0000105 m，该直径用科学记数法表示为________．

【知识点】科学记数法

【思路点拨】绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为a10n．

7

【解答过程】0.0000105= 1.05×10－5

【答案】1.05×10－5

15. 关于x的分式方程m10无解，则m=___. x24x2【知识点】分式方程的解

【数学思想】化归思想、分类思想. 【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

【解答过程】方程去分母得：m−(x−2)=0，解得：x=2+m，

∴当x=2时分母为0，方程无解，

即2+m=2，∴m=0时方程无解. 当x=−2时分母为0，方程无解，

即2+m=−2，∴m=−4时方程无解. 综上所述，m的值是0或−4. 【答案】0或−4.

x4x21116．若x3，则__________. xx2【知识点】分式的性质

【数学思想】整体思想

1【思路点拨】先对所求代数式化简，再把x的值整体代入求值即可．或先把x111x3

两边同时平方，求出2x2的值，然后对所求代数式化简，再把2x2的xxx值整体代入求值即可．

x4x2111221x(x)1；

【解答过程】方法一：=22xxx1∴当x3，原式=32−1=8. xx4x211111222方法二：由x3得(x)9，2x7，∴＝2x18. 2xxxxx【答案】8.

8

x3y0xy12)17. 如果实数x，y是方程组的解，那么式子(

的值xyxy2x3y3为______．

【知识点】分式的值

【思路点拨】先求出方程组的解得到x与y的值，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后代入计算即可求出值．

x3xy【解答过程】解：解方程组得

∴

原式＝(＝xy＋2(x2)（xy）xyy-1＋y)＝3×(－1)＋2×(3－1)＝－3＋4＝1. 【答案】1.

18. 已知三个数x、y、z满足的值为___. 【知识点】分式的化简求值

【数学思想】转化思想

【思路点拨】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入，计算即可求出值．

【解答过程】∵zx4xyyz4

2，，zx3xyyz3zx4xyyz4xyz，则2，，3xyyz3zxxyxzyz113111113∴，，，

zx4xy2yz41111331111∴2()

即：，

xyz244xyz4

则xyxzyz1111xyz=，

∴=−4 xyz4xyzxyxzyz【答案】−4 （三）解答题：

62m111m24()；(2) (119．化简：(1) 2. ）m6m9m3m3m1m2m【知识点】分式的混合运算

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【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除运算法则进行运算．

【解答过程】解：(1)原式＝＝2(m3)(m3)(m3)

2(m3)(m3)(m3)2(m3)(m3)m3＝. m363(2)原式＝mm2(m2)(m-2)m2m(m1)＝＝. m-2m1(m2)(m-2)m1m(m1)20．解下列分式方程：

(1) x1x1342；

(2) . 3x113x4x212x14x2【知识点】分式方程的解法. 【数学思想】化归思想. 【思路点拨】去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验．

【解答过程】解：(1)去分母得x＝2(3x－1)＋1，去括号得x＝6x－2＋1，合并同11类项得5x＝1，系数化为1得x＝5.

经检验，x＝5是分式方程的解．

(2)原方程可化为x132，

(2x1)(2x1)2x12x2两边同时乘以(2x＋1)(2x－1)，得

x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)，

x＋1＝6x－3－4x－2，

解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解．

∴原方程的解是x＝6. 21．先化简，再求值：已知x21，求【知识点】分式的运算

【数学思想】整体思想

【思路点拨】先利用分式的运算法则化简，再代入求值．

xx11的值. 22xxx2x1xx1x21x1(x1)(x1)【解答过程】原式＝＝

222x(x1)xx(x1)(x1)xx(x1)

10

x21x2111＝＝＝，

x222(x1)x(x1)xx(x1)当x21时，原式＝111＝＝

222(2)(211)22．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．

【知识点】分式方程的应用．

【数学思想】转化思想

【思路点拨】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．

【解答过程】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，可得：101020，

x2x60解得：x=15，

经检验：x=15是原方程的解，

2x=2×15=30，

答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．

23．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．

（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？

（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？

【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用．

【数学思想】化归思想

【思路点拨】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程，解方程即可；（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式，解不等式即可．

11

【解答过程】解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得

360360-4x1.6x解得：x=33.75，

经检验x=33.75是原分式方程的解，

33.75=54(万平方米). 则1.6x=1.6×答：实际每年绿化面积为54万平方米；

（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米，根据题意，得

54×3+2（54+a）≥360

解得：a≥45．

答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．

2xa024．已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组无解．

x2(1)求a的值；

a22a2(2)化简并求(的值．

1)aa【知识点】分式的混合运算、不等式组的解集

【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据无解得出a的值，再化简求值．

a【解答过程】解：(1)解不等式2x－a≤0，得x≤.

2a∵原不等式组无解，∴＜2，解得a＜4. 2又∵a为大于2的整数，∴a＝3. (a2)(a1)aa22aa2(2)原式＝＝＝a＋1.

aa2aa当a＝3时，原式＝3＋1＝4. 25．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B工程队的工作效率相同，且都为C工程队的2倍，若由一个工程队单独完成，C工程队比A工程队要多用10天．学校决定由三个工程队一起施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天后，学校又清

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理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B工程队提高的工作效率仍然都是C工程队提高的2倍，这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．

(1)求A工程队原来平均每天维修课桌的张数；

(2)求A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围．

【知识点】分式方程的应用、不等式的应用

【数学思想】转化思想

【思路点拨】（1）求工效，有工作总量，应根据时间来列等量关系为：C队所用天数-A队所用天数=10；

（2）剩余任务完成的天数应在3天和4天之间．

【解答过程】解：(1)设C工程队原来平均每天维修课桌x张，

根据题意，得60060010.

x2x解这个方程，得x＝30. 经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，2x＝60.

答：A工程队原来平均每天维修课桌60张．

(2)设C工程队提高工作效率后平均每天多维修课桌y张，施工2天后，已维修(60＋60＋30)×2＝300(张)，

从第3天起还需维修的张数应为600－300＋360＝660(张)．

根据题意，得3(2y＋2y＋y＋150)≤660≤4(2y＋2y＋y＋150)．

解这个不等式组，得3≤y≤14.

∴6≤2y≤28.

答：A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围为6≤a≤28.

26．阅读下面材料，并解答问题. x4x23材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 2x1解：由分母为−x2+1，可设−x4−x2+3=(−x2+1)(x2+a)+b

则−x4−x2+3=(−x2+1)(x2+a)+b=−x4−ax2+x2+a+b=−x4−(a−1)x2+(a+b) a11∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1. ab3

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1x4x23(x21)(x22)1(x21)(x22)12x2∴===

+22222x1x1x1x1x11x4x232这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和。

x222x1x1解答：

x46x28（1）请你仿照上述过程将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为

x21整数)的和的形式. x46x28（2）当1＜x＜1时，试说明的最小值为8. x21【知识点】分式的混合运算

【数学思想】整体思想

【思路点拨】只需仿照原材料中的解题过程就可解决问题．

【解答过程】解：(1)由分母为−x2+1，可设−x4−6x2+8=(−x2+1)(x2+a)+b

则−x4−6x2+8=(−x2+1)(x2+a)+b=−x4−ax2+x2+a+b=−x4−(a−1)x2+(a+b) a16∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=7，b=1. ab81x46x28(x21)(x27)1(x21)(x27)12x7∴===

+x21x21x21x21x211x46x282x7这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和. x21x2111x46x2822x7x7(2)当1＜x＜1时，由=知，对于，

x21x21x21当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，

x46x28即的最小值为8. 2x1

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